Conceito de função, domínio, imagem e gráficos
As funções são utilizadas para representar situações em que uma grandeza depende de outra. O valor pago por um produto pode depender da quantidade comprada; a distância percorrida pode depender do tempo; e a temperatura de uma substância pode depender do tempo de aquecimento.
Nesta postagem, você compreenderá o conceito de função, aprenderá a identificar domínio, contradomínio e imagem e analisará diferentes formas de representação, como tabelas, diagramas, fórmulas e gráficos.
EM13MAT101 — interpretar criticamente situações econômicas, sociais e fatos relativos às Ciências da Natureza que envolvam a variação de grandezas, pela análise dos gráficos das funções representadas e das taxas de variação, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
EM13MAT501 — investigar relações entre números expressos em tabelas para representá-los no plano cartesiano, identificando padrões e criando conjecturas para generalizar e expressar algebricamente essa generalização, reconhecendo quando essa representação é de função polinomial de 1º grau.
1. Relação entre duas grandezas
Em muitas situações, duas grandezas podem estar relacionadas. Isso significa que a mudança no valor de uma delas pode provocar ou acompanhar uma mudança no valor da outra.
Considere uma copiadora que cobra R$ 0,20 por página impressa. O preço total depende da quantidade de páginas.
| Quantidade de páginas | Preço total |
|---|---|
| 1 | R$ 0,20 |
| 2 | R$ 0,40 |
| 5 | R$ 1,00 |
| 10 | R$ 2,00 |
Se representarmos por n a quantidade de páginas e por P o preço total, em reais, podemos escrever:
- a quantidade de páginas é a variável independente;
- o preço total é a variável dependente, pois depende da quantidade de páginas.
Exemplo 1 — Determinando o preço das cópias
Um estudante precisa imprimir 35 páginas. Quanto pagará se cada página custar R$ 0,20?
Substituímos n por 35:
Portanto, o estudante pagará R$ 7,00.
2. O que é uma função?
Uma função é uma relação que associa cada elemento de um conjunto de partida a exatamente um elemento de um conjunto de chegada.
Essa definição possui duas exigências:
- todos os elementos do conjunto de partida precisam estar associados a algum elemento;
- cada elemento do conjunto de partida pode ter somente uma imagem.
Os elementos do conjunto de chegada podem receber mais de uma seta. Também podem existir elementos do conjunto de chegada que não recebem nenhuma seta.
Diagrama I — É função
Diagrama II — Não é função
O elemento 2 não possui imagem.
Diagrama III — É função
Os elementos 1 e 2 têm a mesma imagem.
Pratique
1. Observe os três diagramas anteriores. Qual ou quais representam funções?
2. Uma relação apresenta −2 ↦ 4, −1 ↦ 1, 0 ↦ 0 e 1 ↦ 1. O elemento 2 também pertence ao conjunto de partida, mas não possui seta. Essa relação é uma função? Justifique.
3. Em um diagrama, o elemento 3 possui as associações 3 ↦ 6 e 3 ↦ 9. Explique por que a relação não é uma função e indique uma alteração que poderia corrigi-la.
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1.
Os diagramas I e III representam funções. No I, cada elemento possui exatamente uma imagem. No III, dois elementos podem apontar para a mesma imagem, mas cada elemento do domínio continua associado a somente um valor. O diagrama II não representa uma função porque há um elemento sem imagem.
2.
Não. Todos os elementos do conjunto de partida precisam possuir uma imagem. Como o elemento 2 não está associado a nenhum elemento do conjunto de chegada, a condição não foi atendida.
3.
A relação não é uma função porque o elemento 3 possui duas imagens diferentes. Para corrigi-la, deve-se retirar uma das duas setas, deixando 3 associado somente a 6 ou somente a 9.
3. Notação de uma função e cálculo de valores
A escrita f: A → B indica que f é uma função que relaciona elementos do conjunto A a elementos do conjunto B.
Se um elemento x pertence ao conjunto de partida, sua imagem é indicada por f(x). Também podemos escrever:
- f é o nome da função;
- x é a variável independente;
- f(x) é a imagem de x;
- y é a variável dependente.
