Equações e inequações modulares
O módulo aparece em diferentes situações da Matemática quando estamos interessados na distância entre valores, independentemente do sentido dessa distância. Por esse motivo, compreender seu significado é mais importante do que simplesmente memorizar regras para retirar as barras do módulo.
Nesta postagem, começaremos pelo significado de módulo de um número real, passaremos pela interpretação na reta numérica e, gradualmente, chegaremos às equações e inequações modulares e às suas aplicações.
Para acompanhar este conteúdo, é importante saber trabalhar com números positivos e negativos, resolver equações e inequações do primeiro grau, representar intervalos na reta real e compreender a ideia de distância entre dois pontos.
1. Módulo de um número real
O módulo de um número real x, representado por |x|, corresponde à distância entre o número x e o zero na reta real.
Como uma distância nunca é negativa:
Vamos determinar:
O número 5 está a 5 unidades de distância do zero. Portanto:
Agora considere:
Embora −5 esteja à esquerda do zero, sua distância até o zero é de 5 unidades. Logo:
Assim:
Os números 5 e −5 são diferentes, mas estão à mesma distância do zero.
Para o número zero:
Isso ocorre porque a distância entre zero e ele próprio é zero.
Pratique
1. Determine |12|.
2. Determine |−9|.
3. Calcule |−4| + |7|.
Ver respostas
O número 12 está a 12 unidades do zero.
O número −9 está a 9 unidades do zero.
Logo, o resultado é 11.
2. Interpretação geométrica do módulo
A interpretação do módulo como distância é fundamental para compreender equações e inequações modulares.
Considere:
Essa igualdade significa que a distância entre x e zero é de 4 unidades. Existem dois números que satisfazem essa condição:
Os pontos −4 e 4 estão à mesma distância do zero. Por isso:
Distância em relação a outro ponto
A expressão:
representa a distância entre x e o número 3.
Resolva:
Precisamos encontrar os números que estão exatamente a 5 unidades do número 3.
Para a direita:
Para a esquerda:
Portanto:
Conferindo:
Pratique
1. Quais números estão a 6 unidades de distância do zero?
2. Resolva |x| = 9.
3. Determine os valores de x cuja distância até o número 4 é igual a 3 unidades: |x − 4| = 3.
Ver respostas
Os dois números são −6 e 6.
A distância entre x e zero deve ser 9.
À direita de 4:
À esquerda de 4:
Logo:
3. Equações modulares fundamentais
Considere a equação:
Quando a > 0, estamos procurando números cuja distância até o zero seja igual a a. Existem duas possibilidades:
Resolva:
Existem dois números a 7 unidades do zero:
Portanto:
Resolva:
Somente o próprio zero está a uma distância igual a zero do zero.
Resolva:
O módulo representa uma distância e nunca pode ser negativo. Portanto, não existe número real cujo módulo seja −4.
Se a > 0, |x| = a possui duas soluções.
Se a = 0, possui uma solução.
Se a < 0, não possui solução real.
Pratique
1. Resolva |x| = 11.
2. Resolva |x| = 0.
3. Determine o conjunto solução de |x| = −8.
Ver respostas
O módulo não pode ser negativo.
4. Equações modulares com expressões algébricas
Nem sempre encontramos apenas uma variável entre as barras do módulo. Podemos ter uma expressão algébrica.
Resolva:
Como 5 é positivo, a expressão 2x − 3 pode ser igual a 5 ou a −5.
Primeiro caso:
Segundo caso:
Portanto:
Conferindo:
Resolva:
Primeira possibilidade:
Segunda possibilidade:
Logo:
Pratique
1. Resolva |x + 4| = 9.
2. Resolva |2x + 1| = 7.
3. Determine o conjunto solução de |5x − 10| = 0.
Ver respostas
x + 4 = 9 ou x + 4 = −9.
2x + 1 = 7 ou 2x + 1 = −7.
