Conjuntos: representação, relações e operações
Os conjuntos aparecem em diferentes situações da Matemática. Podemos utilizá-los para organizar números, objetos, pessoas, resultados de pesquisas e muitas outras informações.
Nesta postagem, vamos estudar as principais formas de representar conjuntos, as relações entre seus elementos e as operações que podem ser realizadas entre eles. Esses conhecimentos também serão importantes para a compreensão de outros conteúdos ao longo do Ensino Médio.
Conhecimento de base: conjuntos, relações e operações entre conjuntos são utilizados na organização, representação e interpretação de informações e servem de suporte para diferentes conteúdos matemáticos do Ensino Médio.
Observação: a BNCC do Ensino Médio não estabelece uma habilidade específica para a teoria elementar dos conjuntos. Por isso, este conteúdo é apresentado como conhecimento de base para aprendizagens posteriores.
1. Ideia de conjunto e elemento
Um conjunto é uma coleção de objetos, números, pessoas ou outros elementos reunidos de acordo com determinado critério. Cada objeto que pertence ao conjunto é chamado de elemento.
O conjunto das vogais pode ser representado por:
Um conjunto de números pares pode ser representado por:
Também podemos definir um conjunto por uma propriedade:
A ordem dos elementos não altera o conjunto:
A repetição também não cria novos elementos:
1. Os representantes de uma turma são Ana, Bruno, Carlos e Daniela. Represente por extensão o conjunto \(R\) formado por esses estudantes.
2. Considere \(A=\{3,6,9,12\}\) e \(B=\{12,9,6,3,3\}\). Os conjuntos são iguais? Justifique.
Ver respostas
1. \(R=\{\text{Ana, Bruno, Carlos, Daniela}\}\).
2. Sim. A ordem e a repetição dos elementos não alteram um conjunto.
2. Representação de conjuntos
Um conjunto pode ser representado de diferentes maneiras.
Por extensão
Seus elementos são apresentados entre chaves.
Quando existe um padrão evidente, podemos utilizar reticências:
Por propriedade
Indicamos uma característica que todos os elementos devem possuir:
O símbolo \(\mid\) pode ser lido como “tal que”.
Por diagrama
Os elementos também podem ser colocados no interior de uma região fechada. Essa forma de representação será especialmente importante quando estudarmos as relações e operações entre conjuntos.
1. Represente por extensão o conjunto dos números naturais ímpares maiores que 2 e menores que 12.
2. Represente por uma propriedade o conjunto \(B=\{5,10,15,20,25,30\}\).
3. Considere \(T=\{\text{ônibus, bicicleta, carro, caminhada}\}\). Represente-o por extensão e esboce uma representação por diagrama.
Ver respostas
1. \(\{3,5,7,9,11\}\).
2. Uma possibilidade é \(B=\{x\mid x\text{ é múltiplo de 5 e }5\leq x\leq30\}\).
3. No diagrama, os quatro elementos devem aparecer dentro da região que representa \(T\).
3. Pertinência
Para indicar se um elemento pertence ou não a determinado conjunto, utilizamos os símbolos:
Considere:
Podemos escrever:
Se \(B=\{\text{Brasil, Argentina, Chile, Uruguai}\}\), então:
Se \(C\) representa o conjunto dos múltiplos naturais de 3:
1. Se \(M=\{5,10,15,20,25\}\), complete utilizando \(\in\) ou \(\notin\): \(15\_\_M\) e \(18\_\_M\).
2. Considere \(P=\{x\mid x\text{ é natural, par e }0<x<12\}\). Classifique como verdadeiras ou falsas: \(8\in P\), \(9\in P\) e \(12\notin P\).
Ver respostas
1. \(15\in M\) e \(18\notin M\).
2. Verdadeira, falsa e verdadeira, respectivamente.
4. Conjunto vazio, conjunto unitário e conjunto universo
Conjunto vazio
É o conjunto que não possui elementos. Pode ser representado por \(\varnothing\) ou \(\{\}\).
Também não existe número inteiro cujo quadrado seja \(-4\). Portanto:
Conjunto unitário
É um conjunto que possui exatamente um elemento.
Conjunto universo
O conjunto universo, normalmente indicado por \(U\), reúne todos os elementos considerados em determinada situação.
O universo escolhido pode alterar uma resposta. Considere:
Se \(U=\mathbb{N}\), a solução é \(\{3\}\). Se \(U=\mathbb{Z}\), a solução é \(\{-3,3\}\).
