Função afim e taxa de variação
Em muitas situações, uma grandeza apresenta uma variação constante em relação a outra. O preço de uma corrida pode aumentar sempre o mesmo valor por quilômetro percorrido; o volume de um reservatório pode diminuir a mesma quantidade a cada minuto; e o salário de um vendedor pode ser formado por uma parte fixa e outra proporcional às vendas.
A função afim permite representar essas relações por meio de uma expressão algébrica, de uma tabela ou de uma reta no plano cartesiano. Neste estudo, analisaremos seus coeficientes, seu gráfico, sua taxa de variação e suas aplicações em diferentes problemas.
EM13MAT302 — construir modelos empregando as funções polinomiais de 1º ou 2º graus para resolver problemas em contextos diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
EM13MAT401 — converter representações algébricas de funções polinomiais de 1º grau em representações geométricas no plano cartesiano, distinguindo os casos nos quais o comportamento é proporcional, recorrendo ou não a softwares ou aplicativos de álgebra e geometria dinâmica.
EM13MAT501 — investigar relações entre números expressos em tabelas para representá-los no plano cartesiano, identificando padrões e criando conjecturas para generalizar e expressar algebricamente essa generalização, reconhecendo quando essa representação é de função polinomial de 1º grau.
1. O que é uma função afim?
Uma função afim é uma função que pode ser escrita na forma:
Os números a e b são reais. A variável x representa o valor de entrada, enquanto f(x) representa o valor de saída.
- Se a ≠ 0, o gráfico é uma reta inclinada.
- Se a = 0, temos f(x) = b, uma função constante.
- Se b = 0, temos f(x) = ax, chamada função linear.
- Se a = 1 e b = 0, temos f(x) = x, chamada função identidade.
Uma corrida custa R 6,00 de taxa inicial e R 2,50 por quilômetro percorrido. Se x é a distância, em quilômetros, o preço é:
Para uma viagem de 8 km:
C(8) = 20 + 6
C(8) = 26
A corrida custará R 26,00.
2. Os coeficientes da função
Na expressão f(x) = ax + b, cada coeficiente possui uma função específica.
| Coeficiente | Nome | Interpretação |
|---|---|---|
| a | coeficiente angular | indica quanto f(x) varia quando x aumenta uma unidade |
| b | coeficiente linear | indica o valor de f(0), isto é, onde a reta encontra o eixo vertical |
Uma fábrica já possui 120 peças em estoque e produz 35 peças por hora. A quantidade total após t horas é:
- a = 35: a quantidade aumenta 35 peças por hora;
- b = 120: no instante inicial, já havia 120 peças.
Após 6 horas:
P(6) = 210 + 120
P(6) = 330
Na função f(x) = −4x + 9, temos:
O sinal negativo de a indica que o valor da função diminui 4 unidades sempre que x aumenta uma unidade. Além disso, f(0) = 9.
Pratique
1. Identifique os coeficientes a e b da função f(x) = 7x − 3.
2. Uma empresa cobra R 18,00 de taxa fixa e R 4,00 por quilômetro de entrega. Escreva a função do custo C(x) e calcule o valor de uma entrega de 12 km.
3. Na função Q(t) = 500 − 20t, explique o significado dos números 500 e −20 quando Q representa a quantidade de litros de água em um reservatório após t minutos.
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1.
Comparando f(x) = 7x − 3 com f(x) = ax + b, obtemos a = 7 e b = −3.
2.
C(12) = 4 · 12 + 18
C(12) = 48 + 18 = 66
A entrega custará R 66,00.
3.
O número 500 é o volume inicial do reservatório. O número −20 indica uma redução de 20 litros por minuto.
3. Tabela e gráfico da função afim
O gráfico de uma função afim é uma reta. Para construí-lo, podemos escolher valores de x, calcular as imagens correspondentes e marcar os pares ordenados (x, f(x)). Dois pontos distintos já determinam uma reta, mas uma tabela com mais valores ajuda a conferir o padrão.
| x | f(x) = 2x + 1 | Ponto |
|---|---|---|
| −2 | −3 | (−2,−3) |
| −1 | −1 | (−1,−1) |
| 0 | 1 | (0,1) |
| 1 | 3 | (1,3) |
| 2 | 5 | (2,5) |
Os pontos pertencem à mesma reta. O gráfico cruza o eixo vertical no ponto (0,1), pois b = 1.
