Equações do segundo grau
As equações do segundo grau aparecem em diferentes situações matemáticas e permitem determinar valores desconhecidos em problemas que envolvem áreas, dimensões, relações entre números e diversas outras situações.
Considere, por exemplo:
Quais números elevados ao quadrado resultam em 25?
e
Portanto:
Diferentemente de uma equação do primeiro grau, uma equação do segundo grau pode apresentar duas soluções reais distintas, uma solução real ou nenhuma solução real.
Ao longo deste conteúdo, estudaremos diferentes maneiras de resolver essas equações e compreender o significado de suas soluções.
Este conteúdo retoma conhecimentos sobre operações com números reais, potenciação, radiciação, expressões algébricas, produtos notáveis, fatoração e resolução de equações do primeiro grau. Esses conhecimentos serão utilizados na resolução e interpretação das equações do segundo grau.
1. Equações do segundo grau e seus elementos
Uma equação do segundo grau com uma incógnita pode ser escrita na forma:
em que a, b e c são números reais e:
O coeficiente a não pode ser igual a zero porque, nesse caso, o termo ax2 desapareceria e a equação deixaria de ser do segundo grau.
2x2 − 5x + 3 = 0
a = 2
b = −5
c = 3
É importante observar que o sinal faz parte do coeficiente.
Equação completa
Quando os três coeficientes a, b e c são diferentes de zero, dizemos que a equação é completa.
a = 3, b = −7, c = 2
Equação incompleta
Quando b = 0, c = 0 ou ambos são iguais a zero, a equação é chamada de incompleta.
a = 1, b = 0, c = −16
a = 2, b = 6, c = 0
a = 5, b = 0, c = 0
Reconhecer os coeficientes corretamente é importante porque eles serão utilizados nos diferentes métodos de resolução.
Pratique
1. Identifique os coeficientes a, b e c da equação:
2. Classifique a equação como completa ou incompleta:
3. Na equação −x2 + 7x − 10 = 0, quais são os valores de a, b e c?
Ver respostas
1. a = 3, b = −8 e c = 4.
2. É uma equação incompleta, pois b = 0.
3. a = −1, b = 7 e c = −10.
2. Equações do segundo grau incompletas
As equações do segundo grau incompletas podem ser resolvidas de maneira mais direta, sem a necessidade de utilizar uma fórmula geral.
Elas ocorrem quando:
ou:
ou ainda quando ambos são iguais a zero.
Quando b = 0
x2 − 36 = 0
x2 = 36
x = 6 ou x = −6
2x2 − 50 = 0
2x2 = 50
x2 = 25
x = 5 ou x = −5
Quando c = 0
x2 − 7x = 0
x(x − 7) = 0
x = 0 ou x = 7
Para que um produto seja igual a zero, pelo menos um de seus fatores deve ser igual a zero.
3x2 + 12x = 0
3x(x + 4) = 0
x = 0 ou x = −4
Quando b = 0 e c = 0
x2 = 0
x = 0
Nesse caso, a única raiz é zero.
Pratique
1. Resolva: x2 − 49 = 0.
2. Resolva: 2x2 − 10x = 0.
3. Resolva: 5x2 = 0.
Ver respostas
1. x2 = 49 → x = 7 ou x = −7.
2. 2x(x − 5) = 0 → x = 0 ou x = 5.
3. 5x2 = 0 → x2 = 0 → x = 0.
3. Equações do segundo grau completas
Uma equação do segundo grau é completa quando apresenta os três termos da forma:
com a ≠ 0, b ≠ 0 e c ≠ 0.
Considere:
Podemos procurar dois números cujo produto seja 6 e cuja soma seja −5. Esses números são −2 e −3.
