Conjuntos numéricos e intervalos reais
Os números estão presentes em situações muito diferentes. Podemos utilizá-los para contar pessoas, registrar temperaturas, representar dívidas, indicar medidas, expressar partes de uma quantidade ou descrever valores que não podem ser escritos na forma de uma fração.
Para organizar esses diferentes tipos de números, a Matemática utiliza os conjuntos numéricos. Ao longo do desenvolvimento da Matemática, novos conjuntos foram sendo considerados à medida que determinadas situações não podiam ser resolvidas apenas com os números já conhecidos.
Nesta postagem, estudaremos os conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais. Depois, veremos como os números reais podem ser representados na reta e como determinados subconjuntos de \(\mathbb R\) podem ser expressos por meio de intervalos reais.
Conhecimento de base: os conjuntos numéricos e os intervalos reais são utilizados na representação, comparação e análise de números e grandezas e servem de suporte para diferentes conteúdos matemáticos do Ensino Médio.
Observação: este conteúdo é apresentado como conhecimento de base para aprendizagens posteriores envolvendo Álgebra, Funções, Geometria, Estatística e outras áreas da Matemática.
1. Conjuntos numéricos
Os conjuntos numéricos permitem agrupar números que apresentam determinadas características em comum. Os principais conjuntos que estudaremos são:
- \(\mathbb N\) – números naturais;
- \(\mathbb Z\) – números inteiros;
- \(\mathbb Q\) – números racionais;
- \(\mathbb I\) – números irracionais;
- \(\mathbb R\) – números reais.
Esses conjuntos estão relacionados entre si. Um mesmo número pode pertencer a mais de um conjunto numérico.
2. Números naturais
Os números naturais são utilizados principalmente em contagens e na indicação de quantidades.
Nesta postagem, adotaremos a convenção de que o número zero pertence ao conjunto dos números naturais.
\(0,\ 3,\ 18,\ 125\) são números naturais.
Pratique
Entre os números \(7,\ -4,\ 0,\ 2,5\) e \(18\), quais pertencem a \(\mathbb N\)?
Ver respostas
\(7,\ 0\) e \(18\).
3. Números inteiros
Os números inteiros incluem os números naturais, seus opostos negativos e o zero.
Todo número natural também é um número inteiro. Assim:
Os números inteiros aparecem, por exemplo, na representação de temperaturas abaixo de zero, saldos negativos e diferenças de altitude.
Uma temperatura de 5 °C abaixo de zero pode ser representada pelo número \(-5\).
Pratique
Classifique como verdadeiro ou falso:
a) \(-8\in\mathbb Z\)
b) \(4\in\mathbb Z\)
c) \(2,7\in\mathbb Z\)
Ver respostas
a) Verdadeiro.
b) Verdadeiro.
c) Falso.
4. Números racionais
Um número é racional quando pode ser escrito na forma de uma fração de dois números inteiros, com denominador diferente de zero.
São números racionais:
- os números inteiros;
- as frações;
- os números decimais exatos;
- as dízimas periódicas.
\[ \frac34=0,75 \]
\[ \frac13=0,333\ldots \]
Além disso, \(5\) é racional porque pode ser escrito como \(\frac51\).
Pratique
Quais dos números abaixo são racionais?
\[ -3,\qquad \frac27,\qquad 1,25,\qquad 0,777\ldots \]
Ver respostas
Todos são números racionais.
5. Números irracionais
Os números irracionais não podem ser escritos como uma fração de dois números inteiros.
Sua representação decimal é infinita e não periódica.
\[ \sqrt2=1,4142135\ldots \]
\[ \pi=3,1415926\ldots \]
Nenhum número pode ser simultaneamente racional e irracional. Portanto:
Pratique
Entre \(\sqrt5,\ \sqrt{16},\ \pi\) e \(0,25\), quais são irracionais?
Ver respostas
\(\sqrt5\) e \(\pi\).
6. Números reais
O conjunto dos números reais é formado pelos números racionais e irracionais.
Assim, números naturais, inteiros, frações, decimais exatos, dízimas periódicas e números irracionais pertencem ao conjunto dos números reais.
Pratique
Os números \(-7\), \(\frac12\), \(\sqrt3\) e \(\pi\) pertencem a \(\mathbb R\)?
Ver respostas
Sim. Todos pertencem ao conjunto dos números reais.
7. Relações entre os conjuntos numéricos
Os conjuntos numéricos apresentam relações de inclusão:
Os números irracionais também pertencem aos reais, mas não pertencem aos racionais.
8. Classificação de números
Um número pode pertencer a vários conjuntos numéricos ao mesmo tempo. Por isso, quando queremos classificá-lo de maneira mais específica, podemos identificar o menor conjunto numérico ao qual ele pertence.
Exemplo 1: \(8\)
\(8\in\mathbb N\), \(8\in\mathbb Z\), \(8\in\mathbb Q\) e \(8\in\mathbb R\).
Seu menor conjunto numérico é \(\mathbb N\).
Exemplo 2: \(-4\)
\(-4\notin\mathbb N\), mas pertence a \(\mathbb Z\), \(\mathbb Q\) e \(\mathbb R\).
Seu menor conjunto numérico é \(\mathbb Z\).
Exemplo 3: \(\sqrt2\)
\(\sqrt2\in\mathbb I\) e \(\sqrt2\in\mathbb R\).
Pratique
Indique o menor conjunto numérico ao qual pertence cada número:
a) \(12\)
b) \(-9\)
c) \(\frac58\)
d) \(\sqrt7\)
Ver respostas
a) \(\mathbb N\)
b) \(\mathbb Z\)
c) \(\mathbb Q\)
d) \(\mathbb I\)
9. A reta real
Os números reais podem ser representados geometricamente em uma reta real.
