Inequações do primeiro grau
Em muitas situações, não queremos determinar um único valor que satisfaça uma igualdade. Precisamos encontrar um conjunto de valores que seja maior, menor, maior ou igual, ou menor ou igual a determinado valor.
Por exemplo, considere:
Nesse caso, procuramos todos os valores de x que tornam essa desigualdade verdadeira. Subtraindo 4 dos dois membros:
Isso significa que qualquer número real maior que 6 satisfaz a condição. As inequações permitem representar situações que envolvem limites, faixas de valores, valores mínimos e máximos, capacidades, custos e diversas outras condições.
Este conteúdo retoma conhecimentos sobre números reais, intervalos reais, operações algébricas, propriedade distributiva e equações do primeiro grau. Esses conhecimentos serão utilizados para compreender, resolver e representar conjuntos de soluções de inequações.
1. Desigualdades e inequações
Uma desigualdade estabelece uma comparação entre dois valores ou duas expressões.
Os principais símbolos utilizados são:
- > — maior que;
- < — menor que;
- ≥ — maior ou igual a;
- ≤ — menor ou igual a.
Por exemplo:
é uma desigualdade verdadeira.
Quando uma desigualdade apresenta uma incógnita, temos uma inequação.
Resolver essa inequação significa determinar todos os valores de x que tornam a desigualdade verdadeira.
Diferentemente de muitas equações do primeiro grau, cuja solução é um único número, uma inequação geralmente possui infinitas soluções.
Pratique
1. Classifique cada expressão como igualdade, desigualdade ou inequação:
a) 7 + 3 = 10
b) 12 > 8
c) 3x + 2 ≤ 14
2. Resolva: x + 5 < 12.
3. Resolva: 3x − 2 ≥ 10.
Ver respostas
1.
a) Igualdade.
b) Desigualdade.
c) Inequação.
2. x + 5 < 12 → x < 7.
3. 3x − 2 ≥ 10 → 3x ≥ 12 → x ≥ 4.
2. Representação das soluções na reta real
Depois de resolver uma inequação, podemos representar seu conjunto solução na reta real.
Considere:
Essa inequação possui como soluções todos os números reais maiores que 3. Como o número 3 não pertence ao conjunto solução, utilizamos um círculo aberto:
Agora considere:
Nesse caso, o número 3 também é solução. Por isso, utilizamos um ponto fechado:
Para x < 5:
E para x ≤ 5:
- círculo aberto → o extremo não pertence ao conjunto solução;
- ponto fechado → o extremo pertence ao conjunto solução;
- seta para a direita → valores maiores;
- seta para a esquerda → valores menores.
Pratique
1. Na solução x > 7, o número 7 pertence ao conjunto solução?
2. Na solução x ≤ −2, o ponto correspondente a −2 deve ser aberto ou fechado?
3. Resolva 2x + 3 > 11 e indique para qual direção a representação deve seguir na reta real.
Ver respostas
1. Não. Apenas números maiores que 7 pertencem ao conjunto solução.
2. Fechado, pois −2 também satisfaz x ≤ −2.
3. 2x + 3 > 11 → 2x > 8 → x > 4. A representação segue para a direita, com círculo aberto em 4.
3. Princípio da equivalência nas inequações
Assim como nas equações, podemos realizar determinadas operações nos dois membros de uma inequação sem alterar seu conjunto solução.
x + 6 < 14
x + 6 − 6 < 14 − 6
x < 8
3x ≥ 18
x ≥ 6
Quando adicionamos ou subtraímos o mesmo número nos dois membros, a desigualdade mantém o mesmo sentido. O mesmo ocorre quando multiplicamos ou dividimos os dois membros por um número positivo.
4x − 7 ≤ 21
4x ≤ 28
x ≤ 7
Pratique
1. Resolva: x − 9 > 4.
2. Resolva: 5x ≤ 30.
3. Resolva: 3x + 5 ≥ 20.
Ver respostas
1. x > 13.
2. x ≤ 6.
3. 3x ≥ 15 → x ≥ 5.
4. Multiplicação ou divisão por número negativo
Existe uma diferença fundamental entre a resolução de equações e a resolução de inequações.
Quando multiplicamos ou dividimos os dois membros de uma inequação por um número negativo, precisamos inverter o sentido da desigualdade.
Observe:
Multiplicando os dois números por −1:
Considere agora:
Dividindo os dois membros por −2:
−3x ≥ 12
x ≤ −4
5 − 2x > 11
−2x > 6
x < −3
−4x + 3 ≤ 19
−4x ≤ 16
x ≥ −4
A inversão ocorre somente quando multiplicamos ou dividimos os dois membros por um número negativo.
