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Progressão geométrica: termo geral, soma e PG infinita

Algumas situações não apresentam acréscimos iguais, mas multiplicações sucessivas por um mesmo fator. Isso ocorre no crescimento de uma população de microrganismos, na valorização de um investimento, na redução do valor de um equipamento e na repetição de movimentos cada vez menores.

Nesta postagem, estudaremos a progressão geométrica, sua razão, a fórmula do termo geral, a inserção de meios geométricos, a soma de uma quantidade finita de termos e a soma dos termos de uma PG infinita convergente.

Conhecimentos de base

EM13MAT508 — identificar e associar sequências numéricas a funções exponenciais de domínios discretos para analisar propriedades, deduzir fórmulas e resolver problemas.

Para acompanhar o conteúdo, é importante saber operar com potências, resolver equações exponenciais simples, calcular porcentagens e reconhecer padrões multiplicativos.

1. Padrões multiplicativos

Em uma sequência aditiva, cada termo é obtido acrescentando uma quantidade fixa. Em um padrão multiplicativo, cada termo é obtido multiplicando o anterior por um mesmo número.

Sequência	Operação entre termos	Tipo de padrão
5, 8, 11, 14, ...	somar 3	aditivo
5, 15, 45, 135, ...	multiplicar por 3	multiplicativo
160, 80, 40, 20, ...	multiplicar por 0,5	multiplicativo

Exemplo 1 — Reprodução de bactérias

Uma cultura começa com 200 bactérias, e a quantidade triplica a cada hora.

200 → 600 → 1 800 → 5 400 → 16 200

A operação que leva de um termo ao seguinte é sempre a multiplicação por 3.

2. Progressão geométrica e razão

Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão, representada por q.

a_n = a_n−1 · q

Quando os termos envolvidos são diferentes de zero, a razão também pode ser calculada por:

q = a_na_n−1

Exemplo 2 — Determinando a razão

Considere a PG (4, 12, 36, 108, ...).

12 ÷ 4 = 3
36 ÷ 12 = 3
108 ÷ 36 = 3

Como os quocientes são iguais, a razão é q=3.

Comportamento de uma PG com primeiro termo positivo

q>1

Os termos positivos aumentam.

2, 6, 18, 54, ...

0<q<1

Os termos positivos diminuem e se aproximam de zero.

80, 40, 20, 10, ...

q<0

Os sinais se alternam.

3, −6, 12, −24, ...

Atenção: se q=1, todos os termos são iguais. Se q=0, os termos posteriores ao primeiro são iguais a zero. Quando q é negativo, a PG não é classificada simplesmente como crescente ou decrescente, pois seus sinais se alternam.

Pratique 1

Questão 1 Verifique se a sequência (7, 21, 63, 189, ...) é uma PG e determine sua razão.

Questão 2 Classifique o comportamento da PG (320, 160, 80, 40, ...) e determine q.

Questão 3 Escreva os cinco primeiros termos de uma PG com a₁=5 e q=−2.

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Questão 1

21 ÷ 7 = 3
63 ÷ 21 = 3
189 ÷ 63 = 3

É uma PG de razão q=3.

Questão 2

q = 160 ÷ 320 = 0,5

Como 0<q<1 e o primeiro termo é positivo, a PG é decrescente.

Questão 3

5 · (−2) = −10
−10 · (−2) = 20
20 · (−2) = −40
−40 · (−2) = 80

A PG é (5, −10, 20, −40, 80).

3. Termo geral de uma PG

Partindo do primeiro termo, multiplicamos sucessivamente pela razão:

a₂ = a₁ · q
a₃ = a₁ · q · q = a₁ · q²
a₄ = a₁ · q³

Para chegar da primeira posição à posição n, realizamos n−1 multiplicações. Portanto:

a_n = a₁ · qⁿ⁻¹

Exemplo 3 — Determinando um termo distante

Determine o oitavo termo da PG (5, 15, 45, ...).

a₁=5, q=3 e n=8
a₈ = 5 · 3⁸⁻¹
a₈ = 5 · 3⁷
a₈ = 5 · 2 187 = 10 935

Exemplo 4 — Localizando um termo

Em qual posição aparece 1 458 na PG (2, 6, 18, ...)?

