Relações métricas, Teorema de Pitágoras, perímetros e áreas
O triângulo retângulo aparece em telhados, rampas, escadas, estruturas de sustentação, terrenos e projetos de engenharia. Suas propriedades permitem calcular comprimentos que não podem ser medidos diretamente. Essas relações também se conectam ao cálculo de perímetros e áreas de figuras planas.
Nesta postagem, estudaremos o Teorema de Pitágoras, as relações métricas no triângulo retângulo e suas aplicações. Em seguida, retomaremos perímetros e áreas de triângulos, quadriláteros, polígonos regulares e figuras compostas.
EM13MAT308 — aplicar relações métricas em problemas envolvendo triângulos retângulos, distâncias e medidas inacessíveis.
EM13MAT307 e EM13MAT506 — resolver problemas envolvendo perímetros e áreas de figuras planas e analisar como essas grandezas variam.
Para acompanhar o conteúdo, é importante saber:
- resolver equações do primeiro e do segundo grau;
- calcular potências e raízes quadradas;
- reconhecer triângulos semelhantes;
- converter unidades de comprimento e área;
- decompor figuras em formas mais simples.
1. Elementos do triângulo retângulo
Um triângulo retângulo possui um ângulo de 90°. O lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa; os outros dois lados são os catetos.
2. Teorema de Pitágoras
Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.
Um triângulo retângulo possui catetos de 9 cm e 12 cm.
a²=81+144
a²=225
a=15 cm
A hipotenusa mede 13 m e um cateto mede 5 m.
169=25+c²
c²=144
c=12 m
Consideramos a raiz positiva porque c representa um comprimento.
Interpretação por áreas
Se construirmos um quadrado sobre cada lado do triângulo retângulo, a área do quadrado construído sobre a hipotenusa será igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos.
3. Recíproca do Teorema de Pitágoras
Se, em um triângulo, o quadrado do maior lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois, então o triângulo é retângulo.
Um triângulo tem lados 8 cm, 15 cm e 17 cm. O maior lado é 17 cm:
8²+15²=64+225=289
Como há igualdade, o triângulo é retângulo.
Ternos pitagóricos
Três números inteiros positivos que satisfazem a²=b²+c² formam um terno pitagórico. Alguns exemplos:
| Cateto | Cateto | Hipotenusa |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 7 | 24 | 25 |
Pratique 1
Questão 1 Uma escada está apoiada em uma parede. Sua base está a 6 m da parede e o topo alcança 8 m de altura. Qual é o comprimento da escada?
Questão 2 A diagonal de uma tela retangular mede 25 polegadas e sua altura mede 15 polegadas. Determine a largura.
Questão 3 Uma empresa recebeu uma armação triangular com lados de 10 cm, 24 cm e 26 cm. O projeto exige que ela tenha um ângulo reto. Sem medir os ângulos, verifique se a peça atende ao projeto e justifique.
Questão 4 Um terreno retangular mede 20 m por 21 m. Qual é a distância em linha reta entre dois vértices opostos?
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Questão 1
a=10 m
Questão 2
625=225+x²
x²=400
x=20 polegadas
Questão 3
10²+24²=100+576=676
Sim. O triângulo é retângulo.
Questão 4
d=29 m
4. Aplicações do Teorema de Pitágoras
Um cabo liga o topo de um poste de 12 m a um ponto no solo situado a 5 m da base.
L=13 m
Uma rampa precisa vencer um desnível de 0,9 m, e sua projeção horizontal mede 1,2 m.
L=1,5 m
Os pontos A(2,3) e B(8,11) determinam deslocamentos horizontal e vertical de 6 e 8 unidades.
d=10
5. Relações métricas no triângulo retângulo
Ao traçarmos a altura relativa à hipotenusa, o triângulo original é dividido em dois triângulos menores. Os três triângulos são semelhantes, o que origina as relações métricas.
| Relação | Interpretação |
|---|---|
| a=m+n | A hipotenusa é a soma das projeções. |
| b²=a·m | O quadrado do cateto b é o produto da hipotenusa por sua projeção m. |
| c²=a·n | O quadrado do cateto c é o produto da hipotenusa por sua projeção n. |
| h²=m·n | O quadrado da altura é o produto das projeções. |
| b·c=a·h | O produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura. |
As projeções sobre a hipotenusa medem m=9 cm e n=16 cm.