Portanto:
x2 + 7x + 12 = 0
(x + 3)(x + 4) = 0
x = −3 ou x = −4
x2 − x − 12 = 0
(x − 4)(x + 3) = 0
x = 4 ou x = −3
Esse procedimento é bastante útil quando a expressão pode ser fatorada facilmente. Entretanto, nem toda equação completa apresenta uma fatoração que possa ser identificada de forma imediata.
Pratique
1. Resolva por fatoração: x2 − 9x + 20 = 0.
2. Resolva: x2 + 8x + 15 = 0.
3. Determine as raízes: x2 + 2x − 15 = 0.
Ver respostas
1. (x − 4)(x − 5) = 0 → x = 4 ou x = 5.
2. (x + 3)(x + 5) = 0 → x = −3 ou x = −5.
3. (x + 5)(x − 3) = 0 → x = −5 ou x = 3.
4. Fórmula resolutiva da equação do segundo grau
Para resolver qualquer equação do segundo grau na forma ax2 + bx + c = 0, podemos utilizar a fórmula resolutiva:
No Brasil, essa expressão é frequentemente conhecida como fórmula de Bhaskara.
A expressão localizada dentro da raiz quadrada é chamada de discriminante e é representada pela letra grega delta:
Assim, podemos organizar a resolução em duas etapas:
x2 − 5x + 6 = 0
a = 1, b = −5, c = 6
Δ = (−5)2 − 4 · 1 · 6
Δ = 25 − 24 = 1
x2 = 2
2x2 + x − 3 = 0
a = 2, b = 1, c = −3
Δ = 12 − 4 · 2 · (−3)
Δ = 25
Pratique
1. Resolva utilizando a fórmula resolutiva: x2 − 7x + 10 = 0.
2. Resolva: 2x2 − 5x − 3 = 0.
3. Determine as raízes: 3x2 + x − 2 = 0.
Ver respostas
1.
Δ = (−7)2 − 4 · 1 · 10 = 9.
2.
Δ = (−5)2 − 4 · 2 · (−3) = 49.
3.
Δ = 12 − 4 · 3 · (−2) = 25.
5. Discriminante e número de raízes reais
O discriminante não serve apenas como uma etapa do cálculo da fórmula resolutiva. Seu valor permite saber, antes mesmo de calcular as raízes, quantas soluções reais uma equação do segundo grau possui.
A equação possui duas raízes reais distintas.
x2 − 5x + 6 = 0
Δ = 25 − 24 = 1
A equação possui uma raiz real dupla.
x2 − 6x + 9 = 0
Δ = 36 − 36 = 0
x = 3
A equação não possui raízes reais.
x2 + 2x + 5 = 0
Δ = 4 − 20 = −16
Podemos resumir:
Pratique
1. Sem calcular as raízes, determine quantas raízes reais possui x2 − 8x + 12 = 0.
2. Determine o número de raízes reais de x2 − 4x + 4 = 0.
3. Determine o número de raízes reais de 2x2 + 2x + 5 = 0.
Ver respostas
1. Δ = 64 − 48 = 16. Como Δ > 0, existem duas raízes reais distintas.
2. Δ = 16 − 16 = 0. Existe uma raiz real dupla.
3. Δ = 4 − 40 = −36. Como Δ < 0, não existem raízes reais.
6. Resolução por fatoração
Em algumas equações do segundo grau, a fatoração permite encontrar as raízes de maneira rápida.
Esse método utiliza o princípio do produto nulo:
x2 − 7x + 12 = 0
(x − 3)(x − 4) = 0
x = 3 ou x = 4
x2 + 5x + 6 = 0
(x + 2)(x + 3) = 0
x = −2 ou x = −3
4x2 − 25 = 0
(2x − 5)(2x + 5) = 0
x = 5/2 ou x = −5/2
2x2 − 8x = 0
2x(x − 4) = 0
x = 0 ou x = 4
A fatoração é especialmente útil quando a expressão apresenta uma estrutura algébrica facilmente reconhecível.
