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Circunferência, círculo, ângulos e relações métricas

Rodas, engrenagens, pistas circulares, mostradores, rotatórias e peças mecânicas apresentam formas relacionadas à circunferência. Para analisar essas situações, precisamos distinguir contorno e superfície, compreender os ângulos associados aos arcos e relacionar segmentos formados por cordas, secantes e tangentes.

Nesta postagem, estudaremos os elementos da circunferência e do círculo, comprimento, área, arcos, setores, ângulos centrais e inscritos e as principais relações métricas. Os problemas exigirão interpretação da configuração antes da escolha da fórmula.

Conhecimentos de base

Os conteúdos 8.8, 8.9 e 8.10 constituem uma base de revisão para o estudo da Geometria Plana. Eles retomam proporcionalidade, ângulos, Teorema de Pitágoras, produtos e resolução de equações.

Para acompanhar o conteúdo, é importante saber:

• resolver proporções e equações;
• trabalhar com potências e raízes quadradas;
• distinguir comprimento de área;
• identificar ângulos e arcos correspondentes;
• interpretar figuras sem depender apenas de sua aparência.

1. Circunferência e círculo

A circunferência é o conjunto dos pontos de um plano que estão à mesma distância de um ponto fixo chamado centro. Essa distância é o raio.

O círculo é formado pela circunferência e por todos os pontos de sua região interna. Portanto, circunferência é contorno; círculo é superfície.

O diâmetro passa pelo centro; a corda une dois pontos da circunferência; a secante corta a circunferência em dois pontos; a tangente possui um único ponto em comum.

Elementos principais

Elemento	Descrição
Raio	Segmento que liga o centro a um ponto da circunferência.
Diâmetro	Corda que passa pelo centro. Sua medida é d=2r.
Corda	Segmento cujas extremidades pertencem à circunferência.
Arco	Parte da circunferência compreendida entre dois pontos.
Secante	Reta que intercepta a circunferência em dois pontos.
Tangente	Reta que possui um único ponto em comum com a circunferência.

Propriedade importante: o raio traçado até o ponto de tangência é perpendicular à reta tangente.

2. Comprimento da circunferência e área do círculo

A razão entre o comprimento de qualquer circunferência e seu diâmetro é o número π, aproximadamente 3,1416.

C=2πr=πd

A área do círculo é:

A=πr²

Exemplo 1 — Roda de bicicleta

Uma roda tem raio de 35 cm. Em uma volta completa, um ponto da borda percorre:

C=2π·35=70π cm≈219,91 cm

Exemplo 2 — Jardim circular

Um jardim circular possui diâmetro de 12 m, logo r=6 m.

comprimento da borda=2π·6=12π≈37,70 m

área=π·6²=36π≈113,10 m²

As duas respostas usam unidades diferentes porque representam grandezas diferentes.

3. Arcos, setores e proporcionalidade

Uma volta completa corresponde a 360°. Se um arco está associado a um ângulo central de medida α, seu comprimento representa a fração α/360 do comprimento total.

L=α360°·2πr

O setor circular ocupa a mesma fração da área do círculo:

A_setor=α360°·πr²

Exemplo 3 — Trecho de pista circular

Uma pista circular tem raio de 60 m. Um atleta percorre um arco correspondente a 150°.

L=150/360·2π·60=5/12·120π=50π≈157,08 m

Exemplo 4 — Setor de irrigação

Um irrigador alcança 10 m e gira 72°.

A=72/360·π·10²=1/5·100π=20π≈62,83 m²

Pratique 1

Questão 1 Uma roda de bicicleta possui diâmetro de 70 cm. Em um percurso de 1,099 km, aproximadamente quantas voltas completas ela realiza? Use π≈3,14 e apresente o raciocínio com as unidades compatíveis.

Questão 2 Uma praça circular de raio 14 m receberá cerca em todo o contorno, exceto em duas entradas de 3 m cada. Determine a quantidade de cerca usando π≈22/7. Depois, calcule a área da praça.

Questão 3 Um aspersor alcança 12 m, mas está programado para irrigar apenas um setor de 135°. Determine a área irrigada e o comprimento do arco que limita externamente o setor.

Questão 4 Um aluno recebeu o diâmetro de 18 cm e calculou a área usando A=π·18². Analise o erro e determine a área correta.