c²=a·n=25·16=400 ⇒ c=20 cm
Se m=4 cm e n=9 cm:
h=6 cm
Um triângulo retângulo possui catetos de 15 cm e 20 cm e hipotenusa de 25 cm. Sua área pode ser escrita de duas formas:
Igualando:
25h=300
h=12 cm
6. Como escolher a relação métrica adequada
Não é necessário usar todas as fórmulas em cada problema. Primeiro identifique os dados e a medida procurada:
Conhece m e n?
Calcule a=m+n e, depois, use h²=mn, b²=am ou c²=an.
Conhece os catetos?
Use Pitágoras para obter a e b·c=a·h para encontrar a altura.
Conhece a e uma projeção?
Use b²=am ou c²=an para determinar o cateto correspondente.
Conhece a área?
Compare A=bc/2 com A=ah/2 para relacionar os catetos e a altura.
Um triângulo retângulo possui catetos de 10 m e 24 m. Primeiro calculamos a hipotenusa:
Depois usamos o produto dos catetos:
240=26h
h=120/13≈9,23 m
Pratique 2
Questão 1 Em uma estrutura triangular de telhado, a altura traçada até a hipotenusa divide esse lado em segmentos de 9 m e 16 m. Determine a hipotenusa, a altura e os dois catetos da estrutura.
Questão 2 Uma peça triangular retângula possui catetos de 12 cm e 16 cm. Para instalar um reforço perpendicular à hipotenusa, é necessário conhecer a altura relativa a esse lado. Determine o comprimento do reforço.
Questão 3 Em uma rampa triangular, a hipotenusa mede 18 m e a projeção de um dos catetos sobre ela mede 8 m. Determine esse cateto e a outra projeção. Depois, calcule a altura relativa à hipotenusa.
Questão 4 Um estudante recebeu m=4 cm e n=12 cm e afirmou que a altura relativa à hipotenusa mede 8 cm, pois somou as projeções e dividiu por 2. Analise o procedimento, corrija-o e explique qual relação deve ser utilizada.
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Questão 1
h²=9·16=144 ⇒ h=12 m
b²=25·9=225 ⇒ b=15 m
c²=25·16=400 ⇒ c=20 m
Questão 2
Primeiro determinamos a hipotenusa:
Agora usamos 12·16=20·h:
Questão 3
n=18−8=10 m
h²=8·10=80 ⇒ h=4√5≈8,94 m
Questão 4
A altura não é a média das projeções. A relação correta é h²=mn:
h=√48=4√3≈6,93 cm
7. Perímetro de figuras planas
O perímetro é a medida do contorno de uma figura. Para calculá-lo, somamos as medidas de todos os lados. O resultado é expresso em unidades de comprimento, como centímetros, metros ou quilômetros.
Um terreno retangular mede 32 m por 18 m e terá um portão de 4 m onde não será instalada cerca.
cerca=100−4=96 m
O problema não pede apenas o perímetro; é necessário descontar a abertura do portão.
Uma praça triangular tem perímetro de 84 m. Dois lados medem 27 m e 31 m.
8. Área de triângulos e quadriláteros
A área mede a superfície ocupada por uma figura e é expressa em unidades quadradas. Altura e base devem ser perpendiculares entre si.
| Figura | Fórmula da área | Significado |
|---|---|---|
| Retângulo | A=b·h | base vezes altura |
| Quadrado | A=l² | lado ao quadrado |
| Paralelogramo | A=b·h | altura perpendicular à base |
| Triângulo | A=b·h/2 | metade do paralelogramo correspondente |
| Trapézio | A=(B+b)h/2 | média das bases vezes a altura |
| Losango | A=D·d/2 | metade do produto das diagonais |
Um terreno retangular mede 40 m por 25 m. Uma faixa de 3 m por 25 m será usada como acesso e não receberá plantio.
Aacesso=3·25=75 m²
Acultivável=1.000−75=925 m²
Uma fachada em forma de trapézio possui bases de 18 m e 10 m e altura de 6 m.