Pratique
1. Resolva por fatoração: x2 − 11x + 30 = 0.
2. Resolva: x2 − 16 = 0.
3. Determine as raízes: 3x2 + 12x = 0.
Ver respostas
1. (x − 5)(x − 6) = 0 → x = 5 ou x = 6.
2. (x − 4)(x + 4) = 0 → x = 4 ou x = −4.
3. 3x(x + 4) = 0 → x = 0 ou x = −4.
7. Verificação das raízes
Depois de encontrar as raízes de uma equação, podemos verificar se os valores obtidos realmente satisfazem a equação original.
x2 − 5x + 6 = 0
Raízes: x = 2 e x = 3.
Para x = 2:
22 − 5 · 2 + 6 = 4 − 10 + 6 = 0.
Para x = 3:
32 − 5 · 3 + 6 = 9 − 15 + 6 = 0.
Os dois valores tornam a igualdade verdadeira e, portanto, são raízes da equação.
Por que verificar?
A verificação pode ajudar a identificar erros ocorridos durante:
- a identificação dos coeficientes;
- o cálculo do discriminante;
- a aplicação da fórmula resolutiva;
- a fatoração;
- as operações com sinais.
Em problemas contextualizados, a verificação algébrica também deve ser acompanhada da interpretação da solução, pois uma raiz matematicamente válida pode não fazer sentido na situação apresentada.
Pratique
1. Verifique se x = 4 é raiz de x2 − 6x + 8 = 0.
2. Verifique se x = −2 é raiz de x2 + 5x + 6 = 0.
3. O número x = 3 é raiz de 2x2 − 5x − 3 = 0?
Ver respostas
1. 42 − 6 · 4 + 8 = 16 − 24 + 8 = 0. Sim, 4 é raiz.
2. (−2)2 + 5(−2) + 6 = 4 − 10 + 6 = 0. Sim, −2 é raiz.
3. 2 · 32 − 5 · 3 − 3 = 18 − 15 − 3 = 0. Sim, 3 é raiz.
8. Equações que podem ser reduzidas a uma equação do segundo grau
Nem toda equação aparece inicialmente escrita na forma ax2 + bx + c = 0. Em alguns casos, é necessário realizar operações algébricas, aplicar a propriedade distributiva ou reduzir termos semelhantes para obter uma equação do segundo grau.
(x + 2)(x − 3) = 4
x2 − x − 6 = 4
x2 − x − 10 = 0
Δ = 1 + 40 = 41
(x + 1)(x + 4) = 10
x2 + 5x + 4 = 10
x2 + 5x − 6 = 0
(x + 6)(x − 1) = 0
x = −6 ou x = 1
(x + 3)2 = 25
x2 + 6x + 9 = 25
x2 + 6x − 16 = 0
(x + 8)(x − 2) = 0
x = −8 ou x = 2
x(x + 5) = 24
x2 + 5x − 24 = 0
(x + 8)(x − 3) = 0
x = −8 ou x = 3
Antes de escolher um método de resolução, é importante observar a estrutura da equação. Em alguns casos, uma simplificação ou fatoração torna a resolução mais rápida.
Pratique
1. Resolva: (x + 2)(x + 5) = 14.
2. Resolva: (x − 4)2 = 9.
3. Determine as soluções: x(x − 7) = 18.
Ver respostas
1.
x2 + 7x + 10 = 14
x2 + 7x − 4 = 0
Δ = 65
Logo,
2.
x − 4 = 3 ou x − 4 = −3.
Portanto, x = 7 ou x = 1.
3.
x2 − 7x − 18 = 0
(x − 9)(x + 2) = 0
Logo, x = 9 ou x = −2.
9. Resolução de problemas por meio de equações do segundo grau
As equações do segundo grau podem ser utilizadas para modelar situações que envolvem áreas, dimensões, produtos de quantidades e outras relações em que a incógnita aparece elevada ao quadrado.