Exemplo 2 — Calculando valores de uma função
Considere f(x) = 2x + 3. Vamos determinar f(−2), f(0) e f(4).
Cálculo de f(−2)
A imagem de −2 é −1.
Cálculo de f(0)
A imagem de zero é 3.
Cálculo de f(4)
A imagem de 4 é 11.
| x | Cálculo | f(x) |
|---|---|---|
| −2 | 2 · (−2) + 3 | −1 |
| 0 | 2 · 0 + 3 | 3 |
| 4 | 2 · 4 + 3 | 11 |
Exemplo 3 — Determinando o valor de entrada
Para qual valor de x a função f(x) = 2x + 3 possui imagem igual a 15?
Subtraímos 3 dos dois membros:
Dividimos os dois membros por 2:
Verificando:
Portanto, a imagem é 15 quando x = 6.
Pratique
1. Considere f(x) = 3x − 5. Determine f(4).
2. Dada g(x) = x2 − 2x + 1, determine g(−2).
3. Um reservatório contém inicialmente 25 litros de água. Uma torneira acrescenta 8 litros por minuto. A quantidade é V(t) = 25 + 8t. Quantos litros haverá após 6 minutos?
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1.
Logo, f(4) = 7.
2.
É importante colocar −2 entre parênteses, pois o expoente deve ser aplicado ao número inteiro, incluindo o sinal. Logo, g(−2) = 9.
3.
Após 6 minutos, haverá 73 litros.
4. Diferentes representações de uma função
Uma função pode ser representada por descrição verbal, tabela, diagrama, expressão algébrica ou gráfico. Considere uma máquina que produz 5 peças por minuto.
Representação verbal
A quantidade produzida é igual a cinco vezes o número de minutos de funcionamento.
Representação por tabela
| Tempo t (min) | Quantidade P(t) |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 5 |
| 2 | 10 |
| 3 | 15 |
| 4 | 20 |
Representação algébrica
Por exemplo, em 3 minutos:
Representação por diagrama
Representação gráfica
Os pares ordenados são (0,0), (1,5), (2,10), (3,15) e (4,20). Como estamos contando peças inteiras produzidas ao final de cada minuto, esses valores são inicialmente marcados por pontos.
Pratique
1. Um ciclista mantém velocidade constante de 12 km por hora. Escreva a função que relaciona a distância ao tempo e determine a distância percorrida em 5 horas.
2. Um estacionamento cobra uma taxa inicial de R$ 8,00, acrescida de R$ 3,00 por hora. Escreva C(t) e determine o preço de 4 horas.
3. Um diagrama apresenta −1 ↦ 1, 0 ↦ 3, 1 ↦ 5 e 2 ↦ 7. Qual expressão representa a função?
A) f(x) = x + 2 B) f(x) = 2x + 1 C) f(x) = 2x + 3 D) f(x) = 3x + 2
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1.
A cada hora, a distância aumenta 12 km:
O ciclista percorrerá 60 km.
2.
O valor 8 é fixo e 3t é a parte variável:
O preço será de R$ 20,00.
3.
Alternativa C. Verificando:
Todos os valores coincidem com o diagrama.
5. Domínio, contradomínio e imagem
Considere f: A → B.
- Domínio, D(f), é o conjunto de todos os valores de entrada.
- Contradomínio, CD(f), é o conjunto no qual estão os possíveis valores de saída.
- Imagem, Im(f), é formada pelos valores que a função realmente produz.
Exemplo 4 — Identificando os três conjuntos
Considere A = {−2, −1, 0, 1, 2}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e f(x) = x2.
Os elementos 2, 3 e 5 pertencem ao contradomínio, mas não à imagem.
6. Como determinar o domínio
O domínio pode ser informado diretamente, determinado pelo contexto ou obtido pela análise da expressão algébrica.
6.1 Domínio informado
Se A = {−3, −1, 0, 2, 5} e f: A → ℝ, então:
Exemplo 5 — Domínio determinado pelo contexto
Uma sala possui 120 lugares. Cada ingresso custa R$ 30,00 e a arrecadação é R(n) = 30n.
