Grandezas diretamente e inversamente proporcionais
Em muitas situações, duas grandezas estão relacionadas. A quantidade comprada e o preço pago, a velocidade e o tempo de uma viagem, o número de trabalhadores e o tempo necessário para realizar determinada tarefa são alguns exemplos.
Entretanto, o fato de duas grandezas variarem ao mesmo tempo não significa necessariamente que elas sejam proporcionais. Para existir proporcionalidade, a variação precisa obedecer a uma relação específica.
Nesta postagem, vamos aprender a reconhecer grandezas diretamente proporcionais e inversamente proporcionais, determinar a constante de proporcionalidade e distinguir relações proporcionais de situações em que as grandezas apenas variam conjuntamente.
1. O que são grandezas?
Uma grandeza é uma característica que pode ser medida ou expressa numericamente.
São exemplos de grandezas: comprimento, massa, tempo, temperatura, velocidade, área, volume, quantidade de produtos e preço.
Considere uma pessoa comprando garrafas de água de mesmo preço. Podemos observar duas grandezas: quantidade de garrafas compradas e valor total da compra.
Se cada garrafa custa R$ 3,00, temos:
| Quantidade de garrafas | Valor total |
|---|---|
| 1 | R$ 3,00 |
| 2 | R$ 6,00 |
| 3 | R$ 9,00 |
| 4 | R$ 12,00 |
Quando a quantidade de garrafas varia, o valor total também varia. Existe, portanto, uma relação entre essas duas grandezas.
Mas precisamos investigar como essa variação acontece.
Se comprarmos o dobro de garrafas:
o preço também dobra:
Se comprarmos o triplo:
o preço também triplica:
Esse comportamento é característico de grandezas diretamente proporcionais.
2. Grandezas diretamente proporcionais
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando a variação de uma provoca a mesma variação proporcional na outra.
Isso significa, por exemplo, que:
se uma triplica, a outra também triplica;
se uma é dividida por 2, a outra também é dividida por 2.
Exemplo 1 — Quantidade e preço
Uma papelaria vende cadernos iguais por R$ 8,00 cada.
| Cadernos | Preço |
|---|---|
| 1 | R$ 8,00 |
| 2 | R$ 16,00 |
| 3 | R$ 24,00 |
| 5 | R$ 40,00 |
Ao passar de 1 para 2 cadernos, multiplicamos a quantidade por 2:
O preço também foi multiplicado por 2:
Agora passamos de 1 para 3 cadernos:
O preço também é multiplicado por 3:
Portanto, quantidade de cadernos e preço total são diretamente proporcionais, desde que o preço de cada caderno permaneça constante.
A razão permanece constante
Vamos dividir o preço pela quantidade de cadernos.
O resultado é sempre o mesmo: 8. Esse valor é chamado de constante de proporcionalidade. Nesse problema, representa o preço de um caderno: R$ 8,00 por caderno.
Pratique
Uma loja vende caixas iguais de lápis por R$ 6,00 cada.
| Caixas | Preço |
|---|---|
| 1 | R$ 6,00 |
| 3 | ? |
| 5 | ? |
| 8 | ? |
Ver respostas
| Caixas | Preço |
|---|---|
| 1 | R$ 6,00 |
| 3 | R$ 18,00 |
| 5 | R$ 30,00 |
| 8 | R$ 48,00 |
3. Constante de proporcionalidade direta
Vamos representar as duas grandezas por letras:
y = segunda grandeza
Se as grandezas são diretamente proporcionais, a razão entre y e x permanece constante:
A letra k representa a constante de proporcionalidade.
Multiplicando os dois lados por x:
No lado esquerdo, o x do numerador e o x do denominador se simplificam, desde que x seja diferente de zero. Assim:
Isso significa que cada valor de x é multiplicado pela mesma constante k para produzir o valor correspondente de y.
Exemplo 2 — Encontrando a constante
Uma máquina produz 120 peças em 3 horas, mantendo sempre o mesmo ritmo de produção.
Temos:
y = 120 peças
Calculamos a constante:
Isso significa que a máquina produz 40 peças por hora. Portanto:
Quantas peças serão produzidas em 7 horas?
Portanto, mantendo o mesmo ritmo, a máquina produzirá 280 peças em 7 horas.