Como o módulo é igual a zero:
5. Equações modulares e condições de existência
Antes de resolver uma equação modular, devemos observar o valor que aparece fora do módulo.
Para uma equação da forma:
se k for positivo, consideramos A = k ou A = −k; se k = 0, temos A = 0; se k for negativo, não existe solução real.
Resolva:
Primeiro caso:
Segundo caso:
Portanto:
Resolva:
Como o módulo nunca é negativo, não existe solução real.
Resolva:
Não devemos criar imediatamente os dois casos porque o módulo ainda não está isolado.
Subtraímos 3 dos dois membros:
Dividimos por 2:
Agora consideramos as duas possibilidades:
Portanto:
Pratique
1. Resolva |4x − 3| = 9.
2. Determine o conjunto solução de |x + 7| = −2.
3. Resolva 3|x + 2| − 6 = 9.
Ver respostas
4x − 3 = 9 ou 4x − 3 = −9.
Do primeiro caso, x = 3. Do segundo:
O módulo não pode ser igual a −2.
Assim, x + 2 = 5 ou x + 2 = −5.
6. Inequações modulares do tipo |x| < a e |x| ≤ a
Considere:
Queremos os números que estão a uma distância menor que 4 unidades do zero. Esses números ficam entre −4 e 4.
Portanto:
|x| < a equivale a −a < x < a.
|x| ≤ a equivale a −a ≤ x ≤ a.
Resolva:
Escrevemos uma inequação dupla:
Somamos 3 aos três membros:
Dividimos os três membros por 2:
Logo:
Resolva:
Temos:
Subtraímos 1:
Dividimos por 3:
Pratique
1. Resolva |x| < 9.
2. Resolva |x + 2| ≤ 5.
3. Determine o conjunto solução de |2x − 4| < 6.
Ver respostas
7. Inequações modulares do tipo |x| > a e |x| ≥ a
Considere:
Agora procuramos números cuja distância até o zero seja maior que 4. Eles devem estar à esquerda de −4 ou à direita de 4.
Portanto:
|x| > a equivale a x < −a ou x > a.
|x| ≥ a equivale a x ≤ −a ou x ≥ a.
Resolva:
Temos duas possibilidades:
ou:
Na primeira:
Na segunda:
Portanto:
Resolva:
Temos:
ou:
Assim:
ou:
Portanto:
Pratique
1. Resolva |x| > 5.
2. Determine o conjunto solução de |x − 3| ≥ 4.
3. Resolva |2x + 4| > 8.
Ver respostas
8. Inequações modulares com expressões algébricas
Podemos organizar os principais casos da seguinte maneira:
|A| ≤ a → −a ≤ A ≤ a
|A| > a → A < −a ou A > a
|A| ≥ a → A ≤ −a ou A ≥ a
Resolva:
Como temos <, escrevemos:
Somamos 2:
Dividimos por 3:
Resolva:
Temos:
ou:
Resolvendo:
Resolva:
Temos:
Subtraímos 4:
Agora dividimos os três membros por −2. Como estamos dividindo uma inequação por um número negativo, o sentido das desigualdades é invertido.
Colocando em ordem crescente:
Logo:
Pratique
1. Resolva |3x + 1| ≤ 10.
2. Resolva |5x − 2| > 8.
3. Determine o conjunto solução de |−2x + 6| ≤ 4.
Ver respostas
Dividindo por −2 e invertendo as desigualdades:
Em ordem crescente:
9. Problemas envolvendo módulo
O módulo é particularmente útil para representar situações envolvendo distância, tolerância, margem de erro e variação em torno de um valor de referência.
Uma peça deve ter comprimento ideal de 50 mm, mas é aceita uma variação máxima de 0,5 mm para mais ou para menos. Qual é o intervalo de comprimentos aceitáveis?