1. Classifique como vazio, unitário ou nenhum dos dois:
\(A=\{x\in\mathbb{N}\mid7<x<8\}\)
\(B=\{x\in\mathbb{N}\mid7<x<9\}\)
\(C=\{x\in\mathbb{N}\mid7<x<11\}\)
2. Resolva \(x^2=16\) considerando primeiro \(U=\mathbb{N}\) e depois \(U=\mathbb{Z}\).
Ver respostas
1. \(A\) é vazio; \(B=\{8\}\) é unitário; \(C=\{8,9,10\}\) não é vazio nem unitário.
2. Em \(\mathbb{N}\): \(\{4\}\). Em \(\mathbb{Z}\): \(\{-4,4\}\).
5. Subconjuntos e relação de inclusão
Considere:
Todos os elementos de \(B\) pertencem a \(A\). Dizemos que \(B\) é um subconjunto de \(A\):
Também podemos escrever:
Agora considere \(C=\{2,6\}\). Como 6 não pertence a \(A\):
Inclusão: relaciona conjunto e conjunto, como em \(B\subseteq A\).
Todo conjunto é subconjunto de si mesmo:
Além disso, o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto:
Quando \(B\subseteq A\) e \(B\neq A\), podemos dizer que \(B\) é um subconjunto próprio de \(A\).
1. Considere \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), \(B=\{2,4,6\}\) e \(C=\{1,3,7\}\). Determine se \(B\subseteq A\) e se \(C\subseteq A\).
2. Se \(M=\{2,4,6,8\}\) e \(N=\{2,4\}\), classifique: \(2\in M\), \(N\subseteq M\) e \(N\in M\).
Ver respostas
1. \(B\subseteq A\) e \(C\nsubseteq A\).
2. Verdadeira, verdadeira e falsa. \(N\) é subconjunto de \(M\), não um elemento listado em \(M\).
6. Igualdade de conjuntos
Dois conjuntos são iguais quando possuem exatamente os mesmos elementos.
Logo:
Da mesma forma:
A igualdade também pode ser compreendida por meio da inclusão mútua:
1. \(A=\{3,6,9,12\}\) e \(B=\{12,9,6,3,6\}\) são iguais?
2. Compare \(C=\{1,2,3,4\}\) e \(D=\{x\in\mathbb{N}\mid0<x<5\}\).
Ver respostas
1. Sim.
2. \(D=\{1,2,3,4\}\), portanto \(C=D\).
7. União de conjuntos
A união de dois conjuntos reúne todos os elementos que pertencem a pelo menos um deles.
Considere:
Então:
Em problemas de contagem, utilizamos:
Por exemplo, se 22 estudantes participam de uma oficina de Matemática, 18 participam de Robótica e 8 participam das duas:
1. Se \(A=\{2,4,6,8\}\) e \(B=\{6,8,10,12\}\), determine \(A\cup B\).
2. Em uma turma, 20 estudantes praticam esportes, 15 participam de atividades artísticas e 6 fazem as duas atividades. Quantos participam de pelo menos uma?
Ver respostas
1. \(\{2,4,6,8,10,12\}\).
2. \(20+15-6=29\).
8. Interseção de conjuntos
A interseção reúne os elementos que pertencem simultaneamente aos dois conjuntos.
Se:
então:
Se dois conjuntos não possuem elementos em comum, são chamados de disjuntos.
1. Determine a interseção entre \(A=\{2,4,6,8,10\}\) e \(B=\{3,6,9,10,12\}\).
2. Em uma pesquisa, 32 pessoas utilizam o serviço \(A\), 25 utilizam \(B\) e 14 utilizam ambos. Determine \(n(A\cap B)\) e \(n(A\cup B)\).
Ver respostas
1. \(\{6,10\}\).
2. \(n(A\cap B)=14\) e \(n(A\cup B)=32+25-14=43\).
9. Diferença entre conjuntos
A diferença \(A-B\), também representada por \(A\setminus B\), reúne os elementos que pertencem a \(A\), mas não pertencem a \(B\).
Se 24 estudantes participam de Música e 9 deles também participam de Teatro, então o número dos que participam de Música, mas não de Teatro, é:
1. Se \(A=\{1,3,5,7,9\}\) e \(B=\{3,6,9\}\), determine \(A-B\) e \(B-A\).
2. Em um grupo, 26 pessoas utilizam a plataforma \(A\), e 11 delas também utilizam \(B\). Quantas utilizam \(A\), mas não \(B\)?
Ver respostas
1. \(A-B=\{1,5,7\}\) e \(B-A=\{6\}\).
