Grandezas compostas: velocidade, densidade e outras taxas
Em muitas situações, uma única medida não é suficiente para descrever um fenômeno. Para analisar o movimento de um veículo, por exemplo, relacionamos a distância percorrida ao tempo. Para caracterizar um material, relacionamos sua massa ao volume ocupado.
Essas relações originam as grandezas compostas. Neste estudo, aprenderemos a interpretar suas unidades, realizar conversões e resolver problemas envolvendo velocidade, densidade, vazão, consumo, produtividade e outras taxas.
EM13MAT314 — resolver e elaborar problemas que envolvem grandezas determinadas pela razão ou pelo produto de outras, como velocidade, densidade demográfica, energia elétrica e outras.
1. Grandezas simples e grandezas compostas
Uma grandeza simples pode ser expressa diretamente por uma medida, como 12 km, 5 kg ou 3 h. Uma grandeza composta é formada pela relação entre duas ou mais grandezas.
| Grandeza composta | Relação | Exemplo de unidade |
|---|---|---|
| Velocidade | distância por tempo | km/h |
| Densidade | massa por volume | g/cm³ |
| Densidade demográfica | população por área | hab./km² |
| Vazão | volume por tempo | L/min |
| Rendimento de combustível | distância por volume | km/L |
A barra presente nessas unidades pode ser lida como “por”. Assim, 60 km/h significa 60 quilômetros por hora.
Um veículo percorre 120 km em 2 h. A distância e o tempo são grandezas simples. A relação entre elas produz a velocidade média:
Isso significa que o veículo percorreu, em média, 60 km a cada hora.
Pratique
1. Classifique como simples ou composta: massa, tempo, distância, velocidade e vazão.
2. Explique o significado de 15 km/L e 80 hab./km².
3. Um ciclista percorreu a distância indicada no tempo mostrado. Calcule sua velocidade média.
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1. Simples: massa, tempo e distância. Compostas: velocidade e vazão.
2. 15 km/L significa 15 quilômetros percorridos por litro de combustível. 80 hab./km² significa, em média, 80 habitantes por quilômetro quadrado.
3.
A velocidade média foi de 18 km/h.
2. Relações por razão e por produto
Quando dividimos duas grandezas, obtemos uma taxa. Em uma vazão, por exemplo, dividimos o volume pelo tempo.
Quando conhecemos a taxa e o valor de referência, recuperamos a quantidade por meio de uma multiplicação.
Uma torneira libera 18 L em 3 min. Sua vazão é:
Se ela permanecer aberta durante 5 min, mantendo a mesma vazão:
Serão liberados 30 L.
Pratique
1. Para calcular quilômetros por litro, deve-se dividir a distância pelo combustível ou multiplicar essas medidas?
2. Uma máquina produz 420 peças em 6 h. Qual é sua produtividade média?
3. Observe a taxa e o tempo de funcionamento. Determine o volume total.
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1. Divide-se a distância pelo volume de combustível.
2.
3.
O volume total é 120 L.
3. Velocidade média
A velocidade média relaciona a distância total percorrida ao tempo total gasto no percurso.
Nessa relação, Δs representa a distância percorrida e Δt, o intervalo de tempo. A velocidade média não indica que o móvel permaneceu com a mesma velocidade em todos os instantes.
Um automóvel saiu às 8h e chegou às 11h, depois de percorrer 240 km.
vm = 240 ÷ 3 = 80 km/h
A velocidade média foi de 80 km/h.
Quando o tempo contém horas e minutos, devemos expressá-lo em uma única unidade. Por exemplo, 2 h 30 min = 2,5 h.
Pratique
1. Um ônibus percorreu 300 km em 5 h. Determine sua velocidade média.
2. Calcule a velocidade média indicada no percurso.
3. Um motociclista percorreu 150 km em 2 h 30 min. Qual foi sua velocidade média?
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1.
2. O intervalo é de 3 h.
3. 2 h 30 min = 2,5 h.
4. Conversão entre km/h e m/s
Para converter velocidades, utilizamos:
1 h = 3 600 s
Assim:
m/s → km/h: multiplicar por 3,6
72 km/h = 20 m/s.