Se cada lata de tinta cobre 12 m², serão necessárias 84/12=7 latas, desconsiderando perdas.
Uma placa em forma de losango possui diagonais de 80 cm e 60 cm.
9. Polígonos regulares
Um polígono regular pode ser dividido em triângulos congruentes ligando o centro aos vértices. A altura de cada triângulo é o apótema.
Nessa fórmula, P é o perímetro e ap é o apótema.
Um piso tem forma de hexágono regular com lado de 6 cm e apótema de 3√3 cm.
A=36·3√3/2=54√3≈93,53 cm²
Pratique 3
Questão 1 Uma quadra retangular mede 28 m por 16 m. Será instalada uma faixa de proteção de 2 m de largura ao longo de todo o interior do contorno. Determine a área que permanecerá livre no centro e a área ocupada pela faixa.
Questão 2 Um terreno trapezoidal possui bases de 34 m e 22 m e altura de 15 m. Apenas 80% da área será utilizada para plantio. Quantos metros quadrados serão plantados?
Questão 3 Uma placa em forma de losango tem área de 1.500 cm². Sua diagonal maior mede 60 cm. Determine a diagonal menor. Depois, converta a área para metros quadrados.
Questão 4 Um jardim hexagonal regular tem lado de 4 m e apótema de aproximadamente 3,46 m. Ele será cercado e receberá grama. Determine o comprimento de cerca e a área aproximada de grama.
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Questão 1
A faixa de 2 m aparece nos dois lados de cada dimensão. O retângulo central mede 24 m por 12 m:
Acentral=24·12=288 m²
Afaixa=448−288=160 m²
Questão 2
0,80·420=336 m²
Questão 3
1.500=30d
d=50 cm
Como 1 m²=10.000 cm²:
Questão 4
A=24·3,46/2=41,52 m²
10. Figuras compostas e regiões descontadas
Muitos problemas não apresentam uma única figura conhecida. Nesses casos, podemos:
- decompor a região em figuras menores e somar suas áreas;
- calcular uma região maior e retirar partes não utilizadas;
- usar o Teorema de Pitágoras para descobrir uma medida antes de calcular área ou perímetro;
- verificar se lados internos fazem ou não parte do contorno solicitado.
Um jardim retangular mede 18 m por 10 m. Ao redor dele será construída uma calçada externa de 2 m de largura. As dimensões externas serão 22 m por 14 m.
Ajardim=18·10=180 m²
Acalçada=308−180=128 m²
Uma placa triangular possui lados iguais de 13 cm e base de 10 cm. A altura divide a base em dois segmentos de 5 cm.
h²=169−25=144
h=12 cm
P=13+13+10=36 cm
11. Variação do perímetro e da área
Quando todos os comprimentos de uma figura são multiplicados por um fator k, o perímetro é multiplicado por k e a área por k².
Uma praça quadrada terá cada lado ampliado em 20%. O fator de ampliação é k=1,2.
O perímetro aumenta 20%, mas a área aumenta 44%.
Pratique 4
Questão 1 O piso de uma sala em formato de L pode ser obtido retirando um retângulo de 3 m por 2 m de um retângulo maior de 8 m por 6 m. Determine a área do piso. Sabendo que todos os segmentos do contorno serão revestidos com rodapé, determine também o perímetro da região em L.
Questão 2 Um canteiro triangular isósceles possui lados iguais de 17 m e base de 16 m. Determine a altura, a área e o perímetro. Em seguida, calcule quantos sacos de adubo são necessários se cada saco atende 20 m² e não é possível comprar fração de saco.
Questão 3 Uma piscina retangular mede 12 m por 6 m e será cercada por um piso externo de 1,5 m de largura em todos os lados. Determine a área do piso e o perímetro externo do conjunto.
Questão 4 Todas as dimensões de uma placa serão reduzidas para 70% das medidas originais. A placa atual tem perímetro de 120 cm e área de 600 cm². Determine o novo perímetro e a nova área e explique por que os dois resultados não são reduzidos na mesma porcentagem.
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Questão 1
Quando o recorte é feito em um canto, dois trechos externos são substituídos por dois trechos internos de comprimentos iguais. Assim, o perímetro permanece igual ao do retângulo maior:
Questão 2
A altura divide a base em dois segmentos de 8 m:
h²=289−64=225
h=15 m
P=17+17+16=50 m
Quantidade de sacos: 120/20=6 sacos.