Cada ponto da reta corresponde a um número real e cada número real corresponde a um ponto da reta.
Os números \(-2\), \(0\), \(1,5\), \(\sqrt2\) e \(4\), por exemplo, podem ser localizados na reta de acordo com sua ordem.
Na reta real, os números aumentam da esquerda para a direita. Assim, se um número \(a\) está à esquerda de um número \(b\), então:
10. Intervalos reais
Um intervalo real é um subconjunto de \(\mathbb R\) formado por números localizados entre determinados valores na reta real.
Por exemplo, o conjunto dos números reais compreendidos entre 2 e 6, incluindo os dois extremos, pode ser representado de duas maneiras.
| Representação | Forma |
|---|---|
| Notação de intervalo | [2,6] |
| Notação de conjunto | {x ∈ R | 2 ≤ x ≤ 6} |
A desigualdade \(2\le x\le6\) indica a condição que os elementos devem satisfazer; na notação de conjunto, essa condição aparece junto da informação de que \(x\) pertence aos números reais.
11. Intervalos abertos, fechados e semiabertos
Os símbolos utilizados nos extremos indicam se determinado valor pertence ou não ao intervalo.
| Intervalo | Condição | Classificação |
|---|---|---|
| [2,6] | 2 ≤ x ≤ 6 | Fechado |
| ]2,6[ | 2 < x < 6 | Aberto |
| [2,6[ | 2 ≤ x < 6 | Semiaberto |
| ]2,6] | 2 < x ≤ 6 | Semiaberto |
Pratique
Escreva em forma de intervalo:
a) \(1\le x\le5\)
b) \(2<x<9\)
c) \(-3\le x<4\)
Ver respostas
a) \([1,5]\)
b) \(]2,9[\)
c) \([-3,4[\)
12. Intervalos infinitos
Alguns intervalos não possuem limite em uma das direções da reta real. Nesses casos, utilizamos os símbolos \(+\infty\) ou \(-\infty\).
| Condição | Intervalo |
|---|---|
| x ≥ 3 | [3,+∞[ |
| x > 3 | ]3,+∞[ |
| x ≤ 4 | ]-∞,4] |
| x < 4 | ]-∞,4[ |
13. União e interseção de intervalos
Como os intervalos são conjuntos, também podemos realizar operações de união e interseção.
União
A união reúne todos os números que pertencem a pelo menos um dos dois intervalos.
Considere \(A=[1,5]\) e \(B=[3,8]\).
Como os intervalos possuem valores em comum, a união forma um único intervalo, que começa em 1 e termina em 8.
Interseção
A interseção reúne somente os números que pertencem simultaneamente aos dois intervalos.
Utilizando novamente \(A=[1,5]\) e \(B=[3,8]\):
A região de interseção começa em 3 e termina em 5. Como os dois extremos pertencem aos dois intervalos:
Intervalos sem elementos em comum
Considere agora:
Não existe nenhum número que pertença simultaneamente aos dois intervalos. Portanto:
Na união, os dois intervalos são mantidos:
Pratique
1. Considere \(A=[-2,4]\) e \(B=[1,7]\). Determine:
a) \(A\cup B\)
b) \(A\cap B\)
2. Considere \(C=]-3,2[\) e \(D=[2,6]\). Determine:
a) \(C\cup D\)
b) \(C\cap D\)
Ver respostas
1.
a) \(A\cup B=[-2,7]\)
b) \(A\cap B=[1,4]\)
2.
a) \(C\cup D=]-3,6]\)
b) \(C\cap D=\varnothing\)
14. Problemas envolvendo conjuntos numéricos e intervalos
Os conjuntos numéricos e os intervalos aparecem em diferentes situações práticas, principalmente quando uma grandeza pode assumir valores dentro de determinados limites.
Um equipamento funciona adequadamente quando sua temperatura \(T\) permanece entre 15 °C e 30 °C, incluindo os dois valores.
O conjunto de temperaturas permitidas pode ser representado por:
Em determinada atração, a altura mínima permitida é 1,40 m. Assim, uma pessoa pode participar quando:
Esse conjunto de valores pode ser representado por:
Atividades de aprofundamento
A) \(-5\)
B) \(0\)
C) \(\frac34\)
D) \(\sqrt2\)
E) \(\sqrt{25}\)
A) Todo número inteiro é natural.
B) Todo número racional é inteiro.
C) Todo número natural é racional.
D) Todo número real é racional.
E) Todo número irracional é inteiro.
A) apenas dos irracionais.
B) dos racionais.
C) apenas dos naturais.
D) dos irracionais e reais.
E) apenas dos inteiros.
A) \([2,7]\)
B) \(]2,7]\)
C) \([2,7[\)
D) \(]2,7[\)
E) \(]-\infty,7]\)
A) \([0,10]\)
B) \([0,4]\)
C) \([4,6]\)
D) \([6,10]\)
E) \(\varnothing\)
A) \([-3,5]\)
B) \([1,2]\)
C) \([-3,1]\)
D) \([2,5]\)
E) \(\varnothing\)
A) \([20,35]\)
B) \(]20,35]\)
C) \([20,35[\)
D) \(]20,35[\)
E) \(]-\infty,35]\)
A) \(h<1,50\)
B) \(h\le1,50\)
C) \(h>1,50\)
D) \(h\ge1,50\)
E) \(h=1,50\)
A) \(\sqrt2\)
B) \(\sqrt3\)
C) \(\pi\)
D) \(\sqrt{49}\)
E) \(\sqrt{11}\)
A) \([10,60[\)
B) \(]25,45]\)
C) \([25,45]\)
D) \(]10,60[\)
E) \([10,25]\)