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Sequências e progressão aritmética

Uma sequência organiza elementos em uma ordem definida. Ela pode descrever a quantidade de assentos em fileiras, o valor economizado a cada mês, as figuras de um padrão ou qualquer situação em que os valores aparecem em posições sucessivas.

Nesta postagem, estudaremos as leis de formação das sequências, a representação pelo termo geral e por recorrência, o conceito de progressão aritmética, a fórmula do termo geral e a soma dos termos de uma PA.

Conhecimentos de base

EM13MAT507 — identificar e associar progressões aritméticas a funções afins de domínios discretos para analisar propriedades, deduzir fórmulas e resolver problemas.

Para acompanhar o conteúdo, é importante saber:

• realizar operações com números reais;
• substituir valores em expressões algébricas;
• resolver equações do primeiro grau;
• reconhecer padrões numéricos e geométricos;
• interpretar tabelas, gráficos e situações-problema.

1. O que é uma sequência?

Uma sequência é uma lista ordenada de números, figuras ou outros elementos. A posição de cada elemento faz parte de sua identificação.

(a₁, a₂, a₃, ..., a_n, ...)

• a₁ é o primeiro termo;
• a₂ é o segundo termo;
• a_n é o termo que ocupa a posição n.

Na sequência (5, 8, 11, 14, 17), por exemplo, a₁=5, a₃=11 e a₅=17.

Atenção: a_n indica o termo localizado na posição n. Não representa, em geral, o produto entre a e n.

Sequências finitas e infinitas

Sequência finita

Possui uma quantidade determinada de termos.

(2, 4, 6, 8, 10)

Sequência infinita

Seus termos continuam indefinidamente.

(1, 3, 5, 7, 9, ...)

Exemplo 1 — Termos de uma sequência

Considere a sequência (12, 17, 22, 27, 32, ...).

O quarto termo é 27. A diferença entre dois termos consecutivos é sempre 5, o que permite prever que o sexto termo será 37.

2. Lei de formação de uma sequência

A lei de formação é uma regra que permite determinar os termos. Uma mesma quantidade inicial de termos pode sugerir padrões diferentes; por isso, a regra precisa ser conhecida ou justificada pelo contexto.

Lei explícita ou termo geral

Uma lei explícita permite calcular a_n diretamente a partir da posição n.

Exemplo 2 — Usando uma fórmula explícita

Considere:

a_n=3n+2

Calculando os cinco primeiros termos:

n	Cálculo	an
1	3·1+2	5
2	3·2+2	8
3	3·3+2	11
4	3·4+2	14
5	3·5+2	17

A sequência é (5, 8, 11, 14, 17, ...).

Exemplo 3 — Sequência dos quadrados

Se a_n=n², então:

a₁=1, a₂=4, a₃=9, a₄=16, ...

Logo, obtemos (1, 4, 9, 16, 25, ...). As diferenças não são constantes, portanto essa sequência não é uma PA.

Lei recursiva

Uma lei recursiva informa um termo inicial e explica como obter cada novo termo a partir de termos anteriores.

a₁=4 e a_n=a_n−1+6, para n≥2

Começando em 4 e acrescentando 6 sucessivamente, obtemos (4, 10, 16, 22, 28, ...).

Diferença importante: a lei explícita fornece um termo sem exigir o cálculo dos anteriores. Na lei recursiva, normalmente precisamos conhecer um ou mais termos anteriores.

Pratique 1

Questão 1 Considere a_n=2n+5. Determine os seis primeiros termos.

Questão 2 Uma sequência é definida por a₁=3 e a_n=a_n−1+4. Determine a₅.

Questão 3 Em um painel, a primeira figura possui 4 quadrados, a segunda 7, a terceira 10 e a quarta 13. Mantido o padrão, quantos quadrados terá a oitava figura?

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Questão 1

Substituímos n por 1, 2, 3, 4, 5 e 6:

(7, 9, 11, 13, 15, 17)

Questão 2

a₂=7, a₃=11, a₄=15, a₅=19

Logo, a₅=19.