A quantidade de ingressos não pode ser negativa ou fracionária e não pode ultrapassar 120. Assim:
Por exemplo:
A venda de 50 ingressos arrecada R$ 1.500,00. Já R(150) não possui significado no contexto, pois existem apenas 120 lugares.
Exemplo 6 — Restrição no denominador
Considere f(x) = 3x − 2. Uma divisão por zero não é definida. Igualamos o denominador a zero:
O valor 2 precisa ser excluído:
Exemplo 7 — Restrição em uma raiz quadrada
Considere g(x) = √(x + 4). No conjunto dos números reais, o valor dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero:
O número −4 pertence ao domínio, pois g(−4) = √0 = 0. Já −5 não pertence, pois produziria √(−1).
Pratique
1. Se f(x) = x + 1, A = {0,1,2,3} e B = {0,1,2,3,4,5}, determine domínio, contradomínio e imagem.
2. Determine o domínio de f(x) = 5x + 1.
3. Determine o domínio de g(x) = √(2x − 6).
4. Um ônibus comporta 40 passageiros. Cada passageiro paga R$ 75,00 e A(n) = 75n. Determine o domínio no contexto.
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1.
D(f) = {0,1,2,3} e CD(f) = {0,1,2,3,4,5}. Calculando: f(0)=1, f(1)=2, f(2)=3 e f(3)=4. Portanto, Im(f) = {1,2,3,4}.
2.
Logo, D(f) = ℝ ∖ {−1}.
3.
Logo, D(g) = [3, +∞).
4.
A quantidade de passageiros é inteira, não negativa e não pode ultrapassar 40:
7. Gráfico de uma função
O gráfico de uma função é formado pelos pontos que representam os pares ordenados (x, f(x)). A primeira coordenada é o valor de entrada e a segunda é sua imagem.
No plano cartesiano, os valores de x ficam no eixo horizontal e os valores de f(x), também representados por y, ficam no eixo vertical.
Exemplo 8 — Construindo um gráfico
Considere f(x) = x + 1. Calculando algumas imagens:
| x | f(x) | Ponto |
|---|---|---|
| −2 | −1 | (−2,−1) |
| −1 | 0 | (−1,0) |
| 0 | 1 | (0,1) |
| 1 | 2 | (1,2) |
| 2 | 3 | (2,3) |
Como o domínio é ℝ, existem infinitos valores entre os apresentados. Por isso, os pontos são unidos por uma linha contínua.
Pontos isolados ou linha contínua?
Se a variável puder assumir todos os valores reais de um intervalo, o gráfico será contínuo. Se representar uma contagem, como quantidade de pessoas ou ingressos, o gráfico será formado por pontos isolados.
Teste da reta vertical
Um gráfico representa y como função de x quando qualquer reta vertical o encontra em, no máximo, um ponto. Se alguma reta vertical o encontrar em dois ou mais pontos, um mesmo valor de x terá mais de uma imagem.
Representa uma função
A reta vertical encontra o gráfico uma vez.
Não representa uma função
A reta vertical encontra o gráfico duas vezes.
Pratique
1. Para f(x) = 2x − 1, complete a tabela para x = −2, −1, 0, 1 e 2 e escreva os pontos do gráfico.
2. Entre os dois gráficos apresentados no teste da reta vertical, qual representa y como função de x? Justifique.
3. Uma empresa vende caixas fechadas com 12 garrafas e G(c) = 12c. O gráfico deve ser contínuo ou formado por pontos isolados?
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1.
Os pontos são (−2,−5), (−1,−3), (0,−1), (1,1) e (2,3).
2.
Somente o primeiro. Nele, cada valor de x corresponde a, no máximo, um valor de y. A circunferência não representa y como função de x porque algumas retas verticais a encontram em dois pontos.
3.
Deve ser formado por pontos isolados, pois a quantidade de caixas fechadas é um número inteiro não negativo. Valores como 1,5 caixa não pertencem ao domínio do contexto.