4. Interseções com os eixos e zero da função
O gráfico de f(x) = ax + b encontra o eixo vertical quando x = 0. Portanto, o ponto de interseção com esse eixo é sempre:
O ponto em que a reta encontra o eixo horizontal é chamado zero da função. Nesse ponto, f(x) = 0. Se a ≠ 0:
ax = −b
x = −ba
Considere f(x) = −2x + 8.
−2x = −8
x = 4
A reta cruza o eixo horizontal em (4,0) e o eixo vertical em (0,8).
Pratique
1. Construa uma tabela para f(x) = −x + 3 usando x = −1, 0, 1, 2 e 3.
2. Determine os pontos em que o gráfico de g(x) = 3x − 6 encontra os eixos horizontal e vertical.
3. Uma reta passa pelos pontos (0,−2) e (1,3). Qual é o coeficiente linear? Qual é a variação de y quando x aumenta uma unidade?
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1.
| x | f(x) |
|---|---|
| −1 | 4 |
| 0 | 3 |
| 1 | 2 |
| 2 | 1 |
| 3 | 0 |
2.
No eixo vertical, x = 0, então g(0) = −6. O ponto é (0,−6). Para encontrar o zero:
3x = 6
x = 2
O ponto no eixo horizontal é (2,0).
3.
O coeficiente linear é b = −2, pois a reta passa por (0,−2). Quando x passa de 0 para 1, y passa de −2 para 3, aumentando 5 unidades.
5. Taxa de variação
A taxa de variação indica quanto o valor da função muda quando a variável independente aumenta. Entre dois pontos (x1,y1) e (x2,y2), com x1 ≠ x2, calculamos:
Em uma função afim, essa taxa é constante e igual ao coeficiente angular a.
| Tempo x (h) | Distância d(x) (km) |
|---|---|
| 1 | 70 |
| 3 | 190 |
| 5 | 310 |
Usando os dois primeiros pontos:
a = 1202 = 60
A distância aumenta 60 km a cada hora. Para encontrar b, usamos o ponto (1,70):
b = 10
6. Crescimento, decrescimento e constância
O sinal do coeficiente angular determina o comportamento da função afim.
- Se a > 0, a função é crescente.
- Se a < 0, a função é decrescente.
- Se a = 0, a função é constante.
| Função | Coeficiente a | Comportamento |
|---|---|---|
| f(x) = 4x − 7 | 4 | crescente |
| g(x) = −2x + 5 | −2 | decrescente |
| h(x) = 9 | 0 | constante |
Pratique
1. Calcule a taxa de variação entre os pontos (2,7) e (6,19).
2. Classifique as funções como crescente, decrescente ou constante: f(x) = 0,5x + 2; g(x) = 8 − 3x; h(x) = −4.
3. Uma temperatura é dada por T(t) = 24 − 1,5t, com t em horas. Qual é a taxa de variação e o que ela significa?
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1.
A taxa de variação é 3.
2.
f é crescente, pois a = 0,5 > 0. A função g é decrescente, pois a = −3 < 0. A função h é constante, pois pode ser escrita como h(x) = 0x − 4.
3.
A taxa é −1,5 °C por hora. Isso significa que a temperatura diminui 1,5 °C a cada hora.
7. Determinando a função a partir de dois pontos
Quando conhecemos dois pontos distintos de uma reta, podemos determinar sua função. Primeiro calculamos a taxa de variação a. Depois substituímos um dos pontos em y = ax + b para encontrar b.
Determine a função afim cujo gráfico passa por (2,7) e (5,16).
Agora usamos o ponto (2,7):
7 = 6 + b
b = 1
Verificação com o outro ponto: f(5) = 3 · 5 + 1 = 16.
| x | f(x) |
|---|---|
| 0 | 12 |
| 2 | 20 |
| 4 | 28 |
Quando x aumenta 2 unidades, f(x) aumenta 8. Portanto:
Como f(0) = 12, temos b = 12. Logo:
8. Aplicações da função afim
Ao construir um modelo por função afim, é importante identificar o valor inicial, a taxa de variação, as unidades e as restrições do contexto.
Um vendedor recebe R 1.800,00 fixos e uma comissão de 4% sobre o valor x das vendas.
Se ele vender R 25.000,00:
S(25 000) = 1 800 + 1 000
S(25 000) = 2 800
Seu salário será de R 2.800,00.
Um reservatório contém 900 litros e perde 30 litros por minuto.