Questão 3
As dimensões externas são 15 m por 9 m:
Pexterno=2(15+9)=48 m
Questão 4
Anova=0,7²·600=0,49·600=294 cm²
O perímetro varia com k, enquanto a área varia com k². Por isso, o perímetro diminui 30% e a área diminui 51%.
12. Erros frequentes
- Escolher como hipotenusa o lado desenhado na horizontal: a hipotenusa é definida por estar oposta ao ângulo reto.
- Somar os lados em vez de seus quadrados: Pitágoras relaciona a², b² e c².
- Usar Pitágoras em qualquer triângulo: o teorema exige um triângulo retângulo.
- Trocar a projeção de um cateto: confira na figura qual projeção corresponde a cada cateto.
- Confundir perímetro e área: perímetro mede contorno; área mede superfície.
- Usar lado inclinado como altura: a altura deve ser perpendicular à base.
- Somar áreas quando deveria subtrair: regiões vazadas ou reservadas devem ser descontadas.
- Converter área como se fosse comprimento: 1 m² corresponde a 10.000 cm², não a 100 cm².
- Arredondar durante as etapas intermediárias: mantenha raízes ou mais casas decimais e arredonde apenas no final.
13. Revisão e aprofundamento
Uma escada de 15 m é apoiada em uma parede. Por segurança, sua base deve ficar a 9 m da parede. A que altura o topo chegará? Se o ponto de manutenção está a 13 m do solo, a escada será suficiente?
Uma praça retangular mede 48 m por 20 m. Uma pessoa atravessa pela diagonal em vez de percorrer dois lados consecutivos. Quantos metros ela economiza?
Uma armação triangular possui lados de 18 m, 24 m e 30 m. Verifique se ela é retângula. Em caso afirmativo, calcule sua área.
A altura relativa à hipotenusa de uma cobertura triangular divide esse lado em projeções de 4 m e 21 m. Determine a hipotenusa, a altura e os dois catetos.
Uma peça triangular retângula tem catetos de 20 cm e 21 cm. Um reforço será instalado perpendicularmente à hipotenusa. Determine o comprimento do reforço e apresente o resultado com duas casas decimais.
Um jardim retangular mede 30 m por 18 m. Um caminho interno de 2 m de largura acompanha todo o contorno. Determine a área do caminho e a área restante para plantio.
Uma fachada trapezoidal possui bases de 22 m e 14 m e altura de 8 m. Nela existem três janelas retangulares de 2 m por 1,5 m. Determine a área que será pintada. Se cada lata cobre 18 m², quantas latas inteiras serão necessárias?
De um salão retangular de 12 m por 9 m foi retirada uma região retangular de 5 m por 4 m em um dos cantos. Determine a área do salão restante e seu perímetro.
Uma praça tem a forma de um hexágono regular de lado 10 m e apótema de aproximadamente 8,66 m. Determine seu perímetro e sua área aproximada.
As dimensões lineares de uma planta serão ampliadas em 50%. O modelo original tem perímetro de 80 cm e área de 320 cm². Determine o novo perímetro e a nova área.
Uma fachada triangular isósceles possui lados iguais de 13 m e base de 10 m. Determine a altura e a área. Se cada painel de revestimento cobre 6 m², quantos painéis inteiros serão necessários?
Um terreno retangular tem área de 1.200 m² e um de seus lados mede 30 m. Determine o outro lado, a diagonal e a quantidade de cerca necessária, considerando uma entrada de 5 m sem cerca.
Uma placa quadrada de lado 20 cm contém, no centro, um recorte quadrado de lado 8 cm. Determine a área restante e o comprimento total das bordas, incluindo a borda externa e a borda do recorte.
Uma quadra retangular mede 36 m por 20 m. A cobertura deverá avançar 1,5 m além da quadra em todos os lados. Determine a área da cobertura e o percentual de aumento em relação à área da quadra.
Um aluno calculou a área de uma placa como 24.000 cm² e afirmou que isso corresponde a 240 m², pois dividiu por 100. Analise o erro e apresente a conversão correta.