Exemplo 3 — Encontrando um valor desconhecido
Duas grandezas x e y são diretamente proporcionais. Sabemos que x = 4 corresponde a y = 18. Qual será o valor de y quando x = 10?
Primeiro determinamos a constante:
Logo:
Para x = 10:
Portanto, quando x = 10, temos y = 45.
Pratique
Duas grandezas x e y são diretamente proporcionais. Quando x = 6, temos y = 24.
Ver respostas
4. Grandezas inversamente proporcionais
Nem sempre duas grandezas variam no mesmo sentido. Em algumas situações, quando uma aumenta, a outra diminui de maneira proporcional.
Exemplo — Velocidade e tempo
Considere uma viagem de 240 km.
Se o veículo mantiver velocidade média de 60 km/h, o tempo será:
Portanto, serão necessárias 4 horas.
Se a velocidade passar para 120 km/h:
O tempo passa para 2 horas.
A velocidade dobrou:
e o tempo foi reduzido à metade:
Mantendo fixa a distância de 240 km, velocidade e tempo apresentam uma relação de proporcionalidade inversa.
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, ao multiplicarmos uma delas por determinado número, a outra é dividida por esse mesmo número.
se uma triplica, a outra é reduzida à terça parte;
se uma é dividida por 4, a outra é multiplicada por 4.
Atenção: no exemplo da viagem, estamos supondo que a distância permanece a mesma. As condições mantidas constantes fazem parte da análise da proporcionalidade.
5. O produto constante na proporcionalidade inversa
Observe novamente a viagem de 240 km:
| Velocidade | Tempo |
|---|---|
| 40 km/h | 6 h |
| 60 km/h | 4 h |
| 80 km/h | 3 h |
| 120 km/h | 2 h |
Multiplicando os valores correspondentes:
O produto permanece constante. Portanto:
Nesse caso, k = 240, que corresponde à distância mantida fixa.
Isolando y:
Exemplo — Determinando um valor em uma relação inversa
Duas grandezas x e y são inversamente proporcionais. Quando x = 5, temos y = 12. Determine y quando x = 15.
Primeiro calculamos a constante:
Portanto:
Para x = 15:
Portanto, quando x = 15, temos y = 4.
Também podemos interpretar pela variação: x foi multiplicado por 3, pois 5 × 3 = 15. Como as grandezas são inversamente proporcionais, y é dividido por 3:
Pratique
Duas grandezas x e y são inversamente proporcionais. Quando x = 8, temos y = 15.
Ver respostas
6. Como distinguir proporcionalidade direta e inversa
Considere primeiro:
| x | y |
|---|---|
| 2 | 6 |
| 4 | 12 |
| 6 | 18 |
| 8 | 24 |
Calculando y/x:
A razão permanece constante. Portanto, as grandezas são diretamente proporcionais e:
Agora considere:
| x | y |
|---|---|
| 2 | 24 |
| 4 | 12 |
| 6 | 8 |
| 8 | 6 |
Calculando os produtos:
O produto permanece constante. Portanto, as grandezas são inversamente proporcionais e:
Para testar proporcionalidade inversa: verificamos se o produto dos valores correspondentes permanece constante.
Pratique
1.
| x | y |
|---|---|
| 2 | 10 |
| 3 | 15 |
| 5 | 25 |
| 7 | 35 |
2.
| x | y |
|---|---|
| 2 | 30 |
| 3 | 20 |
| 5 | 12 |
| 6 | 10 |
Classifique cada relação como diretamente proporcional, inversamente proporcional ou não proporcional.
Ver respostas
7. Nem toda relação entre duas grandezas é proporcional
Duas grandezas podem aumentar juntas sem serem diretamente proporcionais. Da mesma forma, uma pode aumentar enquanto a outra diminui sem que exista proporcionalidade inversa.
Exemplo 1 — Uma relação crescente que não é diretamente proporcional
Imagine um serviço de transporte que cobra R$ 6,00 de tarifa inicial + R$ 2,00 por quilômetro percorrido.
| Distância | Preço |
|---|---|
| 1 km | R$ 8,00 |
| 2 km | R$ 10,00 |
| 3 km | R$ 12,00 |
| 4 km | R$ 14,00 |
A distância aumenta e o preço também aumenta. Porém, precisamos testar a proporcionalidade.
As razões não são iguais. Portanto, distância e preço não são diretamente proporcionais.
