Inequações do segundo grau
As inequações do segundo grau aparecem quando queremos determinar os valores de uma variável para os quais uma expressão quadrática é positiva, negativa, maior ou igual a zero ou menor ou igual a zero.
Observe, por exemplo, a inequação:
Nesse caso, não queremos encontrar apenas os valores que tornam a expressão igual a zero. Queremos descobrir para quais valores de x a expressão x2 − 5x + 6 assume valores positivos.
Para isso, primeiro identificamos os valores que tornam a expressão igual a zero. Esses valores dividem a reta real em intervalos. Em seguida, analisamos o sinal da expressão em cada intervalo para descobrir quais deles satisfazem a desigualdade proposta.
Para acompanhar este conteúdo, é importante saber resolver equações do segundo grau, identificar seus coeficientes, calcular o discriminante, determinar as raízes reais, compreender intervalos reais e reconhecer as principais características do gráfico de uma função quadrática.
1. Inequações do segundo grau e sua forma geral
Uma inequação do segundo grau em uma variável pode ser escrita nas formas:
em que:
Em uma equação, procuramos os valores que tornam os dois membros iguais. Em uma inequação, procuramos um conjunto de valores que torna verdadeira uma desigualdade.
Considere a inequação:
Queremos descobrir para quais valores de x a expressão x2 − 9 é positiva.
Resolvemos a equação associada:
A expressão x2 − 9 é uma diferença de dois quadrados, pois 9 = 32. Utilizamos:
Assim:
Portanto:
Para que um produto seja igual a zero, pelo menos um de seus fatores deve ser igual a zero:
As raízes são, portanto, −3 e 3.
As raízes −3 e 3 dividem a reta em três partes:
Escolhemos um valor de cada intervalo e o substituímos na expressão (x − 3)(x + 3).
Para x < −3: podemos escolher x = −4.
O resultado é positivo.
Para −3 < x < 3: podemos escolher x = 0.
O resultado é negativo.
Para x > 3: podemos escolher x = 4.
O resultado é positivo.
A inequação pede:
Precisamos, portanto, dos intervalos nos quais a expressão é positiva:
Os valores −3 e 3 não são incluídos porque, nesses pontos, a expressão vale zero e a inequação exige um valor maior que zero.
Agora considere:
Queremos encontrar os valores de x para os quais a expressão é negativa ou igual a zero.
Primeiro, encontramos as raízes da equação associada:
Como 4 = 22, temos uma diferença de dois quadrados:
Assim:
As raízes −2 e 2 dividem a reta em três intervalos. Como o coeficiente de x2 é positivo, a expressão é positiva fora das raízes e negativa entre elas.
A inequação pede valores menores ou iguais a zero. Portanto, escolhemos o intervalo em que a expressão é negativa e também incluímos as raízes, onde ela vale zero.
Pratique
1. Identifique os valores que dividem a reta real para a análise de x2 − 16 > 0.
2. Resolva x2 − 25 < 0.
3. Determine o conjunto solução de x2 − 36 ≥ 0.
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1.
Igualamos a expressão a zero:
Fatorando a diferença de dois quadrados:
Logo, x = 4 ou x = −4. Portanto, os valores que dividem a reta real são −4 e 4.
2.
As raízes são −5 e 5. Como o coeficiente de x2 é positivo, a expressão é negativa entre as raízes.
3.
As raízes são −6 e 6. A expressão é positiva fora do intervalo entre as raízes. Como a desigualdade também admite zero, incluímos −6 e 6.
2. Relação entre inequação e função quadrática
Uma inequação do segundo grau pode ser analisada por meio da função:
O valor de f(x) corresponde à posição vertical de um ponto do gráfico. Assim:
f(x) > 0 significa que o gráfico está acima do eixo x;
f(x) < 0 significa que o gráfico está abaixo do eixo x;
f(x) = 0 corresponde aos pontos em que o gráfico encontra o eixo x. Esses valores são as raízes da função.
O coeficiente a também é importante. Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima. Quando a < 0, a concavidade é voltada para baixo.