1 458 = 2 · 3ⁿ⁻¹
729 = 3ⁿ⁻¹
3⁶ = 3ⁿ⁻¹
n−1=6, então n=7

O número 1 458 ocupa a 7ª posição.

4. Determinação da razão e do primeiro termo

Quando conhecemos dois termos não consecutivos, podemos relacioná-los sem calcular todos os termos intermediários:

a_n = a_p · q^n−p

Exemplo 5 — Dois termos conhecidos

Em uma PG, a₃=20 e a₆=160. Determine a razão e o primeiro termo.

a₆ = a₃ · q⁶⁻³
160 = 20q³
q³ = 8
q=2

Agora usamos a₃=a₁q²:

20 = a₁ · 2²
20 = 4a₁
a₁=5

5. Inserção de meios geométricos

Inserir meios geométricos entre dois números significa formar uma PG na qual esses números ocupam a primeira e a última posição.

Exemplo 6 — Inserindo três meios geométricos positivos

Insira três meios geométricos positivos entre 2 e 162.

A PG terá cinco termos e, portanto, quatro intervalos multiplicativos:

162 = 2 · q⁴
q⁴ = 81
q=3

A PG é (2, 6, 18, 54, 162).

Observação: a palavra “positivos” elimina a possibilidade q=−3, que produziria termos intermediários com sinais alternados.

Pratique 2

Questão 1 Determine o décimo termo da PG (3, 6, 12, ...).

Questão 2 Em qual posição aparece 6 250 na PG (2, 10, 50, ...)?

Questão 3 Insira dois meios geométricos positivos entre 4 e 108.

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Questão 1

a₁₀ = 3 · 2⁹
a₁₀ = 3 · 512 = 1 536

Questão 2

6 250 = 2 · 5ⁿ⁻¹
3 125 = 5ⁿ⁻¹
5⁵ = 5ⁿ⁻¹
n=6

O termo aparece na 6ª posição.

Questão 3

A PG terá quatro termos:

108 = 4 · q³
q³ = 27
q=3

A sequência é (4, 12, 36, 108).

6. Soma dos termos de uma PG finita

Considere a soma dos n primeiros termos de uma PG:

S_n = a₁ + a₁q + a₁q² + ... + a₁qⁿ⁻¹

Multiplicando toda a igualdade por q:

qS_n = a₁q + a₁q² + ... + a₁qⁿ

Subtraindo as duas expressões, os termos intermediários se anulam. Para q≠1, obtemos:

S_n = a₁(qⁿ−1)q−1

A mesma fórmula pode ser escrita como:

S_n = a₁(1−qⁿ)1−q

Caso especial: se q=1, todos os termos são iguais a a₁. Nesse caso, S_n=n·a₁.

Exemplo 7 — Soma de uma PG crescente

Calcule a soma dos dez primeiros termos da PG (3, 6, 12, ...).

a₁=3, q=2 e n=10
S₁₀ = 3(2¹⁰−1)/(2−1)
S₁₀ = 3(1 024−1)
S₁₀ = 3 · 1 023 = 3 069

Exemplo 8 — Soma de uma PG decrescente

Calcule 160+80+40+20+10.

a₁=160, q=0,5 e n=5
S₅ = 160(1−0,5⁵)/(1−0,5)
S₅ = 160(1−0,03125)/0,5
S₅ = 310

7. Aplicações de uma PG finita

Exemplo 9 — Investimento com juros compostos

Um capital de R 2.000,00 rende 5% ao ano. Sem retiradas, qual será o montante depois de quatro anos?

A cada ano, o valor anterior é multiplicado por 1+0,05=1,05.

M = 2 000 · 1,05⁴
M = 2 000 · 1,21550625
M = 2 431,0125

Arredondando para centavos, o montante será de R 2.431,01.

Exemplo 10 — Desvalorização

Uma máquina vale R 50.000,00 e perde 12% de seu valor a cada ano. Qual será seu valor depois de três anos?

Se perde 12%, conserva 88% do valor anterior. Logo, q=0,88.

V = 50 000 · 0,88³
V = 50 000 · 0,681472
V = 34 073,60

Depois de três anos, o valor estimado será de R 34.073,60.

Pratique 3

Questão 1 Calcule a soma dos oito primeiros termos da PG (2, 6, 18, ...).