O processo geralmente envolve quatro etapas:
- identificar a incógnita;
- representar a situação por meio de uma equação;
- resolver a equação;
- interpretar as raízes de acordo com o contexto.
Um terreno retangular possui comprimento 5 metros maior que sua largura. Sua área é de 84 m².
Largura: x
Comprimento: x + 5
x(x + 5) = 84
x2 + 5x − 84 = 0
(x + 12)(x − 7) = 0
x = −12 ou x = 7.
Como uma medida de comprimento não pode ser negativa nesse contexto, a largura é 7 m e o comprimento é 12 m.
O produto de dois números inteiros positivos consecutivos é 72.
x(x + 1) = 72
x2 + x − 72 = 0
(x + 9)(x − 8) = 0
x = −9 ou x = 8.
Como os números devem ser positivos, são 8 e 9.
A área de um quadrado é 196 cm².
x2 = 196
x = 14 ou x = −14.
Como x representa o comprimento do lado, a medida é 14 cm.
Uma raiz pode ser matematicamente válida para a equação e, ao mesmo tempo, não representar uma solução possível para o problema. Por isso, a interpretação do contexto é uma etapa essencial.
Pratique
1. Um terreno retangular possui comprimento 3 metros maior que a largura e área de 40 m². Determine suas dimensões.
2. O produto de dois números inteiros positivos consecutivos é 90. Quais são esses números?
3. A área de um quadrado é 225 cm². Qual é a medida de seu lado?
Ver respostas
1.
x(x + 3) = 40
x2 + 3x − 40 = 0
(x + 8)(x − 5) = 0.
Como a medida deve ser positiva, a largura é 5 m e o comprimento é 8 m.
2.
x(x + 1) = 90
x2 + x − 90 = 0
(x + 10)(x − 9) = 0.
Como os números devem ser positivos, são 9 e 10.
3.
x2 = 225 → x = 15 ou x = −15.
Como x representa uma medida, o lado possui 15 cm.
10. Revisão e aprofundamento
Resolva as questões a seguir para revisar os principais conceitos estudados nesta postagem.
Na equação 3x2 − 7x + 2 = 0, os coeficientes a, b e c são, respectivamente:
B) 3, −7, 2
C) −3, 7, 2
D) 3, −7, −2
E) −3, −7, 2
As soluções da equação x2 − 64 = 0 são:
B) x = −8
C) x = 8 ou x = −8
D) x = 32 ou x = −32
E) x = 4 ou x = −4
Resolva: 2x2 − 10x = 0.
B) 0 e 5
C) −5 e 5
D) 2 e 5
E) −2 e 5
As raízes da equação x2 − 9x + 20 = 0 são:
B) 3 e 6
C) 4 e 5
D) −4 e −5
E) −4 e 5
Considere a equação x2 − 6x + 9 = 0. Sobre suas raízes reais, é correto afirmar que:
B) possui uma raiz real dupla.
C) não possui raízes reais.
D) possui apenas a raiz x = −3.
E) possui as raízes x = −3 e x = 3.
Qual é o valor do discriminante da equação 2x2 − 3x − 2 = 0?
B) 9
C) 17
D) 25
E) 49
A equação x2 + 4x + 8 = 0 possui:
B) duas raízes reais negativas.
C) duas raízes reais de sinais diferentes.
D) uma raiz real dupla.
E) nenhuma raiz real.
A equação (x + 2)(x − 5) = 0 possui como raízes:
B) −2 e 5
C) −2 e −5
D) 2 e −5
E) 0 e 3
O produto de dois números inteiros positivos consecutivos é 132. Quais são esses números?
B) 10 e 11
C) 11 e 12
D) 12 e 13
E) 13 e 14
Um terreno retangular possui comprimento 4 metros maior que sua largura. A área do terreno é 96 m². Quais são as dimensões do terreno?
B) 7 m e 11 m
C) 8 m e 12 m
D) 9 m e 13 m
E) 10 m e 14 m