15 m/s = 54 km/h.
Pratique
1. Converta 90 km/h para m/s.
2. Converta 25 m/s para km/h.
3. Qual é maior: 108 km/h ou 25 m/s?
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1.
2.
3. Convertendo 25 m/s:
Logo, 108 km/h é maior.
5. Problemas envolvendo velocidade
A relação entre velocidade, distância e tempo pode ser escrita de três formas:
d = v · t
t = d ÷ v
Antes de calcular, verifique se as unidades são compatíveis.
Um automóvel mantém velocidade média de 90 km/h durante 2 h 30 min. Como 2 h 30 min = 2,5 h:
Um veículo percorre 100 km em 2 h e depois 120 km em 3 h. A velocidade média total não é obtida pela média simples das velocidades das etapas.
ttotal = 2 + 3 = 5 h
vm = 220 ÷ 5 = 44 km/h
Pratique
1. Um trem viaja a 80 km/h durante 3,5 h. Qual distância percorre?
2. Um ciclista percorre 36 km com velocidade média de 12 km/h. Quanto tempo dura o percurso?
3. Calcule a velocidade média de todo o percurso.
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1.
2.
3.
ttotal = 1 + 3 = 4 h
vm = 240 ÷ 4 = 60 km/h
6. Densidade de um material
A densidade indica quanta massa existe em determinado volume de um material.
As unidades mais comuns são g/cm³ e kg/m³. Uma densidade de 2,7 g/cm³ significa que cada centímetro cúbico do material possui massa de 2,7 g.
Um objeto tem massa de 540 g e volume de 200 cm³.
Para a mesma massa, o material que ocupa menor volume apresenta maior densidade.
Pratique
1. Calcule a densidade do objeto representado.
2. Um material possui massa de 1 560 g e volume de 200 cm³. Determine sua densidade.
3. Os blocos têm a mesma massa. Qual deles apresenta maior densidade?
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1.
2.
3. O primeiro bloco.
600 ÷ 300 = 2 g/cm³
7. Problemas envolvendo massa, volume e densidade
A partir da definição de densidade, podemos determinar qualquer uma das três grandezas:
m = ρ · V
V = m ÷ ρ
Um líquido possui densidade de 1,2 g/cm³ e ocupa 250 cm³.
A massa do líquido é 300 g.
Um objeto de 780 g possui densidade de 7,8 g/cm³.
Conversão entre g/cm³ e kg/m³
Como 1 kg = 1 000 g e 1 m³ = 1 000 000 cm³:
De g/cm³ para kg/m³, multiplicamos por 1 000. No sentido contrário, dividimos por 1 000.
Pratique
1. Um líquido tem densidade de 0,8 g/cm³ e volume de 500 cm³. Determine sua massa.
2. Um objeto tem massa de 900 g e densidade de 3 g/cm³. Determine seu volume.
3. Observe os dados do recipiente. Calcule a massa e converta a densidade para kg/m³.
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1.
2.
3.
1,5 · 1 000 = 1 500 kg/m³
8. Densidade demográfica
A densidade demográfica relaciona o número de habitantes de uma região à sua área territorial.
Nessa expressão, P representa a população e A, a área. A unidade mais utilizada é habitante por quilômetro quadrado (hab./km²).
O município A possui 120 000 habitantes em 200 km². O município B possui 180 000 habitantes em 600 km².
Município B: 180 000 ÷ 600 = 300 hab./km²
Embora B tenha maior população, A possui maior densidade demográfica.
Uma densidade de 600 hab./km² representa uma média. Isso não significa que os habitantes estejam distribuídos uniformemente pelo território.
Pratique
1. Uma cidade possui 250 000 habitantes e área de 500 km². Calcule sua densidade demográfica.
2. Uma região de 300 km² apresenta densidade de 80 hab./km². Qual é sua população?
3. Calcule as densidades e identifique a região mais densamente povoada.
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1.
2.
3.
B: 160 000 ÷ 400 = 400 hab./km²
A região A é mais densamente povoada.