Questão 3

A quantidade aumenta 3 a cada figura. Continuando: 16, 19, 22 e 25. Portanto, a oitava figura terá 25 quadrados.

3. Representações de uma sequência

Uma sequência pode ser apresentada por descrição verbal, lista, tabela, fórmula, recorrência ou representação geométrica.

Situação→Lista de termos→Tabela→Lei de formação

Exemplo 4 — Fileiras de um auditório

A primeira fileira possui 18 lugares. Cada nova fileira possui 2 lugares a mais que a anterior.

Fileira n	1	2	3	4	5
Lugares an	18	20	22	24	26

A lista é (18,20,22,24,26,...). Como cada termo aumenta 2, sua lei explícita será obtida mais adiante pela fórmula da PA.

Sequência crescente, decrescente e constante

• crescente: os termos aumentam, como (2,5,8,11,...);
• decrescente: os termos diminuem, como (30,25,20,15,...);
• constante: todos os termos são iguais, como (7,7,7,7,...).

4. Progressão aritmética

Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência numérica em que a diferença entre um termo e o anterior é constante. Essa diferença é chamada de razão e é representada por r.

r=a_n−a_n−1

PA crescente

r>0

(4,7,10,13,...)

PA decrescente

r<0

(20,16,12,8,...)

PA constante

r=0

(6,6,6,6,...)

Exemplo 5 — Verificando se uma sequência é PA

Considere (7,12,17,22,27).

12−7=5, 17−12=5, 22−17=5, 27−22=5

Como todas as diferenças são iguais, a sequência é uma PA de razão 5.

Já (2,4,8,16) não é uma PA, pois as diferenças são 2, 4 e 8.

Pratique 2

Questão 1 Classifique a PA (32,27,22,17,...) e determine sua razão.

Questão 2 A sequência (3,8,13,18,24) é uma PA? Justifique.

Questão 3 Escreva os cinco primeiros termos de uma PA com a₁=−4 e r=7.

Ver respostas

Questão 1

r=27−32=−5

Como r<0, a PA é decrescente.

Questão 2

Não. As primeiras diferenças são 5, mas 24−18=6. Como a diferença não permanece constante, a sequência não é uma PA.

Questão 3

Somamos 7 sucessivamente:

(−4, 3, 10, 17, 24)

5. Termo geral de uma PA

Em uma PA, partimos de a₁ e adicionamos a razão para avançar uma posição:

a₂=a₁+r

a₃=a₁+2r

a₄=a₁+3r

Para chegar da primeira posição à posição n, realizamos n−1 avanços. Assim:

a_n=a₁+(n−1)r

Erro frequente: usar nr no lugar de (n−1)r. Entre o primeiro e o n-ésimo termo existem n−1 intervalos.

Exemplo 6 — Determinando um termo distante

Na PA (6,10,14,18,...), determine a₂₅.

Temos a₁=6, r=4 e n=25:

a₂₅=6+(25−1)·4=6+96=102

Exemplo 7 — Determinando a posição de um termo

Em qual posição aparece o número 91 na PA (7,13,19,25,...)?

Temos a₁=7 e r=6:

91=7+(n−1)·6

84=6(n−1) ⇒ 14=n−1 ⇒ n=15

O número 91 ocupa a 15ª posição.

Exemplo 8 — Determinando a razão com dois termos

Em uma PA, a₄=18 e a₁₀=42. Determine a razão.

Entre as posições 4 e 10 existem 6 intervalos:

a₁₀=a₄+(10−4)r

42=18+6r ⇒ 24=6r ⇒ r=4

6. Inserção de meios aritméticos

Inserir meios aritméticos entre dois números significa formar uma PA em que esses números sejam o primeiro e o último termo.

Exemplo 9 — Inserindo três meios

Insira três meios aritméticos entre 8 e 28.

A sequência terá cinco termos: 8, __, __, __, 28. Portanto, existem quatro intervalos iguais:

r=28−85−1=204=5

A PA é (8,13,18,23,28).

Pratique 3

Questão 1 Determine o 40º termo da PA (9,13,17,21,...).

Questão 2 Em qual posição aparece o termo 146 na PA (2,8,14,20,...)?