2. \(26-11=15\).
10. Complementar de um conjunto
O complementar de um conjunto reúne os elementos do conjunto universo que não pertencem ao conjunto considerado.
Considere:
Então:
Também podemos escrever:
1. Considere \(U=\{1,2,\ldots,12\}\) e \(A=\{2,4,6,8,10,12\}\). Determine \(A^c\).
2. Em uma pesquisa com 80 pessoas, 52 utilizam aplicativos bancários para pagamentos. Quantas pertencem ao complementar desse conjunto?
Ver respostas
1. \(A^c=\{1,3,5,7,9,11\}\).
2. \(80-52=28\) pessoas.
11. Diagramas de Venn
Os diagramas de Venn são representações gráficas que facilitam a visualização das relações entre conjuntos. O conjunto universo costuma ser representado por uma região retangular, enquanto os conjuntos aparecem como regiões fechadas em seu interior.
Como distribuir os dados no diagrama
Considere uma pesquisa realizada com 50 estudantes:
• 28 participam de esportes;
• 20 participam de atividades artísticas;
• 8 participam das duas atividades.
Começamos pela interseção:
Somente esportes:
Somente atividades artísticas:
Pelo menos uma atividade:
Como foram entrevistados 50 estudantes:
Portanto, 10 estudantes não participam de nenhuma das duas atividades.
Quando há três conjuntos
Os diagramas também podem representar três conjuntos. Nesse caso, aparecem regiões exclusivas de cada conjunto, interseções entre dois conjuntos, a interseção dos três e, quando existe um universo definido, a região correspondente aos elementos que não pertencem a nenhum deles.
A estratégia permanece semelhante: começamos pelas interseções mais específicas e, em seguida, determinamos as demais regiões.
1. Em uma pesquisa com 60 estudantes, 35 gostam de filmes, 27 gostam de séries e 15 gostam dos dois. Determine quantos gostam somente de filmes, somente de séries, de pelo menos uma opção e de nenhuma.
2. Em uma turma com 45 estudantes, 26 praticam futebol, 18 praticam vôlei e 9 praticam as duas modalidades. Determine as quatro regiões do diagrama.
3. Em um universo com 100 pessoas, \(n(A)=58\), \(n(B)=47\) e \(n(A\cap B)=25\). Determine \(n(A-B)\), \(n(B-A)\), \(n(A\cup B)\) e \(n((A\cup B)^c)\).
Ver respostas
1. Somente filmes: 20; somente séries: 12; pelo menos uma: 47; nenhuma: 13.
2. Somente futebol: 17; ambos: 9; somente vôlei: 9; nenhuma: 10.
3. \(33,\ 22,\ 80\) e \(20\), respectivamente.
12. Problemas envolvendo conjuntos
Em situações contextualizadas, nem sempre o enunciado informa diretamente qual operação deve ser realizada. O primeiro passo é compreender o significado das informações apresentadas.
| Expressão no problema | Ideia matemática |
|---|---|
| A ou B / pelo menos um | \(A\cup B\) |
| A e B / ambos | \(A\cap B\) |
| Somente A | \(A-B\) |
| Somente B | \(B-A\) |
| Nenhum | \((A\cup B)^c\) |
| Não pertence a A | \(A^c\) |
Exemplo 1 – Pesquisa sobre plataformas de estudo
Uma escola pesquisou 120 estudantes. Desses, 72 utilizam videoaulas, 55 utilizam plataformas de exercícios e 30 utilizam os dois recursos.
O número dos que utilizam pelo menos um recurso é:
Consequentemente, o número dos que não utilizam nenhum deles é:
Exemplo 2 – Quando o problema fornece “somente”
Em uma pesquisa com 200 consumidores, 85 compram somente pela internet, 60 compram tanto pela internet quanto em lojas físicas e 40 compram somente em lojas físicas.
Como os dados já estão separados nas três regiões do diagrama:
Assim, 185 consumidores utilizam pelo menos uma das duas formas. Como foram entrevistadas 200 pessoas:
Logo, 15 consumidores não utilizam nenhuma das duas formas consideradas.
Exemplo 3 – Descobrindo a interseção
Considere:
Utilizando a relação:
temos:
Portanto:
Uma estratégia para resolver problemas
1. Identifique o conjunto universo.
2. Identifique os conjuntos envolvidos.
3. Observe expressões como “ambos”, “somente”, “pelo menos um” e “nenhum”.
4. Organize os dados e, quando necessário, construa um diagrama de Venn.
5. Comece pelas interseções.
6. Faça os cálculos e interprete o resultado no contexto do problema.
1. Uma escola pesquisou 150 estudantes. Desses, 86 utilizam a ferramenta \(A\), 71 utilizam \(B\) e 38 utilizam ambas. Determine quantos utilizam pelo menos uma, somente \(A\), somente \(B\) e nenhuma.
