Expressões algébricas e operações
A Álgebra permite representar números, relações e situações por meio de letras, números e símbolos matemáticos. Com ela, podemos descrever uma situação de forma geral, sem precisar conhecer antecipadamente todos os valores envolvidos.
Por exemplo, uma corrida por aplicativo cobra uma taxa fixa de R$ 6,00 mais R$ 2,50 por quilômetro percorrido. Se x representa a quantidade de quilômetros, o preço da corrida pode ser representado por:
Essa expressão pode ser utilizada para calcular o preço de corridas com diferentes distâncias.
Este conteúdo retoma conhecimentos fundamentais da linguagem algébrica, necessários para o estudo de equações, inequações, funções e outros conteúdos do Ensino Médio.
1. Linguagem algébrica e expressões algébricas
Uma expressão algébrica é uma expressão matemática formada por números, letras e operações.
Observe alguns exemplos:
As letras utilizadas nas expressões podem representar valores desconhecidos ou valores que podem variar. Essas letras são chamadas de variáveis.
A linguagem algébrica também permite transformar informações escritas em linguagem comum em expressões matemáticas.
Um número aumentado em 7: x + 7
O triplo de um número menos 5: 3x − 5
A metade de um número: x ÷ 2
O quadrado de um número mais 4: x2 + 4
Uma mesma letra deve representar o mesmo valor dentro de uma determinada expressão ou situação.
Pratique
1. Represente por uma expressão algébrica o dobro de um número x aumentado em 5.
2. Escreva uma expressão que represente a metade de um número y menos 3.
3. Se n representa um número natural, escreva uma expressão para representar o número natural seguinte a n.
Ver respostas
1. 2x + 5
2. y ÷ 2 − 3
3. n + 1
2. Termos, coeficientes e parte literal
Os termos de uma expressão algébrica são separados pelos sinais de adição ou subtração.
Na expressão:
temos três termos:
Nos termos que possuem letras, podemos identificar o coeficiente e a parte literal.
No termo:
o coeficiente é −7 e a parte literal é a2b.
O coeficiente é a parte numérica que multiplica as variáveis. Quando ele não aparece escrito, seu valor é 1:
Um termo formado apenas por um número, como o 8 da expressão anterior, é chamado de termo constante.
Pratique
1. Na expressão 6x2 − 4x + 9, identifique seus três termos.
2. Determine o coeficiente e a parte literal do termo −8x3y2.
3. Na expressão 3a2 + 7a − 5, qual é o termo constante?
Ver respostas
1. 6x2, −4x e 9.
2. Coeficiente: −8. Parte literal: x3y2.
3. −5.
3. Monômios e grau de um monômio
Uma expressão algébrica formada por um único termo é chamada de monômio.
São exemplos:
O grau de um monômio é obtido pela soma dos expoentes de suas variáveis.
No monômio 6x2y3:
Portanto, esse monômio possui grau 5.
Quando existe apenas uma variável, o grau corresponde ao seu expoente. Assim, 4x3 é um monômio de grau 3.
No monômio −5ab2, o grau é:
pois o expoente de a, mesmo não aparecendo escrito, é 1.
Pratique
1. Determine o grau do monômio 7x4.
2. Determine o grau de −3a2b3.
3. No monômio 5x2yz3, identifique o coeficiente, a parte literal e o grau.
Ver respostas
1. Grau 4.
2. 2 + 3 = 5. Portanto, grau 5.
3. Coeficiente: 5. Parte literal: x2yz3. Grau: 2 + 1 + 3 = 6.
4. Termos semelhantes e redução
Dois ou mais termos são semelhantes quando apresentam exatamente a mesma parte literal, isto é, possuem as mesmas variáveis elevadas aos mesmos expoentes.
são termos semelhantes.
Também são semelhantes:
Por outro lado, 4x e 4x2 não são semelhantes. Da mesma forma, 3ab e 3a2b não são semelhantes.
Quando os termos são semelhantes, podemos reduzi-los realizando a operação entre seus coeficientes e mantendo a parte literal:
Em uma expressão com diferentes partes literais:
Os termos 2x2 e 8x não podem ser reduzidos entre si, pois não são semelhantes.
Pratique
1. Quais termos são semelhantes: 5a2b, −3ab2, 7a2b e 4ab?
2. Simplifique: 6x + 4x − 3x.
3. Reduza: 7a2 + 3a − 2a2 + 5a.
Ver respostas
1. 5a2b e 7a2b.
2. 7x.
3. 5a2 + 8a.
5. Adição e subtração de expressões algébricas
Para adicionar expressões algébricas, retiramos os parênteses e reduzimos os termos semelhantes.
Na subtração, precisamos ter atenção especial ao sinal que aparece antes dos parênteses:
Quando existe um sinal negativo antes dos parênteses, todos os termos que estão dentro deles têm seus sinais trocados.
Pratique
1. Efetue: (4x2 + 3x − 5) + (2x2 − 7x + 8).
2. Calcule: (7a2 − 2a + 4) − (3a2 + 5a − 6).
3. Simplifique: (5y2 + 4y − 3) + (2y2 − y + 6) − (3y2 + 2y − 1).
Ver respostas
1. 6x2 − 4x + 3.
2. 4a2 − 7a + 10.
3. 4y2 + y + 4.
6. Multiplicação de expressões algébricas
Na multiplicação de expressões algébricas, utilizamos as propriedades da multiplicação e, quando necessário, as propriedades das potências.
Multiplicação de monômios
Com mais de uma variável:
Multiplicação de um monômio por uma expressão
Nesse caso, aplicamos a propriedade distributiva:
Multiplicação entre duas expressões
Esse procedimento será retomado na próxima postagem, quando estudaremos produtos notáveis e fatoração.