Pratique
1. Resolva: −5x < 20.
2. Resolva: −2x ≥ 14.
3. Resolva: 7 − 3x ≤ 16.
Ver respostas
1. Dividindo por −5 e invertendo o sinal: x > −4.
2. Dividindo por −2 e invertendo o sinal: x ≤ −7.
3. 7 − 3x ≤ 16 → −3x ≤ 9 → x ≥ −3.
5. Inequações com parênteses e propriedade distributiva
Algumas inequações apresentam expressões entre parênteses. Nesses casos, podemos aplicar a propriedade distributiva antes de continuar a resolução.
3(x + 2) > 15
3x + 6 > 15
3x > 9
x > 3
2(x − 4) ≤ 10
2x − 8 ≤ 10
2x ≤ 18
x ≤ 9
5 − 2(x + 3) ≥ 9
5 − 2x − 6 ≥ 9
−2x − 1 ≥ 9
−2x ≥ 10
x ≤ −5
Quando existe um número negativo antes dos parênteses, é importante observar que ele deve multiplicar todos os termos que estão dentro deles.
Pratique
1. Resolva: 3(x + 5) < 24.
2. Resolva: 2(4x − 3) ≥ 18.
3. Resolva: 8 − 3(x − 2) > 20.
Ver respostas
1. 3x + 15 < 24 → 3x < 9 → x < 3.
2. 8x − 6 ≥ 18 → 8x ≥ 24 → x ≥ 3.
3. 14 − 3x > 20 → −3x > 6 → x < −2.
6. Inequações com denominadores
Uma inequação também pode apresentar frações. Quando os denominadores são números conhecidos, podemos utilizar o mínimo múltiplo comum (MMC) para eliminá-los.
x/3 + 2 > 6
x/3 > 4
x > 12
x/2 + x/3 ≤ 10
3x + 2x ≤ 60
5x ≤ 60
x ≤ 12
(x + 1)/2 − (x − 2)/3 ≥ 4
3(x + 1) − 2(x − 2) ≥ 24
3x + 3 − 2x + 4 ≥ 24
x + 7 ≥ 24
x ≥ 17
Pratique
1. Resolva: x/4 + 2 < 7.
2. Resolva: x/2 + x/6 ≥ 8.
3. Resolva: (x + 2)/3 − (x − 1)/6 > 2.
Ver respostas
1. x/4 < 5 → x < 20.
2. 3x + x ≥ 48 → 4x ≥ 48 → x ≥ 12.
3. 2(x + 2) − (x − 1) > 12 → x + 5 > 12 → x > 7.
7. Incógnita nos dois membros
A incógnita também pode aparecer nos dois membros de uma inequação.
5x + 2 > 2x + 14
3x + 2 > 14
3x > 12
x > 4
7x − 5 ≤ 3x + 15
4x − 5 ≤ 15
4x ≤ 20
x ≤ 5
3(x + 2) ≥ x + 14
3x + 6 ≥ x + 14
2x + 6 ≥ 14
2x ≥ 8
x ≥ 4
Pratique
1. Resolva: 6x + 3 > 4x + 11.
2. Resolva: 8x − 7 ≤ 5x + 8.
3. Resolva: 4(x − 1) > 2x + 10.
Ver respostas
1. 2x + 3 > 11 → 2x > 8 → x > 4.
2. 3x − 7 ≤ 8 → 3x ≤ 15 → x ≤ 5.
3. 4x − 4 > 2x + 10 → 2x > 14 → x > 7.
8. Conjunto solução e intervalos reais
Depois de resolver uma inequação, podemos expressar sua solução de diferentes formas.
Considere:
Como conjunto:
Como intervalo real:
O extremo 2 não pertence ao intervalo porque a desigualdade é estrita.
Agora considere:
Como conjunto:
Como intervalo:
Com o infinito, utilizamos sempre extremo aberto, pois +∞ e −∞ não são números reais que possam pertencer ao conjunto.
x ≥ −3
S = [−3, +∞[
x < 7
S = ]−∞, 7[
Pratique
1. Escreva em forma de intervalo: x > 4.
2. Escreva em forma de intervalo: x ≤ 6.
3. Escreva como desigualdade: [−2, +∞[.
Ver respostas
1. ]4, +∞[.
2. ]−∞, 6].
3. x ≥ −2.
9. Resolução de problemas por meio de inequações
As inequações do primeiro grau podem ser utilizadas para representar situações em que existe uma condição, um limite ou uma faixa de valores possíveis.