Ver respostas

Questão 1

O comprimento da roda é:

C=πd≈3,14·70=219,8 cm=2,198 m

O percurso é 1,099 km=1.099 m:

n=1.099/2,198=500 voltas

Questão 2

C=2·22/7·14=88 m
cerca=88−6=82 m

A=22/7·14²=22/7·196=616 m²

Questão 3

A=135/360·π·12²=3/8·144π=54π m²

L=135/360·2π·12=3/8·24π=9π m

Questão 4

O valor 18 cm é o diâmetro. O raio mede 9 cm:

A=π·9²=81π cm²

O procedimento do aluno produziu uma área quatro vezes maior.

4. Ângulo central e ângulo inscrito

O ângulo central possui vértice no centro da circunferência. Sua medida é igual à medida do arco correspondente.

O ângulo inscrito possui vértice sobre a circunferência. Sua medida é a metade da medida do arco interceptado.

ângulo central=arco

ângulo inscrito=arco2

O ângulo central AOB e o ângulo inscrito ACB interceptam o mesmo arco AB; por isso, o inscrito mede a metade do central.

Exemplo 5 — Arco determinado por um ângulo inscrito

Um ângulo inscrito mede 38°. O arco interceptado mede:

arco=2·38°=76°

Exemplo 6 — Ângulo inscrito em uma semicircunferência

Se os lados de um ângulo inscrito passam pelas extremidades de um diâmetro, o arco interceptado mede 180°:

ângulo=180°/2=90°

Esse resultado também é conhecido como Teorema de Tales da circunferência.

5. Ângulo formado por tangente e corda

O ângulo que possui vértice no ponto de tangência e lados sobre a tangente e uma corda mede a metade do arco interceptado.

ângulo=arco interceptado2

O raio OT é perpendicular à tangente. O ângulo θ mede a metade do arco TA que está em seu interior.

Exemplo 7 — Direção tangente

Uma corda e uma tangente formam um ângulo de 54°. O arco interceptado mede:

arco=2·54°=108°

6. Ângulos com vértice no interior ou no exterior

Vértice no interior

Quando duas cordas se cruzam dentro da circunferência, a medida do ângulo é a metade da soma dos arcos interceptados pelo ângulo e por seu oposto pelo vértice.

ângulo=arco 1+arco 22

Vértice no exterior

Quando o vértice está fora da circunferência e os lados são secantes ou tangentes, a medida do ângulo é a metade da diferença entre o arco maior e o arco menor.

ângulo=arco maior−arco menor2

Exemplo 8 — Duas cordas no interior

Dois arcos associados a um ângulo interior e ao seu oposto medem 126° e 74°.

ângulo=(126°+74°)/2=200°/2=100°

Exemplo 9 — Duas secantes no exterior

As duas secantes determinam arcos de 170° e 62°.

ângulo=(170°−62°)/2=108°/2=54°

Pratique 2

Questão 1 Em uma câmera circular, um ponto C da borda está ligado aos pontos A e B. O ângulo ACB mede 47°. Determine o arco AB que não contém C e o ângulo central AOB correspondente.

Questão 2 Uma peça semicircular possui AB como diâmetro e um ponto C na borda. Explique, sem medir diretamente, por que o ângulo ACB deve ser reto. Se AC=12 cm e BC=16 cm, determine o diâmetro da peça.

Questão 3 Duas cordas de uma circunferência se cruzam internamente. Os arcos associados ao ângulo procurado medem 98° e 46°. Determine esse ângulo e o seu oposto pelo vértice.

Questão 4 De um ponto externo partem duas secantes que formam um ângulo de 35°. O arco maior determinado por elas mede 146°. Determine a medida do arco menor.

Ver respostas

Questão 1

O ângulo inscrito mede a metade do arco:

arco AB=2·47°=94°

O ângulo central correspondente possui a mesma medida do arco, portanto mede 94°.

Questão 2

O ângulo inscrito intercepta uma semicircunferência de 180°, então mede 90°. Assim, ABC é retângulo e AB é a hipotenusa:

AB²=12²+16²=144+256=400
AB=20 cm

Questão 3

ângulo=(98°+46°)/2=144°/2=72°

O oposto pelo vértice também mede 72°.

Questão 4

35°=(146°−x)/2
70°=146°−x
x=76°

7. Potência de um ponto e relações métricas

As relações métricas da circunferência podem ser compreendidas por uma mesma ideia: para um ponto P, certos produtos de segmentos permanecem iguais. Essa quantidade é chamada de potência do ponto.