8. Análise e interpretação de gráficos
Interpretar um gráfico exige compreender o que os eixos representam e o que as mudanças informam sobre a situação. Devemos observar as grandezas, as unidades, a escala, o intervalo estudado, os trechos de crescimento, decrescimento ou constância e os valores máximos, mínimos e iguais a zero.
- Uma função é crescente quando f(x) aumenta à medida que x aumenta.
- É decrescente quando f(x) diminui à medida que x aumenta.
- É constante quando f(x) não se altera em determinado intervalo.
Exemplo 9 — Volume de água em um reservatório
O gráfico representa os pontos (0,200), (2,500), (4,500) e (7,100), com o tempo em horas e o volume em litros.
- De 0 a 2 horas, o volume aumentou 500 − 200 = 300 litros.
- De 2 a 4 horas, permaneceu constante em 500 litros.
- De 4 a 7 horas, diminuiu 500 − 100 = 400 litros.
O valor máximo foi 500 litros, mantido entre 2 e 4 horas. O menor valor foi 100 litros, ao final das 7 horas.
9. Interpretação de gráficos em situações reais
Em muitos problemas, as informações precisam ser retiradas diretamente do gráfico. Um trecho crescente não significa sempre aumento de preço ou velocidade: seu significado depende da grandeza indicada no eixo vertical.
Exemplo 10 — Distância de um veículo ao ponto de partida
O gráfico passa pelos pontos (0,0), (1,60), (2,60), (3,100), (4,40) e (5,0).
- De 0 a 1 hora, o veículo afastou-se 60 km.
- De 1 a 2 horas, permaneceu parado a 60 km do ponto de partida.
- De 2 a 3 horas, afastou-se mais 40 km.
- De 3 a 4 horas, retornou 60 km.
- De 4 a 5 horas, percorreu os 40 km restantes e chegou ao ponto de partida.
A distância total foi:
A maior distância indicada, 100 km, representa o maior afastamento, e não a distância total percorrida.
O domínio é [0,5], a imagem é [0,100] e os zeros ocorrem em t = 0 e t = 5.
Pratique
1. Temperatura. Leia no gráfico as temperaturas registradas ao longo do dia. Determine a maior temperatura, o horário em que ocorreu, o aumento entre 6 h e 12 h e a redução entre 12 h e 18 h.
2. Estoque. O gráfico mostra a quantidade de pães disponíveis em uma padaria. Determine a quantidade inicial, o intervalo de constância, a quantidade final e a redução total.
3. Ciclista. O gráfico mostra a distância de um ciclista até sua casa. Determine o maior afastamento, o intervalo em que ficou parado, o retorno e a distância total.
4. Venda de ingressos. Os pontos mostram o valor obtido com a venda de ingressos a R$ 25,00 cada. Determine domínio, imagem, expressão e explique por que os pontos não são unidos.
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1.
A maior temperatura foi 24 °C, às 12 h. O aumento foi 24 − 12 = 12 °C. A redução foi 24 − 14 = 10 °C.
2.
Havia inicialmente 80 pães. O estoque ficou constante entre 2 e 3 horas. Ao final, havia 10 pães. A redução total foi 80 − 10 = 70 pães.
3.
O maior afastamento foi 35 km. Ele ficou parado entre 1 e 2 horas e retornou entre 3 e 4 horas. Percorreu 35 km na ida e 35 km na volta:
4.
D = {0,1,2,3,4,5}; Im = {0,25,50,75,100,125}; V(n) = 25n. Os pontos não são unidos porque não é possível vender uma quantidade fracionária de ingressos.
10. Erros frequentes
- Confundir f(x) com multiplicação: f(x) significa a imagem de x.
- Aceitar duas imagens para o mesmo elemento: isso contraria a definição de função.
- Confundir contradomínio e imagem: a imagem contém apenas os valores efetivamente produzidos.
- Desconsiderar restrições: denominadores não podem ser zero e radicandos de raízes quadradas não podem ser negativos nos números reais.
- Unir pontos de uma situação discreta: antes de unir pontos, é preciso analisar o domínio.