Expressões como no máximo, pelo menos, maior que, menor que, até e a partir de frequentemente indicam situações que podem ser representadas por inequações.
Uma empresa de transporte cobra uma taxa fixa de 8 reais mais 4 reais por quilômetro percorrido. Uma pessoa dispõe de, no máximo, 60 reais.
4x + 8 ≤ 60
4x ≤ 52
x ≤ 13
Portanto, considerando o valor da corrida, a pessoa pode percorrer no máximo 13 km.
Um elevador suporta, no máximo, 600 kg. Dentro dele já existem pessoas e objetos que totalizam 420 kg.
420 + x ≤ 600
x ≤ 180
Como a massa adicional não pode ser negativa:
0 ≤ x ≤ 180
Portanto, podem ser acrescentados até 180 kg.
Depois de duas avaliações, um estudante possui notas 6 e 8. Para alcançar média igual ou superior a 7 após a terceira avaliação:
(6 + 8 + x)/3 ≥ 7
14 + x ≥ 21
x ≥ 7
Portanto, precisa obter nota igual ou superior a 7.
Uma gráfica cobra uma taxa fixa de 25 reais mais 2 reais por unidade produzida. Uma pessoa pretende gastar menos de 105 reais.
2x + 25 < 105
2x < 80
x < 40
Como x representa uma quantidade inteira não negativa de unidades, podem ser produzidas no máximo 39 unidades.
Esse último exemplo mostra que, além de resolver a inequação, precisamos interpretar a solução de acordo com o contexto.
Pratique
1. Um estacionamento cobra uma taxa fixa de 10 reais mais 5 reais por hora. Uma pessoa pretende gastar, no máximo, 40 reais. Por quantas horas, no máximo, poderá permanecer no estacionamento?
2. Uma caixa suporta, no máximo, 50 kg. Já foram colocados nela 32 kg. Qual é a massa máxima que ainda pode ser acrescentada?
3. Para ser aprovado em determinada atividade, um estudante precisa alcançar pelo menos 60 pontos. Ele já conseguiu 43 pontos. Quantos pontos ainda precisa obter, no mínimo?
Ver respostas
1. 5x + 10 ≤ 40 → 5x ≤ 30 → x ≤ 6. Portanto, no máximo 6 horas.
2. 32 + x ≤ 50 → x ≤ 18. Portanto, podem ser acrescentados até 18 kg.
3. 43 + x ≥ 60 → x ≥ 17. Portanto, precisa obter pelo menos 17 pontos.
10. Revisão e aprofundamento
Resolva as questões a seguir para revisar os principais conceitos estudados nesta postagem.
A solução da inequação 3x + 5 > 20 é:
B) x > 4
C) x > 5
D) x < 5
E) x ≥ 5
A solução da inequação 5x − 7 ≤ 18 é:
B) x ≤ 5
C) x ≥ 5
D) x ≤ 7
E) x ≥ 7
Resolva: −4x < 20.
B) x ≤ −5
C) x > −5
D) x ≥ −5
E) x > 5
A solução de 3(x + 2) ≥ 21 é:
B) x ≥ 4
C) x ≥ 5
D) x ≤ 5
E) x > 5
Considere x/2 + x/3 < 10. Qual é o conjunto solução?
B) x < 10
C) x < 12
D) x ≤ 12
E) x > 12
A solução de 7x − 4 > 3x + 16 é:
B) x > 5
C) x ≥ 5
D) x < 5
E) x ≤ 5
Qual intervalo representa corretamente a condição x ≥ −4?
B) ]−∞, −4]
C) ]−4, +∞[
D) [−4, +∞[
E) [−4, +∞]
Uma empresa cobra uma taxa fixa de 12 reais mais 6 reais por quilômetro percorrido. Uma pessoa dispõe de, no máximo, 72 reais. Qual inequação representa corretamente essa situação, sendo x a quantidade de quilômetros?
B) 6x + 12 ≤ 72
C) 6x + 12 ≥ 72
D) 12x + 6 < 72
E) 6x − 12 ≤ 72
Uma caixa suporta, no máximo, 80 kg. Já existem 56 kg dentro dela. Qual é a massa máxima que ainda pode ser acrescentada?
B) 20 kg
C) 22 kg
D) 24 kg
E) 26 kg
Uma gráfica cobra uma taxa fixa de 30 reais mais 4 reais por unidade produzida. Uma pessoa deseja gastar menos de 150 reais. Qual é o maior número inteiro de unidades que poderá produzir?
B) 29
C) 30
D) 31
E) 32