9. Vazão
A vazão relaciona o volume de um líquido ao tempo de escoamento.
V = Q · t
t = V ÷ Q
As unidades mais utilizadas são L/min, L/s, m³/h e m³/s. Uma vazão de 8 L/min significa que escoam 8 litros a cada minuto.
Uma torneira despeja 120 L em 15 min.
Se a torneira permanecer aberta por 25 min:
Pratique
1. Uma bomba transfere 900 L em 30 min. Qual é sua vazão?
2. Uma torneira de vazão 12 L/min permanece aberta por 2 h. Qual volume é despejado?
3. Leia o volume e o tempo indicados e calcule a vazão.
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1.
2. Primeiro, 2 h = 120 min.
3.
10. Outras taxas: consumo, produtividade e custo por unidade
Rendimento de combustível
O rendimento em km/L relaciona a distância percorrida ao volume de combustível consumido.
Um automóvel percorreu 480 km consumindo 40 L.
Para percorrer 300 km com o mesmo rendimento:
Produtividade
A produtividade relaciona a quantidade produzida ao tempo empregado.
Custo por unidade
O custo unitário é calculado dividindo o custo total pela quantidade.
Para comparar taxas, elas precisam estar expressas na mesma unidade.
Pratique
1. Observe o painel. Calcule o rendimento do automóvel e o combustível necessário para percorrer 270 km nas mesmas condições.
2. Compare as produtividades das máquinas.
3. Uma caixa com 18 unidades custa R$ 63,00. Qual é o custo unitário e quanto custariam 30 unidades pelo mesmo preço?
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1.
C = 270 ÷ 12 = 22,5 L
2.
B: 210 ÷ 3 = 70 peças/h
A máquina B possui maior produtividade.
3.
3,50 · 30 = R$ 105,00
11. Problemas integrando grandezas compostas
Em problemas integradores, identifique o que é solicitado, organize os dados, compatibilize as unidades, escolha as relações adequadas e interprete cada resultado.
Um automóvel percorre 360 km com velocidade média de 90 km/h e rendimento de 12 km/L.
Combustível: 360 ÷ 12 = 30 L
A viagem dura 4 h e consome 30 L.
Uma fábrica produz 150 embalagens por hora. Cada embalagem contém 400 g, e o produto custa R$ 8,00 por quilograma. Em 6 h:
Massa: 900 · 400 = 360 000 g = 360 kg
Custo: 360 · 8 = R$ 2.880,00
Pratique
1. Calcule a duração da viagem e o combustível consumido.
2. Um reservatório de 3 600 L será preenchido por uma bomba de vazão 30 L/min. Determine o tempo em minutos e em horas.
3. Uma fábrica produz 240 embalagens por hora durante 5 h. Cada embalagem contém 250 g, e o produto custa R$ 6,00 por quilograma. Determine a quantidade de embalagens, a massa total em quilogramas e o custo.
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1.
C = 420 ÷ 14 = 30 L
2.
120 ÷ 60 = 2 h
3.
1 200 · 250 = 300 000 g = 300 kg
300 · 6 = R$ 1.800,00
12. Revisão e aprofundamento
Resolva as questões e, depois, consulte o gabarito detalhado.
Observe a situação. Qual grandeza composta está representada e qual é seu valor?
Uma máquina produz 480 peças em 6 h. Mantendo a produtividade, quantas peças produzirá em 9 h?
Determine a velocidade média no percurso representado.
A velocidade de 20 m/s corresponde a:
Calcule a densidade do objeto representado.
Um líquido possui densidade de 1,2 g/cm³ e volume de 400 cm³. Sua massa e sua densidade em kg/m³ são, respectivamente:
Qual município apresenta maior densidade demográfica?
Uma bomba de vazão 25 L/min deve preencher um reservatório de 3 000 L. O tempo necessário será:
Calcule o rendimento do automóvel.
Uma fábrica produz 180 frascos por hora durante 5 h. Cada frasco contém 300 g de um produto que custa R$ 4,00 por quilograma. Qual é o custo total do produto utilizado?