Questão 2 Uma rede de mensagens começa com 4 pessoas. Em cada etapa, cada participante envia a mensagem para 3 novas pessoas. Quantas pessoas recebem a mensagem nas seis primeiras etapas, considerando 4 pessoas na primeira etapa?

Questão 3 Um equipamento custa R 8.000,00 e conserva 90% do valor a cada ano. Determine seu valor depois de quatro anos.

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Questão 1

S₈ = 2(3⁸−1)/(3−1)
S₈ = 2(6 561−1)/2
S₈ = 6 560

Questão 2

As quantidades formam a PG (4, 12, 36, ...), com q=3.

S₆ = 4(3⁶−1)/(3−1)
S₆ = 4(729−1)/2
S₆ = 1 456

Nas seis etapas, 1 456 pessoas recebem a mensagem.

Questão 3

V = 8 000 · 0,9⁴
V = 8 000 · 0,6561
V = 5 248

O valor será de R 5.248,00.

8. Progressão geométrica infinita

Uma PG infinita possui termos que continuam indefinidamente. Nem toda PG infinita apresenta uma soma finita.

Quando |q|<1, as potências qⁿ aproximam-se de zero à medida que n aumenta. Por isso, os termos da PG também se aproximam de zero, e a soma pode convergir para um valor finito.

Condição	Comportamento dos termos	Soma infinita finita?
|q|<1	aproximam-se de zero	sim
|q|=1	não se aproximam de zero, exceto em caso trivial	não
|q|>1	aumentam em módulo	não

Partindo da fórmula da soma finita:

S_n = a₁(1−qⁿ)1−q

Quando n cresce indefinidamente e |q|<1, temos qⁿ→0. Assim:

S_∞ = a₁1−q

Exemplo 11 — Soma de uma PG infinita positiva

Calcule 12+6+3+1,5+...

a₁=12 e q=0,5
S_∞ = 12/(1−0,5)
S_∞ = 12/0,5 = 24

Exemplo 12 — Razão negativa

Calcule 8−4+2−1+...

a₁=8 e q=−0,5
S_∞ = 8/[1−(−0,5)]
S_∞ = 8/1,5 = 16/3

Apesar da alternância de sinais, a soma converge porque |−0,5|<1.

9. Aplicações da PG infinita

Exemplo 13 — Distância percorrida por uma bola

Uma bola é solta de 10 m de altura. Após cada impacto, ela sobe 60% da altura anterior. Determine a distância total percorrida até o movimento tornar-se desprezível.

A primeira descida mede 10 m. Depois, cada altura de subida também aparece como uma descida:

Alturas das subidas: 6 + 3,6 + 2,16 + ...
a₁=6 e q=0,6
S_∞ = 6/(1−0,6) = 15

A soma das subidas é 15 m e a soma das descidas posteriores também é 15 m:

Distância total = 10 + 15 + 15 = 40 m

Exemplo 14 — Dízima periódica

A dízima 0,777... pode ser decomposta como:

0,777... = 0,7 + 0,07 + 0,007 + ...

Essa é uma PG infinita com a₁=0,7 e q=0,1:

S_∞ = 0,7/(1−0,1)
S_∞ = 0,7/0,9 = 7/9

Portanto, 0,777...=7/9.

Pratique 4

Questão 1 Calcule a soma 18+6+2+2/3+...

Questão 2 Determine se a PG infinita (5, −10, 20, −40, ...) possui soma finita. Justifique.

Questão 3 Uma bola é solta de 8 m e, após cada impacto, sobe metade da altura anterior. Determine a distância total percorrida.

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Questão 1

a₁=18 e q=1/3
S_∞ = 18/(1−1/3)
S_∞ = 18/(2/3) = 27

Questão 2

q = −10 ÷ 5 = −2
|q|=2

Como |q|≥1, os termos não se aproximam de zero. Portanto, a PG não possui soma infinita finita.

Questão 3

A primeira descida mede 8 m. As alturas posteriores formam 4+2+1+...

S_∞ = 4/(1−0,5) = 8
Distância total = 8 + 2 · 8 = 24 m

10. Representação gráfica de uma PG

Uma PG pode ser associada a uma função exponencial de domínio discreto. Por isso, quando n representa a posição do termo, o gráfico é formado por pontos isolados.

PG (1, 2, 4, 8, 16, ...). A linha tracejada apenas evidencia o padrão; os valores da sequência correspondem aos pontos.