- Ignorar unidades e escalas: o significado de um ponto depende das grandezas dos eixos.
- Confundir maior afastamento com distância total: a distância total exige a análise de todos os trechos.
11. Revisão e aprofundamento
Questão 1 — Reconhecendo uma função
Considere A = {−2,−1,0,1}, B = {0,1,2,3,4} e as associações −2 ↦ 4, −1 ↦ 1, 0 ↦ 0 e 1 ↦ 1. Essa relação representa uma função de A em B? Justifique.
Questão 2 — Calculando uma imagem
Considere f(x) = x2 − 3x + 2. Determine f(−2).
Questão 3 — Determinando a entrada
Considere g(x) = 4x − 7. Determine o valor de x cuja imagem é igual a 21.
Questão 4 — Domínio, contradomínio e imagem
Uma função apresenta a ↦ 2, b ↦ 2, c ↦ 4 e d ↦ 4. O conjunto de partida é A = {a,b,c,d} e o de chegada é B = {1,2,3,4,5}. Determine domínio, contradomínio e imagem.
Questão 5 — Restrição no denominador
Determine o domínio de:
Questão 6 — Restrição em uma raiz
Determine o domínio de p(x) = √(5 − x).
Questão 7 — Domínio no contexto
Um estacionamento possui 180 vagas e cobra R$ 12,00 por veículo. A arrecadação é A(n) = 12n. Determine o domínio, calcule A(135) e explique por que A(200) não possui significado nessa situação.
Questão 8 — Teste da reta vertical
Observe os gráficos. Qual representa y como função de x? Justifique.
Questão 9 — Interpretando um gráfico
O volume de um reservatório passa pelos pontos (0,100), (2,300), (4,300) e (6,180), com tempo em horas e volume em litros. Determine o volume inicial, os intervalos de crescimento, constância e decrescimento, o máximo e a variação entre o início e o final.
Questão 10 — Integrando representações
Um aplicativo cobra taxa inicial de R$ 7,00 e mais R$ 2,50 por quilômetro. O serviço atende viagens de até 20 km. Escreva C(d), calcule C(8), interprete C(0), determine o domínio e explique se o gráfico é contínuo ou discreto.
Gabarito
Questão 1
Sim. Todos os elementos de A possuem exatamente uma imagem. O fato de −1 e 1 terem a mesma imagem é permitido, pois cada elemento do domínio continua associado a somente um valor.
Questão 2
Substituímos x por −2:
Logo, a imagem de −2 é 12.
Questão 3
Como a imagem deve ser 21:
Somamos 7 aos dois membros:
Dividimos por 4:
Verificando: g(7) = 4 · 7 − 7 = 21.
Questão 4
Os elementos 1, 3 e 5 estão no contradomínio, mas não recebem associações.
Questão 5
O denominador não pode ser zero:
Portanto, D(h) = ℝ ∖ {3}.
Questão 6
O radicando deve ser maior ou igual a zero:
Ao multiplicar uma desigualdade por −1, invertemos seu sentido:
Logo, D(p) = (−∞,5].
Questão 7
A quantidade de veículos é inteira, não negativa e limitada a 180:
Para 135 veículos:
A arrecadação será de R$ 1.620,00. A(200) não possui significado porque há somente 180 vagas.
Questão 8
O gráfico I representa uma função, pois cada reta vertical o encontra em, no máximo, um ponto. O gráfico II não representa y como função de x, pois algumas retas verticais o encontram em dois pontos.
Questão 9
O volume inicial era 100 litros. De 0 a 2 horas, aumentou; de 2 a 4 horas, permaneceu constante; de 4 a 6 horas, diminuiu. O máximo foi 300 litros. A variação entre o início e o final foi:
Portanto, o volume final é 80 litros maior que o inicial. Essa variação não descreve todas as mudanças intermediárias.
Questão 10
A taxa fixa é 7 e a parte variável é 2,50d:
A viagem de 8 km custa R$ 27,00. C(0) = 7 representa a taxa inicial. Como a distância pode assumir valores decimais entre 0 e 20, o domínio é [0,20] e o gráfico é contínuo.