Considere:
Primeiro, determinamos onde f(x) = 0:
Procuramos dois números cujo produto seja 6 e cuja soma seja −5. Esses números são −2 e −3. Portanto:
Logo:
Como a = 1, temos a > 0. A parábola possui concavidade voltada para cima. Consequentemente, o gráfico fica acima do eixo x antes da primeira raiz e depois da segunda raiz, e fica abaixo do eixo entre as duas raízes.
Portanto:
Pratique
1. A função f(x) = x2 − 7x + 10 possui raízes 2 e 5. Em quais intervalos f(x) > 0?
2. Para f(x) = −x2 + 6x − 8, as raízes são 2 e 4. Em quais valores de x temos f(x) > 0?
3. Uma função quadrática possui raízes −1 e 3 e coeficiente a > 0. Em qual intervalo a função é negativa?
Ver respostas
1. Como a = 1 > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima. A função é positiva fora das raízes.
2. Como a = −1 < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo. Assim, a função é positiva entre as raízes.
3. Como a > 0, a função é negativa entre as duas raízes.
3. Zeros da expressão quadrática
Antes de analisar o sinal de uma expressão quadrática, precisamos saber se ela possui raízes reais. Para isso, resolvemos a equação:
O discriminante é calculado por:
Seu valor indica quantas raízes reais existem:
Δ = 0 → uma raiz real dupla.
Δ < 0 → não existem raízes reais.
Considere:
Nesse caso, a = 1, b = −7 e c = 12. Calculamos o discriminante:
Como Δ > 0, existem duas raízes reais distintas.
A expressão também pode ser fatorada:
Assim:
Logo:
Considere:
Temos a = 1, b = −6 e c = 9.
Como Δ = 0, existe uma única raiz real, chamada raiz dupla.
Também podemos reconhecer o trinômio quadrado perfeito:
Assim:
Considere:
Temos a = 1, b = 2 e c = 5.
Como Δ < 0, a equação não possui raízes reais. Isso significa que o gráfico da função correspondente não encontra o eixo x.
Pratique
1. Determine os zeros de x2 − 8x + 15.
2. Determine o zero de x2 − 10x + 25 e classifique-o.
3. Verifique se x2 + 4x + 8 possui zeros reais.
Ver respostas
1.
Logo, x1 = 3 e x2 = 5.
2.
Portanto, x = 5. Como a mesma raiz aparece duas vezes, ela é uma raiz real dupla.
3.
Como Δ < 0, não existem raízes reais.
4. Estudo do sinal da expressão quadrática
Encontrar as raízes não encerra a resolução de uma inequação. As raízes servem como pontos de referência para dividir a reta real e analisar onde a expressão é positiva ou negativa.
Considere duas raízes reais distintas:
Se a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima. Ela fica abaixo do eixo x entre as raízes e acima dele nas regiões externas.
Se a < 0, ocorre o contrário: a parábola tem concavidade voltada para baixo, ficando acima do eixo x entre as raízes e abaixo dele nas regiões externas.
Vamos estudar o sinal de:
Primeiro, encontramos as raízes:
O coeficiente de x2 é a = 1, portanto a > 0. Assim, a expressão é positiva fora das raízes e negativa entre elas.
Portanto:
Pratique
1. Faça o estudo do sinal de x2 − 9x + 20.
2. Determine onde −x2 + 7x − 10 é positiva.
3. Resolva x2 − 6x + 8 ≤ 0.
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1.
As raízes são 4 e 5. Como a = 1 > 0, a expressão é positiva fora das raízes e negativa entre elas.
Positiva: x < 4 ou x > 5.
Negativa: 4 < x < 5.
2.
As raízes são 2 e 5. Como a = −1 < 0, a expressão é positiva entre as raízes.
3.
As raízes são 2 e 4. Como a > 0, a expressão é negativa entre as raízes. Como a inequação é ≤ 0, incluímos também as raízes.
5. Inequações com duas raízes reais distintas
Quando Δ > 0, a equação associada possui duas raízes reais distintas. Essas raízes dividem a reta real em três intervalos.
Podemos organizar a resolução em quatro etapas:
1. escrever a inequação com zero em um dos membros;
2. encontrar as raízes da equação associada;
3. analisar o sinal da expressão nos intervalos determinados pelas raízes;
4. selecionar os intervalos que satisfazem a desigualdade.
Resolva:
1º passo — Encontrar as raízes.
