Produtos notáveis e fatoração
Na multiplicação de expressões algébricas, algumas estruturas aparecem com frequência. Quando reconhecemos essas estruturas, podemos realizar os cálculos de maneira mais direta, sem precisar desenvolver novamente todas as multiplicações.
Essas estruturas são chamadas de produtos notáveis.
A fatoração está diretamente relacionada a esse processo. Enquanto nos produtos notáveis partimos de uma multiplicação para obter uma expressão desenvolvida, na fatoração fazemos o caminho inverso: escrevemos uma expressão como um produto de fatores.
No sentido inverso:
Reconhecer essas relações será importante em diversos conteúdos da Álgebra, especialmente no estudo de equações, funções e simplificação de expressões.
Este conteúdo retoma e amplia conhecimentos de multiplicação de expressões algébricas, propriedade distributiva e propriedades das potências, estabelecendo uma base para o estudo de equações, funções e outras aplicações algébricas no Ensino Médio.
1. Produtos notáveis e sua relação com a multiplicação algébrica
Considere o produto:
Como os dois fatores são iguais, podemos escrever:
Aplicando a propriedade distributiva:
Portanto:
Esse tipo de multiplicação ocorre com tanta frequência que podemos reconhecer um padrão e utilizá-lo diretamente.
Outro exemplo:
Os produtos notáveis não constituem novas regras de multiplicação. Eles são formas particulares da propriedade distributiva que podem ser reconhecidas e utilizadas para tornar os cálculos mais eficientes.
Pratique
1. Desenvolva utilizando a propriedade distributiva: (x + 4)(x + 4).
2. Escreva (a − 3)(a − 3) na forma de uma potência e, em seguida, desenvolva.
3. Complete: (y + 5)2 = y2 + ___y + 25.
Ver respostas
1. (x + 4)(x + 4) = x2 + 8x + 16.
2. (a − 3)2 = a2 − 6a + 9.
3. y2 + 10y + 25. Portanto, o valor é 10.
2. Quadrado da soma de dois termos
Considere dois termos quaisquer, a e b:
Isso significa:
Aplicando a propriedade distributiva:
Portanto, o quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo.
(x + 6)2
= x2 + 2(x)(6) + 62
= x2 + 12x + 36
(2x + 3)2
= (2x)2 + 2(2x)(3) + 32
= 4x2 + 12x + 9
Um erro comum é escrever (a + b)2 = a2 + b2. Essa igualdade não é verdadeira em geral, pois falta o termo 2ab.
Pratique
1. Desenvolva: (x + 7)2.
2. Desenvolva: (3a + 2)2.
3. Complete: (2x + 5)2 = 4x2 + ___x + 25.
Ver respostas
1. x2 + 14x + 49.
2. 9a2 + 12a + 4.
3. 4x2 + 20x + 25. Portanto, o valor é 20.
3. Quadrado da diferença de dois termos
Aplicando a propriedade distributiva:
O quadrado da diferença é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.
Observe que o último termo continua positivo, pois (−b)(−b) = b2.
(3x − 5)2
= (3x)2 − 2(3x)(5) + 52
= 9x2 − 30x + 25
Um erro comum é escrever (a − b)2 = a2 − b2. No quadrado da diferença aparece o termo intermediário −2ab.
Pratique
1. Desenvolva: (x − 6)2.
2. Desenvolva: (2a − 3)2.
3. Complete: (4x − 5)2 = 16x2 − ___x + 25.
Ver respostas
1. x2 − 12x + 36.
2. 4a2 − 12a + 9.
3. 16x2 − 40x + 25. Portanto, o valor é 40.
4. Produto da soma pela diferença
Aplicando a propriedade distributiva:
Os termos −ab e +ab se anulam. Assim:
(x + 5)(x − 5) = x2 − 25
(3a + 2)(3a − 2)
= (3a)2 − 22
= 9a2 − 4
Pratique
1. Desenvolva: (x + 8)(x − 8).
2. Desenvolva: (2a + 5)(2a − 5).
3. Complete: (4x + 3)(4x − 3) = ___ − 9.
Ver respostas
1. x2 − 64.
2. 4a2 − 25.
3. 16x2 − 9. Portanto, a expressão é 16x2.
5. Fatoração de expressões algébricas
Fatorar uma expressão algébrica significa escrevê-la na forma de uma multiplicação.
No sentido inverso:
O mesmo ocorre com os produtos notáveis:
Logo:
Da mesma forma:
Para fatorar corretamente uma expressão, precisamos reconhecer sua estrutura e identificar qual procedimento pode ser utilizado.
Pratique
1. Complete: 5x + 15 = 5(___).
2. Fatore: x2 + 8x + 16.
3. Escreva na forma de produto: x2 − 25.
Ver respostas
1. 5x + 15 = 5(x + 3).
2. x2 + 8x + 16 = (x + 4)2.
3. x2 − 25 = (x + 5)(x − 5).
6. Fator comum em evidência
Uma das formas mais simples de fatoração consiste em identificar um fator que aparece em todos os termos da expressão e colocá-lo em evidência.