Questão 3 Insira quatro meios aritméticos entre 3 e 33.

Ver respostas

Questão 1

a₁=9 e r=4:

a₄₀=9+39·4=9+156=165

Questão 2

146=2+(n−1)·6

144=6(n−1) ⇒ 24=n−1 ⇒ n=25

O termo 146 aparece na 25ª posição.

Questão 3

Com quatro meios, a PA terá seis termos e cinco intervalos:

r=(33−3)/(6−1)=30/5=6

A sequência é (3,9,15,21,27,33).

7. Soma dos termos de uma PA

Considere a soma dos n primeiros termos:

S_n=a₁+a₂+...+a_n−1+a_n

Escrevendo a mesma soma na ordem inversa e adicionando termo a termo, cada par produz a₁+a_n:

2S_n=n(a₁+a_n)

Dividindo por 2:

S_n=n(a₁+a_n)2

Exemplo 10 — Soma de uma PA finita

Calcule a soma dos 30 primeiros termos da PA (4,7,10,13,...).

Primeiro determinamos a₃₀:

a₃₀=4+29·3=91

Depois aplicamos a fórmula:

S₃₀=30(4+91)2=15·95=1.425

Quando o último termo não é fornecido

Podemos substituir a_n=a₁+(n−1)r na fórmula:

S_n=n[2a₁+(n−1)r]2

As duas fórmulas são equivalentes. Use a primeira quando conhece a_n; use a segunda quando conhece a₁, r e n.

8. Aplicações da progressão aritmética

Exemplo 11 — Lugares em um auditório

Um auditório possui 20 fileiras. A primeira tem 16 lugares e cada fileira seguinte possui 3 lugares a mais.

Na última fileira:

a₂₀=16+19·3=73

Total de lugares:

S₂₀=20(16+73)2=10·89=890

O auditório possui 890 lugares.

Exemplo 12 — Plano de economia

Uma estudante economiza R 40,00 no primeiro mês e aumenta o depósito mensal em R 15,00. Quanto depositará no 12º mês e quanto terá depositado ao todo?

a₁₂=40+11·15=205

S₁₂=12(40+205)2=6·245=1.470

No 12º mês, depositará R 205,00. Ao todo, terá depositado R 1.470,00.

Exemplo 13 — Treinamento progressivo

Um corredor percorre 2.000 m no primeiro treino e aumenta 250 m a cada treino. Em qual treino percorrerá 5.000 m?

5.000=2.000+(n−1)·250

3.000=250(n−1) ⇒ 12=n−1 ⇒ n=13

Ele percorrerá 5.000 m no 13º treino.

Pratique 4

Questão 1 Calcule a soma dos 25 primeiros termos da PA (5,9,13,...).

Questão 2 Uma arquibancada possui 15 fileiras. A primeira tem 22 lugares e cada fileira seguinte possui 2 lugares a mais. Quantos lugares há no total?

Questão 3 Uma pessoa guarda R 30,00 na primeira semana e aumenta esse valor em R 5,00 a cada semana. Quanto guardará ao todo em 10 semanas?

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Questão 1

a₂₅=5+24·4=101

S₂₅=25(5+101)/2=25·53=1.325

Questão 2

a₁₅=22+14·2=50

S₁₅=15(22+50)/2=15·36=540

Há 540 lugares.

Questão 3

a₁₀=30+9·5=75

S₁₀=10(30+75)/2=525

O total será de R 525,00.

9. Gráfico de uma progressão aritmética

Uma PA pode ser interpretada como uma função cujo domínio é formado pelas posições inteiras positivas. Por isso, seu gráfico é composto por pontos isolados.

Embora os pontos estejam alinhados, não devemos uni-los quando n representa a posição de um termo, pois não existem termos em posições como 2,5 ou 4,2.