Procuramos dois números cujo produto seja 10 e cuja soma seja −7. Esses números são −2 e −5.
Logo:
2º passo — Analisar o sinal.
Como a = 1 > 0, a expressão é positiva fora das raízes e negativa entre elas.
3º passo — Escolher os intervalos.
A inequação pede valores maiores que zero. Portanto, escolhemos os dois intervalos positivos. Como a desigualdade é estrita, as raízes não são incluídas.
Resolva:
Primeiro, determinamos as raízes da equação associada:
Podemos dividir toda a equação por −2 para facilitar os cálculos:
Fatorando:
Logo, as raízes são 1 e 3.
Para o estudo do sinal, porém, devemos observar o coeficiente da expressão original. Nela, a = −2 < 0. Portanto, a expressão é positiva entre as raízes e negativa fora delas.
A inequação pede valores maiores ou iguais a zero. Escolhemos o intervalo positivo e incluímos as raízes, pois nelas a expressão vale zero.
Pratique
1. Resolva x2 − 8x + 12 < 0.
2. Determine o conjunto solução de x2 + x − 6 ≥ 0.
3. Resolva −x2 + 9x − 20 > 0.
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1.
As raízes são 2 e 6. Como a > 0, a expressão é negativa entre elas.
2.
As raízes são −3 e 2. Como a > 0, a expressão é positiva fora das raízes. O sinal ≥ inclui os pontos em que a expressão vale zero.
3.
As raízes são 4 e 5. Como a < 0, a expressão é positiva entre elas.
6. Inequações com uma raiz real dupla
Quando Δ = 0, a equação associada possui uma raiz real dupla. Isso significa que a parábola toca o eixo x em um único ponto, mas não atravessa esse eixo.
Por isso, o sinal da expressão não muda ao passar pela raiz.
Resolva:
Fatorando o trinômio quadrado perfeito:
Todo número real elevado ao quadrado é maior ou igual a zero. Assim, (x − 3)2 nunca será negativo.
Quando x = 3, o resultado é zero. Para qualquer outro valor de x, o resultado é positivo.
Como a inequação aceita tanto valores positivos quanto zero, todos os números reais satisfazem a condição.
Agora considere:
Temos novamente:
Para x = 3, a expressão vale zero. Como a inequação exige um valor maior que zero, x = 3 não pode fazer parte da solução.
Todos os demais números reais produzem um quadrado positivo.
Resolva:
Colocando −1 em evidência:
O trinômio entre parênteses é um quadrado perfeito:
Como (x − 2)2 é sempre maior ou igual a zero, seu oposto é sempre menor ou igual a zero.
Portanto, qualquer número real satisfaz a inequação.
Pratique
1. Resolva x2 − 10x + 25 ≤ 0.
2. Determine o conjunto solução de x2 + 8x + 16 > 0.
3. Resolva −x2 − 6x − 9 < 0.
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1.
Um quadrado só pode ser menor ou igual a zero quando é exatamente zero.
2.
A expressão vale zero apenas em x = −4. Para todos os demais valores, é positiva.
3.
A expressão vale zero em x = −3 e é negativa para qualquer outro número real.
7. Inequações sem raízes reais
Quando Δ < 0, a equação associada não possui raízes reais. Isso significa que a parábola não encontra o eixo x.
Como não existem pontos em que a expressão muda de positivo para negativo ou de negativo para positivo, ela mantém o mesmo sinal para todos os valores reais de x.
Esse sinal é determinado pelo coeficiente a:
se a > 0, a expressão é sempre positiva;
se a < 0, a expressão é sempre negativa.
Resolva:
Calculamos o discriminante:
Como Δ < 0, não existem raízes reais. Além disso, a = 1 > 0. Portanto, a parábola permanece acima do eixo x e a expressão é positiva para todo número real.
Resolva:
Calculando o discriminante:
Não existem raízes reais e a = 1 > 0. Portanto, a expressão é positiva para todo número real.
A inequação, entretanto, pede valores para os quais ela seja negativa. Como isso nunca acontece, não existe solução real.
Resolva:
Temos a = −1, b = 2 e c = −5.
Como Δ < 0, não existem raízes reais. Como a = −1 < 0, a parábola permanece abaixo do eixo x. Portanto, a expressão é negativa para todo número real.