2. Em uma pesquisa com 180 pessoas, 105 acompanham notícias pela televisão, 96 pelas redes sociais e 54 utilizam as duas formas. Determine as quantidades correspondentes a somente televisão, somente redes sociais, pelo menos uma e nenhuma.
3. Em uma pesquisa, 48 estudantes participam do projeto \(A\), 37 do projeto \(B\) e 65 participam de pelo menos um. Quantos participam dos dois?
Ver respostas
1. Pelo menos uma: 119; somente \(A\): 48; somente \(B\): 33; nenhuma: 31.
2. Somente televisão: 51; somente redes sociais: 42; pelo menos uma: 147; nenhuma: 33.
3. \(48+37-65=20\) estudantes.
Atividades de aprofundamento
Agora, utilize os conceitos estudados ao longo da postagem para resolver as situações a seguir.
Uma escola oferece duas oficinas optativas: Programação e Robótica. Em uma pesquisa com 120 estudantes, 68 participam de Programação, 54 de Robótica e 27 das duas.
O número de estudantes que não participa de nenhuma das duas oficinas é
B) 21
C) 25
D) 27
E) 31
Uma plataforma de streaming realizou uma pesquisa sobre a preferência por dois tipos de conteúdo. Dos entrevistados, 46% assistem a documentários, 38% assistem a séries científicas e 19% assistem aos dois tipos.
O percentual que assiste a pelo menos um dos dois tipos de conteúdo é
B) 60%
C) 65%
D) 73%
E) 84%
Durante uma campanha de vacinação, foram analisados os registros de 500 pessoas. Dessas, 320 receberam a vacina \(A\), 260 receberam \(B\) e 180 receberam as duas.
O número de pessoas pertencentes a \(A-B\) é
B) 80
C) 140
D) 180
E) 320
Uma pesquisa com 200 estudantes registrou 125 usuários de videoaulas, 95 de plataformas de exercícios e 60 usuários de ambos os recursos.
Um estudante afirma que 160 participantes utilizam pelo menos um dos recursos. Essa afirmação é
B) correta, pois \(125+95=220\) e devem ser considerados apenas 160 estudantes.
C) incorreta, pois o total correto é 100 estudantes.
D) incorreta, pois os 60 estudantes devem ser somados duas vezes.
E) incorreta, pois não é possível determinar a união com os dados apresentados.
Uma biblioteca possui 90 estudantes cadastrados. Durante determinado mês, 52 retiraram livros de Literatura, 41 retiraram livros de Ciências e 25 retiraram livros das duas áreas.
Quantos pertencem ao complementar do conjunto formado pelos estudantes que retiraram pelo menos um desses tipos de livro?
B) 18
C) 22
D) 25
E) 37
Uma empresa pesquisou 150 funcionários. Desses, 82 utilizam transporte coletivo, 63 utilizam bicicleta e 35 utilizam os dois meios.
A quantidade de funcionários que utiliza somente um dos dois meios de transporte é
B) 75
C) 90
D) 110
E) 145
Considere \(U=\{1,2,3,\ldots,20\}\), \(A\) o conjunto dos múltiplos de 2 em \(U\) e \(B\) o conjunto dos múltiplos de 3 em \(U\).
O número de elementos de \(A\cap B\) é
B) 3
C) 4
D) 6
E) 10
Em uma pesquisa com 300 pessoas, 175 afirmaram frequentar cinemas, 140 frequentam teatros e 75 frequentam os dois ambientes.
O número de entrevistados que frequenta cinema, mas não teatro, é
B) 75
C) 100
D) 140
E) 175
Uma escola possui 240 estudantes. Desses, 135 participam do projeto \(A\), 110 do projeto \(B\) e 45 não participam de nenhum.
Quantos participam simultaneamente dos projetos \(A\) e \(B\)?
B) 45
C) 50
D) 60
E) 65
Uma instituição oferece dois cursos, \(A\) e \(B\). Sabe-se que:
A distribuição entre somente \(A\), somente \(B\) e ambos, respectivamente, é
B) 50, 35 e 30.
C) 50, 30 e 35.
D) 65, 50 e 30.
E) 80, 65 e 30.