Cordas que se cruzam no interior

Se duas cordas AB e CD se cruzam em P dentro da circunferência:

PA·PB=PC·PD

O produto dos dois segmentos de uma corda é igual ao produto dos dois segmentos da outra.

Exemplo 10 — Cordas internas

Uma corda é dividida em segmentos de 6 cm e 8 cm. A outra é dividida em 4 cm e x.

6·8=4·x
48=4x
x=12 cm

Duas secantes a partir de um ponto externo

Em cada secante, multiplicamos a parte externa pelo comprimento total da secante:

PA·PB=PC·PD

Nessa escrita, A e C são os primeiros pontos encontrados e B e D são os pontos mais distantes.

Exemplo 11 — Duas secantes externas

Em uma secante, a parte externa mede 5 cm e a parte interna mede 7 cm; o comprimento total é 12 cm. Na outra, a parte externa mede 4 cm e a parte interna mede x; o total é 4+x.

5·12=4(4+x)
60=16+4x
44=4x
x=11 cm

Tangente e secante

Se PT é tangente e PAB é secante:

PT²=PA·PB

Exemplo 12 — Segmento tangente

De um ponto externo, uma tangente possui comprimento x. Uma secante tem parte externa de 4 cm e comprimento total de 9 cm.

x²=4·9=36
x=6 cm

A potência do ponto P pode ser calculada por PT² ou pelo produto PA·PB.

Duas tangentes a partir do mesmo ponto

Os segmentos tangentes traçados de um mesmo ponto externo têm comprimentos iguais.

PT₁=PT₂

Exemplo 13 — Cabos tangentes

Do ponto P partem dois cabos tangentes a uma estrutura circular, tocando-a em T e S. Se PT=7,5 m, então PS=7,5 m.

Pratique 3

Questão 1 Duas hastes em forma de cordas se cruzam dentro de um aro. Uma delas é dividida em segmentos de 6 cm e 10 cm. A outra possui um segmento de 8 cm. Determine o segmento restante e verifique os produtos.

Questão 2 De um ponto externo partem duas secantes. Na primeira, a parte externa mede 3 m e o comprimento total mede 15 m. Na segunda, a parte externa mede 5 m. Determine a parte interna da segunda secante.

Questão 3 De um ponto P parte uma secante cuja parte externa mede 6 cm e cujo comprimento total mede 24 cm. Do mesmo ponto parte uma tangente. Determine seu comprimento.

Questão 4 Um estudante, ao usar duas secantes externas, multiplicou a parte externa pela parte interna em cada secante. Explique o erro. Em uma secante com parte externa 4 cm e parte interna 5 cm, qual produto deve ser usado?

Ver respostas

Questão 1

6·10=8·x
60=8x
x=7,5 cm

Verificação: 6·10=60 e 8·7,5=60.

Questão 2

Se a parte interna é x, o total da segunda secante é 5+x:

3·15=5(5+x)
45=25+5x
x=4 m

Questão 3

PT²=6·24=144
PT=12 cm

Questão 4

Em uma secante externa, multiplicamos a parte externa pelo comprimento total, não pela parte interna. O total é 4+5=9 cm:

produto=4·9=36 cm²

8. Aplicações combinadas

Alguns problemas exigem combinar propriedades da circunferência com Pitágoras, proporcionalidade ou cálculo de áreas.

Exemplo 14 — Distância do centro a uma corda

Uma circunferência de raio 13 cm possui uma corda de 24 cm. A perpendicular traçada do centro à corda divide-a ao meio, formando segmentos de 12 cm.

d²+12²=13²
d²=169−144=25
d=5 cm

Exemplo 15 — Tangente a partir de um ponto

O ponto P está a 17 cm do centro de uma circunferência de raio 8 cm. Como o raio é perpendicular à tangente, forma-se um triângulo retângulo:

PT²+8²=17²
PT²=289−64=225
PT=15 cm

Exemplo 16 — Coroa circular

Uma pista ocupa a região entre dois círculos concêntricos de raios 20 m e 16 m.

A=π·20²−π·16²=400π−256π=144π≈452,39 m²

Exemplo 17 — Comprimento de uma corda

Uma corda está a 8 cm do centro de uma circunferência de raio 17 cm. A perpendicular do centro divide a corda ao meio.

x²+8²=17²
x²=289−64=225
x=15 cm

A corda completa mede 2·15=30 cm.

Pratique 4

Questão 1 Uma janela circular tem raio de 10 cm. Uma barra reta forma uma corda situada a 6 cm do centro. Determine o comprimento da barra dentro do círculo.