Também podemos perceber isso ao dobrar a distância de 1 km para 2 km. Se houvesse proporcionalidade direta, R$ 8,00 deveria dobrar para R$ 16,00. Entretanto, o preço passa para R$ 10,00.
A tarifa inicial de R$ 6,00 impede a proporcionalidade direta.
Exemplo 2 — Aumentar e diminuir não é suficiente
| x | y |
|---|---|
| 1 | 10 |
| 2 | 8 |
| 3 | 7 |
| 4 | 6 |
Quando x aumenta, y diminui. Para verificar se existe proporcionalidade inversa, calculamos os produtos:
Os produtos não são constantes. Portanto, as grandezas não são inversamente proporcionais.
Pratique
| x | y |
|---|---|
| 1 | 7 |
| 2 | 9 |
| 3 | 11 |
| 4 | 13 |
As grandezas são diretamente proporcionais?
Ver respostas
Não. Calculando algumas razões:
Como as razões já são diferentes, não existe proporcionalidade direta. O fato de x e y aumentarem juntos não é suficiente.
8. Aplicações da proporcionalidade
Exemplo 1 — Produção em ritmo constante
Uma máquina produz 150 peças em 5 horas, mantendo um ritmo constante. Quantas peças produzirá em 8 horas?
Tempo e quantidade produzida são diretamente proporcionais nessas condições. Primeiro calculamos a produção por hora:
A máquina produz 30 peças por hora. Portanto:
Para 8 horas:
Portanto, mantendo o mesmo ritmo, a máquina produzirá 240 peças em 8 horas.
Exemplo 2 — Velocidade e tempo
Um veículo precisa percorrer uma distância fixa de 360 km. A 60 km/h, o tempo é:
Quanto tempo levaria para percorrer os mesmos 360 km a 90 km/h?
Como a distância permanece fixa, velocidade e tempo são inversamente proporcionais:
Dividindo por 90:
Portanto, a 90 km/h, o percurso levaria 4 horas.
Exemplo 3 — Trabalhadores e tempo
Uma equipe de 6 trabalhadores realiza determinado serviço em 10 dias. Suponha que todos trabalhem no mesmo ritmo e que o serviço possa ser dividido igualmente entre eles.
Em quantos dias 12 trabalhadores realizariam o mesmo serviço?
A quantidade de trabalhadores dobrou:
Como a relação é inversa, o tempo é dividido por 2:
Podemos confirmar pelo produto constante:
Portanto, nas condições estabelecidas, 12 trabalhadores realizariam o serviço em 5 dias.
Pratique
Ver respostas
9. Representação gráfica da proporcionalidade
Os gráficos ajudam a perceber visualmente que a proporcionalidade direta e a inversa apresentam comportamentos diferentes.
Na proporcionalidade direta y = 2x, temos:
| x | y |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 2 |
| 2 | 4 |
| 3 | 6 |
| 4 | 8 |
Na proporcionalidade inversa y = 12x, alguns pares são:
| x | y |
|---|---|
| 1 | 12 |
| 2 | 6 |
| 3 | 4 |
| 4 | 3 |
| 6 | 2 |
| 12 | 1 |
Proporcionalidade direta: y = 2x
Proporcionalidade inversa: y = 12/x
No primeiro gráfico, os pontos ficam alinhados em uma reta que passa pela origem (0, 0). Isso acontece porque, em uma proporcionalidade direta, y = kx e, quando x = 0, também temos y = 0.
No segundo gráfico, os pontos formam uma curva. À medida que x aumenta, y diminui, mantendo constante o produto x · y = 12.
10. Revisão e aprofundamento
a) Qual é a constante de proporcionalidade entre o número de páginas e o tempo?
b) Quantas páginas serão impressas em 12 minutos?
| x | y |
|---|---|
| 2 | 14 |
| 4 | 28 |
| 6 | 42 |
| 10 | 70 |
a) Determine a constante de proporcionalidade.
b) Escreva a relação entre x e y.
c) Determine y quando x = 14.
| x | y |
|---|---|
| 3 | 24 |
| 4 | 18 |
| 6 | 12 |
| 8 | 9 |
| x | y |
|---|---|
| 1 | 5 |
| 2 | 8 |
| 3 | 11 |
| 4 | 14 |
b) Qual é a constante de proporcionalidade?
c) Determine y para x = 6.
d) Determine x para y = 3.