Para descobrir quando ficará vazio:
30t = 900
t = 30
O reservatório ficará vazio após 30 minutos. No contexto, o domínio é 0 ≤ t ≤ 30.
A relação entre a temperatura C, em graus Celsius, e F, em graus Fahrenheit, é afim:
O coeficiente 1,8 é a taxa de variação, enquanto 32 é o valor de F quando C = 0.
Pratique
1. Determine a função que passa pelos pontos (1,4) e (5,12).
2. Uma gráfica cobra R 35,00 pela preparação do material e R 0,80 por página impressa. Escreva a função do custo e calcule o preço de 150 páginas.
3. Um tanque contém 1.200 litros e recebe 45 litros por minuto. Determine a função do volume e o tempo necessário para atingir 3.000 litros.
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1.
4 = 2 · 1 + b
b = 2
Logo, f(x) = 2x + 2.
2.
C(150) = 0,80 · 150 + 35
C(150) = 120 + 35 = 155
O preço será de R 155,00.
3.
1 800 = 45t
t = 40
Serão necessários 40 minutos.
9. Comparação entre duas funções afins
Quando duas situações são representadas por funções afins, o ponto de encontro dos gráficos indica um valor para o qual os resultados são iguais. Algebricamente, basta igualar as duas expressões.
Uma empresa oferece dois planos de entrega:
- Plano A: A(x) = 30 + 2x;
- Plano B: B(x) = 10 + 3x.
Para encontrar a distância em que os preços são iguais:
30 − 10 = 3x − 2x
x = 20
Para 20 km, ambos custam:
B(20) = 10 + 3 · 20 = 70
O ponto de encontro é (20,70).
Antes de 20 km, o Plano B é mais barato. Depois de 20 km, o Plano A passa a ser mais vantajoso, pois sua taxa de crescimento é menor.
Pratique
1. Compare os serviços A(x) = 25 + 4x e B(x) = 55 + 2x. Para qual valor de x os preços são iguais?
2. Duas caixas-d'água contêm A(t) = 800 − 20t e B(t) = 500 + 10t litros. Em qual instante terão o mesmo volume?
3. As funções R(x) = 12x e C(x) = 300 + 7x representam, respectivamente, receita e custo. A partir de quantas unidades a receita será maior que o custo?
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1.
2x = 30
x = 15
Os preços são iguais para x = 15.
2.
300 = 30t
t = 10
As caixas terão o mesmo volume após 10 minutos.
3.
5x > 300
x > 60
A receita será maior que o custo a partir de 61 unidades inteiras. Em 60 unidades, receita e custo são iguais.
10. Erros frequentes
- Trocar os coeficientes: em f(x) = ax + b, o número que multiplica x é a; o termo sem x é b.
- Confundir b com o zero da função: b determina f(0), enquanto o zero é o valor de x para o qual f(x) = 0.
- Analisar o crescimento pelo valor de b: crescimento e decrescimento dependem do sinal de a.
- Calcular a taxa invertendo apenas uma diferença: a ordem das subtrações no numerador e no denominador deve ser a mesma.
- Ignorar as unidades: uma taxa precisa ser interpretada com suas unidades, como reais por quilômetro ou litros por minuto.
- Esquecer o valor inicial: em problemas com taxa fixa, o modelo não é apenas ax; deve incluir o termo b.
- Desconsiderar o domínio do contexto: tempo, quantidade de produtos e distância podem possuir restrições.
11. Revisão e aprofundamento
Na função f(x) = −3x + 8, os coeficientes a e b são, respectivamente:
Um táxi cobra R 6,00 de bandeirada e R 2,40 por quilômetro. Qual é o preço de uma corrida de 10 km?
O gráfico de uma função afim cruza o eixo vertical no ponto (0,−5) e possui taxa de variação 2. Qual é sua expressão?
Qual é o zero da função f(x) = 4x − 20?
A tabela apresenta valores de uma função afim.
| x | f(x) |
|---|---|
| 0 | 7 |
| 2 | 13 |
| 5 | 22 |
Qual é a taxa de variação?
Sobre a função g(x) = −0,5x + 9, é correto afirmar que:
Qual função afim passa pelos pontos (1,5) e (4,14)?
Os planos A(x) = 20 + 3x e B(x) = 8 + 4x possuem o mesmo preço quando x é igual a:
Qual das funções representa uma relação de proporcionalidade direta?
Um reservatório contém 500 litros e perde 20 litros por minuto. Depois de quanto tempo estará vazio?