Pratique
1. Resolva x2 + 6x + 10 > 0.
2. Determine o conjunto solução de x2 − 2x + 5 ≤ 0.
3. Resolva −2x2 + 4x − 7 ≥ 0.
Ver respostas
1.
Como Δ < 0 e a > 0, a expressão é sempre positiva.
2.
Como Δ < 0 e a > 0, a expressão é sempre positiva. Portanto, nunca será menor ou igual a zero.
3.
Como Δ < 0 e a < 0, a expressão é sempre negativa. Portanto, nunca será maior ou igual a zero.
8. Representação do conjunto solução por intervalos
Depois de resolver uma inequação, podemos escrever o conjunto solução usando a notação de intervalos.
Quando um extremo não pertence ao conjunto solução, utilizamos um intervalo aberto. Quando o extremo pertence ao conjunto solução, utilizamos um intervalo fechado.
Os símbolos −∞ e +∞ nunca representam números reais que possam ser incluídos no conjunto. Por isso, o intervalo é sempre aberto no lado do infinito.
Resolva e escreva a solução por intervalos:
Fatorando:
As raízes são 2 e 3. Como a > 0, a expressão é negativa entre as raízes.
Como a desigualdade é estrita, 2 e 3 não pertencem à solução.
Resolva:
Fatorando:
As raízes são 2 e 5. Como a > 0, a expressão é positiva fora das raízes.
Como a desigualdade é ≥, as raízes são incluídas. Os infinitos permanecem sempre como extremos abertos.
Resolva:
As raízes da equação associada são 2 e 6.
Como a = −1 < 0, a expressão é positiva entre as raízes.
Como a desigualdade é estrita, as raízes não são incluídas.
Pratique
1. Resolva e represente por intervalos x2 − 10x + 21 ≤ 0.
2. Determine o conjunto solução de x2 − 4x − 12 > 0.
3. Resolva e escreva em intervalos −x2 + 5x + 6 ≥ 0.
Ver respostas
1.
As raízes são 3 e 7. Como a > 0, a expressão é negativa entre elas. O sinal ≤ inclui as raízes.
2.
As raízes são −2 e 6. Como a > 0, a expressão é positiva fora das raízes. Como a desigualdade é estrita, elas não são incluídas.
3.
As raízes são −1 e 6. Como a < 0, a expressão é positiva entre as raízes. Como temos ≥ 0, incluímos os extremos.
9. Resolução de problemas com inequações do segundo grau
Em muitas situações, não queremos encontrar um único valor, mas determinar todos os valores que satisfazem determinada condição. Nesses casos, uma inequação pode representar matematicamente o problema.
Depois de resolver a inequação, ainda precisamos verificar se todos os resultados obtidos fazem sentido na situação apresentada.
Um terreno retangular possui largura x metros e comprimento x + 3 metros. Deseja-se que sua área seja maior que 40 m². Qual deve ser o valor da largura?
A área de um retângulo é calculada multiplicando a largura pelo comprimento:
Como a largura mede x e o comprimento mede x + 3:
A área deve ser maior que 40 m². Portanto:
Aplicando a propriedade distributiva:
Para estudar o sinal, colocamos todos os termos em um mesmo membro. Subtraímos 40 dos dois lados:
Resolvemos a equação associada:
Procuramos dois números cujo produto seja −40 e cuja soma seja 3. Esses números são 8 e −5.
Logo:
Como o coeficiente de x2 é positivo, a expressão é positiva fora do intervalo entre as raízes.
Matematicamente aparecem duas possibilidades. Entretanto, x representa a largura de um terreno e uma medida de comprimento não pode ser negativa. Por isso, x < −8 não faz sentido nessa situação.
Resta:
Portanto, a largura do terreno deve ser maior que 5 metros. Como o comprimento mede x + 3, ele será consequentemente maior que 8 metros.
A altura de um objeto lançado verticalmente é dada por:
em que h(t) representa a altura, em metros, e t representa o tempo, em segundos. Durante quais instantes o objeto permanece acima de 5 metros?
Queremos que a altura seja maior que 5 metros. Portanto:
Substituindo a expressão que representa a altura:
Subtraindo 5 dos dois membros:
Multiplicamos a equação por −1 para facilitar a fatoração:
Logo:
Na expressão original, o coeficiente de t2 é negativo. Portanto, a expressão é positiva entre as duas raízes.