Pratique
1. Calcule: (4x2)(−3x3).
2. Aplique a propriedade distributiva: 5x(2x2 − 3x + 4).
3. Desenvolva e simplifique: (x + 2)(x + 6).
Ver respostas
1. −12x5.
2. 10x3 − 15x2 + 20x.
3. x2 + 8x + 12.
7. Divisão de monômios
Na divisão de monômios, dividimos os coeficientes e aplicamos as propriedades das potências às variáveis de mesma base.
Outro exemplo:
É importante lembrar que a divisão só está definida quando o divisor é diferente de zero.
Pratique
1. Simplifique: 20x5 ÷ 5x2.
2. Efetue: −24a6 ÷ 6a2.
3. Simplifique: 30x4y5 ÷ 5x2y2.
Ver respostas
1. 4x3.
2. −4a4.
3. 6x2y3.
8. Valor numérico de uma expressão algébrica
O valor numérico de uma expressão algébrica é o número obtido quando substituímos as variáveis por valores determinados e efetuamos as operações indicadas.
Considere:
Para x = 3:
Quando o valor da variável é negativo, o uso dos parênteses é especialmente importante.
Para x = −3 na expressão x2 + 2x − 1:
Observe que:
Pratique
1. Calcule o valor de 3x + 5 para x = 4.
2. Determine o valor de 2a2 − a + 3 para a = −2.
3. Para x = 2 e y = −3, determine o valor de x2 − 2xy + y.
Ver respostas
1. 3(4) + 5 = 17.
2. 2(−2)2 − (−2) + 3 = 13.
3. (2)2 − 2(2)(−3) + (−3) = 13.
9. Expressões algébricas em situações-problema
Uma das principais utilidades da Álgebra é representar situações por meio de expressões matemáticas.
Considere uma empresa de entregas que cobra uma taxa fixa de R$ 12,00 mais R$ 3,50 por quilômetro percorrido.
Se d representa a distância, em quilômetros:
Para uma distância de 8 km:
Portanto, o valor da entrega será R$ 40,00.
As expressões algébricas também podem representar grandezas geométricas. Considere um retângulo cujo comprimento mede x + 4 metros e cuja largura mede x metros.
Seu perímetro é:
Sua área é:
Assim, uma mesma situação pode gerar diferentes expressões, dependendo da grandeza que desejamos representar.
Pratique
1. Um estacionamento cobra uma taxa fixa de R$ 8,00 mais R$ 5,00 por hora. Se h representa o número de horas, escreva uma expressão para o valor V a pagar.
2. Utilizando a expressão anterior, determine o valor pago por uma permanência de 4 horas.
3. Um terreno retangular possui comprimento x + 5 metros e largura x + 2 metros. Escreva e simplifique uma expressão para representar sua área.
Ver respostas
1. V = 8 + 5h.
2. V = 8 + 5(4) = 28. Portanto, R$ 28,00.
3. A = (x + 5)(x + 2) = x2 + 7x + 10.
10. Revisão e aprofundamento
Agora, resolva as questões a seguir para revisar os principais conceitos estudados nesta postagem.
Uma gráfica cobra uma taxa fixa de R$ 35,00 para preparar um arquivo e mais R$ 0,80 por página impressa. Se p representa a quantidade de páginas, qual expressão representa o valor total V do serviço?
B) V = 35 + 0,80p
C) V = 0,80 + 35p
D) V = 35(p + 0,80)
E) V = (35 + 0,80)p
Considere os termos:
Quais pares são formados por termos semelhantes?
B) 5x2y e 8x2y, apenas.
C) −3xy2 e −2xy2, apenas.
D) 5x2y e 8x2y; −3xy2 e −2xy2.
E) 8x2y e 4x2; −3xy2 e −2xy2.
Simplifique:
B) 9a2 + 5a − 4
C) 5a2 − 11a + 14
D) 5a2 + 11a − 4
E) 9a2 − 11a + 14
Considere A = 6x2 + 5x − 4 e B = 2x2 − 3x + 7. Qual é o resultado de A − B?
B) 4x2 + 8x − 11
C) 8x2 + 2x + 3
D) 4x2 + 8x + 3
E) 8x2 + 8x − 11
Uma peça retangular possui largura x centímetros e comprimento x + 7 centímetros. Qual expressão representa sua área?
B) 2x + 14
C) x2 + 7
D) x2 + 7x
E) 2x2 + 14x
Ao aplicar a propriedade distributiva em:
obtemos:
B) −6x6 + 12x3 − 15x2
C) 6x5 − 12x3 + 15x2
D) −6x5 − 12x3 − 15x2
E) −6x5 + 12x2 − 15x
Simplifique 24a6b4 ÷ 6a2b, considerando valores para os quais o divisor seja diferente de zero.
B) 4a4b3
C) 18a4b3
D) 4a8b4
E) 4a4b4
O valor de uma grandeza é calculado por T = x2 − 4x + 6. Se x = −2, qual é o valor de T?
B) 2
C) 6
D) 14
E) 18
Um jardim retangular possui largura x + 1 metros e comprimento x + 4 metros. Qual expressão representa sua área após a simplificação?
B) x2 + 4x + 5
C) 2x2 + 5x + 4
D) x2 + 5x + 5
E) 2x + 5
Uma empresa estima o custo diário pela expressão C = 2x2 + 15x + 120. Se foram produzidos 10 lotes, qual foi o custo estimado?
B) R$ 320,00
C) R$ 420,00
D) R$ 470,00
E) R$ 520,00