O crescimento não é linear. As diferenças entre termos aumentam, mas a razão entre termos consecutivos permanece constante.

11. Erros frequentes

• Confundir PA e PG: na PA, verificamos diferenças; na PG, verificamos quocientes ou multiplicações.
• Usar qⁿ no termo geral: o expoente correto é n−1.
• Esquecer o caso q=1: a fórmula da soma com denominador q−1 não pode ser usada quando q=1.
• Aplicar a soma infinita sem verificar a razão: a fórmula S_∞=a₁/(1−q) exige |q|<1.
• Considerar apenas as subidas de uma bola: depois da primeira queda, cada altura é percorrida duas vezes, uma na subida e outra na descida.
• Usar a porcentagem perdida como razão: se um objeto perde 12%, ele conserva 88%, logo q=0,88.

12. Revisão e aprofundamento

Questão 1 — Reconhecimento de PG

Verifique se (6, 18, 54, 162, ...) é uma PG e determine sua razão.

Questão 2 — Comportamento

Analise a PG (250, 50, 10, 2, ...) e descreva seu comportamento.

Questão 3 — Termo geral

Determine o décimo termo da PG (3, 6, 12, ...).

Questão 4 — Posição de um termo

Em qual posição aparece 1 024 na PG (4, 8, 16, ...)?

Questão 5 — Dois termos conhecidos

Em uma PG de termos positivos, a₄=54 e a₇=1 458. Determine q e a₁.

Questão 6 — Meios geométricos

Insira três meios geométricos positivos entre 5 e 405.

Questão 7 — Soma finita

Calcule a soma dos oito primeiros termos da PG (2, 6, 18, ...).

Questão 8 — PG constante

Calcule a soma dos quinze primeiros termos da PG (7, 7, 7, ...).

Questão 9 — Produção mensal

Uma fábrica produz, em média, 500 unidades no primeiro mês e aumenta a produção em 20% a cada mês. Qual é a produção estimada no quinto mês?

Questão 10 — Soma infinita

Calcule 18+6+2+2/3+...

Questão 11 — Condição de convergência

Explique por que a PG infinita (5, −10, 20, −40, ...) não possui soma finita.

Questão 12 — Movimento de uma bola

Uma bola é solta de 8 m e sobe metade da altura anterior após cada impacto. Calcule a distância total percorrida.

Gabarito

Questão 1

18 ÷ 6 = 3
54 ÷ 18 = 3
162 ÷ 54 = 3

É uma PG de razão q=3.

Questão 2

q = 50 ÷ 250 = 0,2

Como 0<q<1 e os termos são positivos, a PG é decrescente e seus termos se aproximam de zero.

Questão 3

a₁₀ = 3 · 2⁹
a₁₀ = 3 · 512 = 1 536

Questão 4

1 024 = 4 · 2ⁿ⁻¹
256 = 2ⁿ⁻¹
2⁸ = 2ⁿ⁻¹
n=9

O termo ocupa a 9ª posição.

Questão 5

1 458 = 54 · q³
q³ = 27
q=3

Usando a₄=a₁q³:

54 = a₁ · 27
a₁=2

Questão 6

405 = 5 · q⁴
q⁴ = 81
q=3

A PG é (5, 15, 45, 135, 405).

Questão 7

S₈ = 2(3⁸−1)/(3−1)
S₈ = 2(6 561−1)/2 = 6 560

Questão 8

Como q=1, todos os quinze termos são iguais a 7.

S₁₅ = 15 · 7 = 105

Questão 9

O aumento de 20% corresponde ao fator 1,2.

a₅ = 500 · 1,2⁴
a₅ = 500 · 2,0736
a₅ = 1 036,8

O modelo fornece 1 036,8 unidades. Se a quantidade precisar ser inteira, o contexto deve estabelecer o critério de arredondamento.

Questão 10

a₁=18 e q=1/3
S_∞ = 18/(1−1/3) = 27

Questão 11

q=−2 e |q|=2

Como |q|≥1, os termos não se aproximam de zero. A condição de convergência não é satisfeita.

Questão 12

A primeira queda mede 8 m. As alturas posteriores formam 4+2+1+...

S_∞ = 4/(1−0,5) = 8
Distância total = 8 + 2 · 8 = 24 m

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