Isso significa que o objeto está acima de 5 metros depois de 1 segundo e antes de 5 segundos. Nos instantes t = 1 e t = 5, a altura é exatamente 5 metros e, por isso, esses instantes não pertencem à solução.
Um retângulo possui largura x metros e comprimento x + 4 metros. Determine os valores positivos de x para que sua área seja maior ou igual a 32 m².
A área é:
A condição do problema é:
Aplicando a propriedade distributiva:
Subtraindo 32 dos dois membros:
Fatorando:
As raízes são −8 e 4.
Como a > 0, a expressão é positiva ou igual a zero fora do intervalo entre as raízes:
Como x representa uma medida de comprimento, descartamos os valores negativos.
Portanto, a largura deve medir pelo menos 4 metros. Nesse caso, o comprimento será de pelo menos 8 metros e a área mínima será 32 m².
Pratique
1. Um retângulo possui lados x metros e x + 2 metros. Determine os valores positivos de x para que sua área seja maior que 24 m².
2. A altura de um objeto é dada por h(t) = −t2 + 8t. Determine o intervalo de tempo em que sua altura é maior que 12 metros.
3. Um terreno retangular possui lados x metros e x + 5 metros. Para que sua área seja maior ou igual a 50 m², quais valores positivos de x são possíveis?
Ver respostas
1.
A área do retângulo é x(x + 2). Como deve ser maior que 24:
As raízes são −6 e 4. Como a > 0, a expressão é positiva para x < −6 ou x > 4. Como x representa uma medida positiva, descartamos x < −6.
2.
A equação associada possui raízes 2 e 6.
Como o coeficiente de t2 é negativo, a expressão é positiva entre as raízes.
Portanto, o objeto permanece acima de 12 metros entre 2 e 6 segundos.
3.
As raízes são −10 e 5. Como a > 0, temos x ≤ −10 ou x ≥ 5. Como x representa uma medida positiva, descartamos a primeira possibilidade.
10. Revisão e aprofundamento
Considere x2 − 7x + 12 < 0. O conjunto solução é:
B) 3 < x < 4
C) x ≤ 3 ou x ≥ 4
D) 3 ≤ x ≤ 4
E) x > 4
Resolva x2 − 9 ≥ 0.
B) −3 < x < 3
C) x ≤ −3 ou x ≥ 3
D) x < −3 ou x > 3
E) x ≥ −3
Considere −x2 + 5x − 6 > 0. O conjunto solução é:
B) 2 < x < 3
C) x ≤ 2 ou x ≥ 3
D) 2 ≤ x ≤ 3
E) x > 3
x2 − 8x + 16 ≤ 0 possui como conjunto solução:
B) ∅
C) {4}
D) ]−∞, 4]
E) [4, +∞[
Considere x2 + 2x + 5 < 0. Qual é o conjunto solução?
B) ∅
C) ]−5, −2[
D) ]−∞, −2[
E) ]−2, +∞[
Uma expressão quadrática possui duas raízes reais distintas x1 < x2 e coeficiente do termo quadrático positivo. Em qual intervalo ela é negativa?
B) x > x2
C) x1 < x < x2
D) x < x1 ou x > x2
E) Para todo x ∈ ℝ
Resolva −2x2 + 10x − 8 ≥ 0.
B) 1 ≤ x ≤ 4
C) 1 < x < 4
D) x < 1 ou x > 4
E) x ≥ 4
Um retângulo possui lados x metros e x + 3 metros. Para que sua área seja maior que 28 m², considerando x > 0, devemos ter:
B) x ≥ 4
C) 0 < x < 4
D) x > 7
E) x ≥ 7
A altura de um objeto é dada por h(t) = −t2 + 10t. Em qual intervalo sua altura é maior que 21 metros?
B) 3 < t < 7
C) 3 ≤ t ≤ 7
D) 0 < t < 10
E) t > 7
Considere uma expressão quadrática para a qual Δ < 0 e a < 0. Qual afirmação é correta?
B) A expressão é negativa para todo número real.
C) A expressão muda de sinal uma vez.
D) A expressão muda de sinal duas vezes.
E) A expressão é igual a zero para algum número real.