O fator comum também pode conter uma parte literal:
12a3b + 8a2b2
= 4a2b(3a + 2b)
Para identificar o fator comum literal, observamos as variáveis presentes em todos os termos e utilizamos, para cada uma delas, o menor expoente.
Pratique
1. Fatore: 8x + 24.
2. Fatore: 10x2 + 15x.
3. Fatore completamente: 18a3b2 − 12a2b3.
Ver respostas
1. 8(x + 3).
2. 5x(2x + 3).
3. 6a2b2(3a − 2b).
7. Fatoração por agrupamento
Em algumas expressões não existe um único fator comum a todos os termos, mas podemos agrupá-los de maneira que apareça um fator comum em cada grupo.
x2 + 3x + 2x + 6
= (x2 + 3x) + (2x + 6)
= x(x + 3) + 2(x + 3)
= (x + 3)(x + 2)
A escolha do agrupamento é importante. O objetivo é fazer surgir um fator comum entre os grupos.
Pratique
1. Fatore: ax + az + bx + bz.
2. Fatore: x2 + 4x + 3x + 12.
3. Fatore: 2x2 + 6x + 5x + 15.
Ver respostas
1. (a + b)(x + z).
2. (x + 3)(x + 4).
3. (2x + 5)(x + 3).
8. Trinômio quadrado perfeito
Sabemos que:
e:
Podemos utilizar essas relações no sentido inverso para fatorar determinadas expressões.
Considere:
Temos x2 = x2, 9 = 32 e o termo intermediário:
Portanto:
4x2 − 20x + 25
= (2x)2 − 2(2x)(5) + 52
= (2x − 5)2
Não basta que o primeiro e o último termos sejam quadrados perfeitos. O termo intermediário também deve corresponder a duas vezes o produto de suas raízes.
Pratique
1. Fatore: x2 + 10x + 25.
2. Fatore: x2 − 14x + 49.
3. Verifique e fatore, se possível: 9x2 + 24x + 16.
Ver respostas
1. (x + 5)2.
2. (x − 7)2.
3. É um trinômio quadrado perfeito: (3x + 4)2.
9. Diferença de dois quadrados
Sabemos que:
No sentido inverso:
x2 − 16
= x2 − 42
= (x + 4)(x − 4)
9x2 − 25
= (3x)2 − 52
= (3x + 5)(3x − 5)
4a2 − 81b2
= (2a)2 − (9b)2
= (2a + 9b)(2a − 9b)
Esse caso corresponde a uma diferença de quadrados. Uma soma como a2 + b2 não pode ser fatorada dessa maneira no conjunto dos números reais.
Pratique
1. Fatore: x2 − 36.
2. Fatore: 25a2 − 4.
3. Fatore: 49x2 − 64y2.
Ver respostas
1. (x + 6)(x − 6).
2. (5a + 2)(5a − 2).
3. (7x + 8y)(7x − 8y).
10. Revisão e aprofundamento
Agora, resolva as questões a seguir para revisar os principais conceitos estudados nesta postagem.
Ao desenvolver (x + 7)2, obtemos:
B) x2 + 14x + 49
C) x2 + 49
D) x2 + 14x + 14
E) 2x2 + 14x + 49
Uma praça quadrada possui lado medindo (x + 5) metros. A expressão que representa sua área é:
B) x2 + 10x + 25
C) x2 + 25
D) 2x + 10
E) x2 + 10x + 10
O desenvolvimento correto de (3a − 4)2 é:
B) 9a2 − 12a + 16
C) 9a2 − 24a + 16
D) 3a2 − 24a + 16
E) 9a2 + 24a + 16
Determine o resultado de (5x + 3)(5x − 3):
B) 25x2 + 9
C) 25x2 − 30x + 9
D) 25x2 + 30x − 9
E) 10x2 − 9
A forma fatorada de 18x3 + 24x2, utilizando o maior fator comum, é:
B) 3x(6x2 + 8x)
C) 6x2(3x + 4)
D) 6x(3x2 + 4x)
E) 12x2(3x + 2)
A fatoração de ax + ay + 3x + 3y é:
B) (a + x)(3 + y)
C) (a + y)(x + 3)
D) (a + 3)(x − y)
E) (a − 3)(x + y)
Qual expressão é um trinômio quadrado perfeito?
B) x2 + 6x + 6
C) x2 + 10x + 25
D) x2 + 4x + 8
E) x2 + 12x + 25
A forma fatorada de 16x2 − 81 é:
B) (4x + 9)2
C) (8x + 9)(2x − 9)
D) (4x + 9)(4x − 9)
E) (16x + 81)(16x − 81)
Uma região quadrada possui lado (x + 4) metros e outra possui lado (x − 4) metros. A diferença entre suas áreas é:
Após a simplificação, obtemos:
B) 16x
C) x2 − 16
D) 2x2 + 32
E) 16x + 16
Considere:
A fatoração completa é:
B) 4x(x − 3)2
C) 4x(x + 3)2
D) 4x(x + 3)(x − 3)
E) 4(x + 3)(x − 3)