Questão 2 Um ponto de ancoragem está a 25 m do centro de um reservatório circular de raio 7 m. Um cabo será esticado desse ponto até tocar tangencialmente o reservatório. Determine o comprimento do cabo.

Questão 3 Uma pista em forma de coroa circular possui raio externo de 30 m e raio interno de 26 m. Determine sua área. Se a pavimentação custa R 85,00 por metro quadrado, estime o custo usando π≈3,14.

Questão 4 Uma roda de raio 40 cm gira 225°. Determine a distância percorrida por um ponto da borda e a área do setor varrido. Mantenha π nas respostas.

Ver respostas

Questão 1

A metade da corda forma um triângulo retângulo com o raio:

x²+6²=10²
x²=64
x=8 cm

A corda completa mede 2·8=16 cm.

Questão 2

PT²+7²=25²
PT²=625−49=576
PT=24 m

Questão 3

A=π(30²−26²)=π(900−676)=224π≈703,36 m²

custo≈703,36·85=R 59.785,60

Questão 4

L=225/360·2π·40=5/8·80π=50π cm

A=225/360·π·40²=5/8·1.600π=1.000π cm²

9. Estratégia para resolver problemas

1. Identifique se a pergunta envolve contorno, superfície, ângulo ou comprimento de segmento.
2. Localize o centro, o raio, os pontos de interseção e o vértice do ângulo.
3. Classifique as retas como cordas, secantes ou tangentes.
4. Nos ângulos, verifique se o vértice está no centro, na borda, no interior ou no exterior.
5. Nas relações métricas externas, diferencie parte externa, parte interna e comprimento total.
6. Mantenha π ou raízes durante os cálculos e arredonde somente no final.

10. Erros frequentes

• Confundir círculo e circunferência: um representa a superfície; o outro, o contorno.
• Usar o diâmetro no lugar do raio: nas fórmulas de área e C=2πr, confirme qual medida foi fornecida.
• Dar unidade linear para área: áreas são expressas em unidades quadradas.
• Igualar ângulo inscrito ao arco: o inscrito mede a metade do arco interceptado.
• Somar arcos em um ângulo exterior: no exterior, usamos a diferença; no interior, a soma.
• Usar parte externa vezes parte interna: em secantes externas, usamos parte externa vezes comprimento total.
• Esquecer a raiz no segmento tangente: se PT²=144, então PT=12.
• Arredondar π cedo demais: isso pode aumentar o erro do resultado final.

11. Revisão e aprofundamento

Questão 1 — Engrenagem

Uma engrenagem circular possui raio de 12 cm. Durante uma operação, ela completa 35 voltas. Determine a distância percorrida por um ponto de sua borda, em metros, usando π≈3,14.

Questão 2 — Caminho ao redor de um lago

Um lago circular tem diâmetro de 20 m. Será construído, externamente, um caminho de 2 m de largura. Determine a área do caminho e o comprimento de sua borda externa. Use π≈3,14.

Questão 3 — Fatia de pizza

Uma pizza de raio 18 cm foi dividida de modo que uma fatia possui ângulo central de 80°. Determine a área da fatia e o comprimento de sua borda curva, mantendo π nas respostas.

Questão 4 — Câmera circular

Dois pontos A e B determinam um arco de 132°. Uma câmera posicionada em um ponto C da circunferência observa A e B. Qual é a medida do ângulo ACB, supondo que C não pertença ao arco menor AB? Se o ângulo central AOB for desenhado, qual será sua medida?

Questão 5 — Estrutura semicircular

Uma barra AB é o diâmetro de uma estrutura semicircular, e C é um ponto do arco. Sabendo que AC=9 m e BC=12 m, determine o diâmetro e o raio da estrutura. Justifique por que Pitágoras pode ser aplicado.

Questão 6 — Cordas de um aro

Duas cordas se cruzam em P. Em uma delas, os segmentos medem 5 cm e 18 cm. Na outra, um segmento mede 9 cm. Determine o segmento restante e confira a igualdade dos produtos.

Questão 7 — Secantes de um ponto externo

De P partem duas secantes. Na primeira, a parte externa mede 4 cm e a parte interna mede 14 cm. Na segunda, a parte externa mede 6 cm. Determine a parte interna da segunda secante.

Questão 8 — Tangente e secante

Uma tangente PT e uma secante PAB partem do mesmo ponto P. A parte externa PA mede 9 cm e a parte interna AB mede 7 cm. Determine PT.