10. Erros frequentes

• Confundir termo e posição: em a₈=31, o número 8 é a posição e 31 é o termo.
• Aceitar qualquer padrão aparente: poucos termos podem admitir várias regras; o contexto deve definir a lei.
• Usar a diferença sem conferir todos os termos: para ser PA, a diferença precisa ser constante.
• Usar nr no termo geral: da posição 1 até n existem n−1 intervalos.
• Aplicar a fórmula da soma sem determinar a_n: confira quais dados são conhecidos.
• Confundir o valor do último depósito com o total: a_n é um termo; S_n é a soma.
• Ignorar o contexto: posições e quantidades geralmente precisam ser números inteiros positivos.

11. Revisão e aprofundamento

Questão 1 — Lei explícita

Escreva os sete primeiros termos da sequência a_n=4n−3.

Questão 2 — Lei recursiva

Uma sequência é definida por a₁=20 e a_n=a_n−1−3. Determine a₈.

Questão 3 — Reconhecimento de padrão

Uma sequência de figuras utiliza 6, 10, 14, 18 e 22 peças. Escreva uma lei para a quantidade de peças da figura n.

Questão 4 — Verificação de PA

Verifique se (5,11,17,23,29) é uma PA. Em caso afirmativo, determine a razão e classifique-a.

Questão 5 — Termo geral

Determine o 60º termo da PA (−7,−2,3,8,...).

Questão 6 — Posição de um termo

Em qual posição aparece 203 na PA (8,13,18,23,...)?

Questão 7 — Dois termos conhecidos

Em uma PA, a₇=26 e a₁₉=74. Determine a razão e o primeiro termo.

Questão 8 — Meios aritméticos

Insira cinco meios aritméticos entre 4 e 46.

Questão 9 — Soma de termos

Calcule a soma dos 40 primeiros termos da PA (12,17,22,...).

Questão 10 — Numeração de assentos

Em um setor de teatro, a primeira fileira possui 24 assentos e cada fileira seguinte possui 4 assentos a mais. Determine a quantidade de assentos da 18ª fileira e o total nas 18 fileiras.

Questão 11 — Plano de leitura

Uma estudante lê 12 páginas no primeiro dia e aumenta sua meta diária em 3 páginas. Quantas páginas lerá no 15º dia e quantas terá lido ao todo nesse período?

Questão 12 — Análise de uma afirmação

Um aluno afirmou que a soma dos 20 primeiros termos de uma PA pode ser obtida multiplicando o primeiro termo por 20. Explique por que essa afirmação não é válida em geral e indique quando ela seria verdadeira.

Gabarito

Questão 1

Substituindo n por 1 até 7:

(1,5,9,13,17,21,25)

Questão 2

A sequência diminui 3 a cada termo:

(20,17,14,11,8,5,2,−1)

Logo, a₈=−1.

Questão 3

O primeiro termo é 6 e a razão é 4:

a_n=6+(n−1)·4=4n+2

Questão 4

As diferenças são 6 em todos os casos. Portanto, é uma PA crescente de razão 6.

Questão 5

a₁=−7 e r=5:

a₆₀=−7+59·5=−7+295=288

Questão 6

203=8+(n−1)·5

195=5(n−1) ⇒ 39=n−1 ⇒ n=40

O termo 203 ocupa a 40ª posição.

Questão 7

Entre as posições 7 e 19 há 12 intervalos:

74=26+12r ⇒ 48=12r ⇒ r=4

Agora usamos a₇=a₁+6r:

26=a₁+24 ⇒ a₁=2

Questão 8

A sequência terá sete termos e seis intervalos:

r=(46−4)/6=7

PA: (4,11,18,25,32,39,46).

Questão 9

a₄₀=12+39·5=207

S₄₀=40(12+207)/2=20·219=4.380

Questão 10

a₁₈=24+17·4=92

S₁₈=18(24+92)/2=9·116=1.044

A 18ª fileira tem 92 assentos e o setor possui 1.044 assentos.

Questão 11

a₁₅=12+14·3=54

S₁₅=15(12+54)/2=15·33=495

No 15º dia, lerá 54 páginas. No período, lerá 495 páginas.

Questão 12

Multiplicar o primeiro termo por 20 supõe que todos os 20 termos sejam iguais ao primeiro. Isso só é verdadeiro em uma PA constante, com razão r=0. Em uma PA não constante, usamos S₂₀=20(a₁+a₂₀)/2.