Se x representa o comprimento real da peça, a diferença entre a medida real e a medida ideal é:
Como queremos considerar o tamanho dessa diferença independentemente do sinal, usamos o módulo:
A diferença pode ser de, no máximo, 0,5 mm:
Somamos 50 aos três membros:
Portanto, a peça será aceita quando medir entre 49,5 mm e 50,5 mm, inclusive.
Um produto deve ser conservado a 8 °C, admitindo-se uma variação máxima de 2 °C. Qual é o intervalo permitido?
Se T representa a temperatura:
Assim:
Somamos 8:
Portanto:
Uma base de apoio está localizada no quilômetro 30 de uma estrada. Um veículo deve permanecer a uma distância menor que 8 km da base. Em qual trecho ele pode estar?
Se x representa a posição do veículo:
Então:
Somamos 30:
Portanto, o veículo deve estar entre os quilômetros 22 e 38, sem incluir esses pontos.
Uma pessoa está no ponto 12 de uma reta e deseja posicionar-se a uma distância de pelo menos 5 unidades desse ponto.
A distância é representada por:
“Pelo menos 5” significa maior ou igual a 5:
Temos:
ou:
Logo:
Pratique
1. Uma máquina deve produzir barras com 100 cm de comprimento, admitindo variação máxima de 2 cm. Determine o intervalo de comprimentos aceitáveis.
2. A temperatura ideal de um equipamento é 25 °C, com tolerância máxima de 3 °C. Determine as temperaturas permitidas.
3. Uma pessoa está no ponto 20 de uma reta e deseja ficar a uma distância de pelo menos 6 unidades desse ponto. Determine as posições possíveis.
Ver respostas
Portanto, são aceitas barras entre 98 cm e 102 cm, inclusive.
Portanto, a temperatura permitida está entre 22 °C e 28 °C, inclusive.
A distância entre x e 20 deve ser pelo menos 6:
Temos:
ou:
Logo:
10. Revisão e aprofundamento
O valor de |−12| + |5| é:
B) −7
C) 7
D) 17
E) 60
O conjunto solução da equação |x| = 8 é:
B) {−8}
C) {−8, 8}
D) [−8, 8]
E) ∅
Resolva |2x − 1| = 7.
B) {−4, 3}
C) {−3, 3}
D) {3, 4}
E) {−4, 4}
A equação |3x + 6| = −9 possui:
B) uma solução negativa.
C) duas soluções reais.
D) infinitas soluções reais.
E) nenhuma solução real.
O conjunto solução de |x − 2| < 5 é:
B) ]−3, 7[
C) [−3, 7]
D) ]−5, 5[
E) ]−7, 3[
Resolva |2x + 4| ≤ 8.
B) −2 ≤ x ≤ 6
C) x ≤ −6 ou x ≥ 2
D) −4 ≤ x ≤ 4
E) x ≤ −2 ou x ≥ 6
O conjunto solução de |x + 1| > 4 é:
B) [−5, 3]
C) ]−∞, −5[ ∪ ]3, +∞[
D) ]−∞, −3[ ∪ ]5, +∞[
E) ]−4, 4[
Uma peça deve medir 80 mm, admitindo diferença máxima de 1,5 mm em relação a essa medida. Qual expressão representa corretamente essa condição?
B) |x − 80| ≥ 1,5
C) |x + 80| ≤ 1,5
D) |x − 80| ≤ 1,5
E) |x − 1,5| ≤ 80
Uma temperatura deve permanecer a, no máximo, 4 °C de uma temperatura de referência de 18 °C. Qual é o intervalo permitido?
B) 14 °C < T < 22 °C
C) T ≤ 14 °C ou T ≥ 22 °C
D) 18 °C ≤ T ≤ 22 °C
E) 4 °C ≤ T ≤ 18 °C
Um ponto x deve estar a uma distância de pelo menos 7 unidades do número 5. A condição é |x − 5| ≥ 7. O conjunto solução é:
B) ]−2, 12[
C) x ≤ −2 ou x ≥ 12
D) x < −7 ou x > 7
E) x ≤ 2 ou x ≥ 12