Questão 9 — Dois cabos tangentes

Do ponto P partem dois cabos tangentes a um reservatório circular, tocando-o em A e B. Um dos cabos mede 13 m. Determine o comprimento total dos dois cabos. Se a distância entre A e B é 10 m, calcule o perímetro do triângulo PAB.

Questão 10 — Corda de uma janela circular

Uma janela circular tem raio de 25 cm. Uma barra em forma de corda está a 7 cm do centro. Determine o comprimento da barra.

Questão 11 — Cabo tangente

Um ponto de fixação está a 26 m do centro de uma estrutura circular de raio 10 m. Determine o comprimento do cabo tangente traçado desse ponto até a estrutura.

Questão 12 — Ângulo exterior algébrico

Duas secantes formam externamente um ângulo de 50°. Os arcos interceptados medem 4x+20° e 2x°. Determine x e as medidas dos dois arcos.

Questão 13 — Cordas e ângulo interior

Duas cordas formam internamente um ângulo de 100°. Os arcos associados medem x+40° e 3x°. Determine x e as medidas dos arcos.

Questão 14 — Pista circular

Uma pista circular possui raio de 28 m. Será instalada proteção em todo o contorno, exceto em duas passagens de 2,5 m cada. Determine o comprimento de proteção usando π≈22/7. Se cada metro custa R 48,00, calcule o custo.

Questão 15 — Análise de uma relação métrica

Em uma secante externa, a parte externa mede 6 cm e a interna mede 10 cm. Um aluno usou o produto 6·10 ao comparar essa secante com outra. Explique o erro e indique o produto correto. Se a outra secante tem parte externa de 4 cm, determine sua parte interna.

Gabarito e resoluções detalhadas

Questão 1

Em uma volta, o ponto percorre o comprimento da circunferência:

C=2·3,14·12=75,36 cm

Em 35 voltas:

35·75,36=2.637,6 cm=26,376 m

Questão 2

O raio do lago é 10 m. Com o caminho, o raio externo é 12 m:

A_caminho=3,14(12²−10²)=3,14(144−100)=138,16 m²

C_externo=2·3,14·12=75,36 m

Questão 3

A=80/360·π·18²=2/9·324π=72π cm²

L=80/360·2π·18=2/9·36π=8π cm

Questão 4

O ângulo inscrito mede a metade do arco interceptado:

∠ACB=132°/2=66°

O ângulo central correspondente possui a mesma medida do arco: 132°.

Questão 5

Como AB é diâmetro, o ângulo inscrito ACB intercepta uma semicircunferência e mede 90°. Assim, AB é a hipotenusa:

AB²=9²+12²=81+144=225
AB=15 m

O diâmetro mede 15 m e o raio mede 7,5 m.

Questão 6

5·18=9·x
90=9x
x=10 cm

Verificação: 5·18=90 e 9·10=90.

Questão 7

Na primeira secante, o comprimento total é 4+14=18 cm. Na segunda, se x representa a parte interna, o comprimento total é 6+x. Aplicamos o produto entre a parte externa e o comprimento total de cada secante:

4·18=6(6+x)
72=36+6x
36=6x
x=6 cm

Portanto, a parte interna da segunda secante mede 6 cm.

Questão 8

O comprimento total da secante é 9+7=16 cm:

PT²=9·16=144
PT=12 cm

Questão 9

Segmentos tangentes traçados do mesmo ponto são iguais. Assim, PA=PB=13 m:

comprimento dos cabos=13+13=26 m
P_triângulo=13+13+10=36 m

Questão 10

A perpendicular do centro divide a corda ao meio:

x²+7²=25²
x²=625−49=576
x=24 cm

A corda completa mede 2·24=48 cm.

Questão 11

O raio e a tangente são perpendiculares:

PT²+10²=26²
PT²=676−100=576
PT=24 m

Questão 12

50=(4x+20−2x)/2
100=2x+20
2x=80
x=40

Os arcos medem 4·40+20=180° e 2·40=80°.

Questão 13

100=(x+40+3x)/2
200=4x+40
4x=160
x=40

Os arcos medem x+40=80° e 3x=120°.

Questão 14

C=2·22/7·28=176 m
proteção=176−5=171 m

custo=171·48=R 8.208,00

Questão 15

O produto deve usar a parte externa e o comprimento total. Na primeira secante, o total é 6+10=16 cm:

produto correto=6·16=96

Se x é a parte interna da segunda:

4(4+x)=96
4+x=24
x=20 cm

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