Ângulos, polígonos e suas propriedades
Ângulos e polígonos estão presentes em plantas de construções, estruturas metálicas, placas de trânsito, pisos, embalagens, mapas e projetos de engenharia. Para analisar essas formas, não basta reconhecer seus nomes: é necessário compreender as relações entre seus elementos e usar propriedades para determinar medidas desconhecidas.
Nesta postagem, retomaremos os conceitos fundamentais de ângulos e avançaremos para o estudo dos polígonos. Resolveremos problemas envolvendo ângulos complementares e suplementares, retas paralelas cortadas por uma transversal, soma dos ângulos internos, ângulos externos, diagonais e polígonos regulares.
O estudo dos ângulos funciona como base para toda a Geometria Plana. As propriedades dos polígonos relacionam-se às habilidades EM13MAT505 e EM13MAT506, especialmente na análise de configurações geométricas, ladrilhamentos, perímetros e áreas.
Para acompanhar a postagem, é importante saber:
- realizar operações com números reais;
- resolver equações do primeiro grau;
- identificar pontos, retas, semirretas e segmentos;
- interpretar figuras geométricas e informações apresentadas em desenhos;
- distinguir uma propriedade geral de uma característica observada apenas em um desenho.
1. O que é um ângulo?
Um ângulo é a região determinada por duas semirretas que possuem a mesma origem. Essa origem é o vértice, e as semirretas são os lados do ângulo.
A medida de um ângulo pode ser expressa em graus. Uma volta completa corresponde a 360°, meia volta corresponde a 180° e um quarto de volta corresponde a 90°.
Classificação dos ângulos
| Classificação | Medida | Exemplo |
|---|---|---|
| Nulo | 0° | Os lados coincidem. |
| Agudo | Maior que 0° e menor que 90° | 35° |
| Reto | 90° | Canto de uma folha retangular. |
| Obtuso | Maior que 90° e menor que 180° | 125° |
| Raso | 180° | Duas semirretas opostas. |
| Côncavo | Maior que 180° e menor que 360° | 240° |
| Completo | 360° | Uma volta completa. |
Uma câmera estava voltada para o norte e girou 135° no sentido horário. Como 90°<135°<180°, o giro corresponde a um ângulo obtuso.
Para completar uma volta, ainda faltam:
Às 3 horas, o ponteiro dos minutos está no 12 e o ponteiro das horas está no 3. O mostrador foi dividido em 12 partes iguais, então cada intervalo mede:
Entre o 12 e o 3 existem três intervalos. Logo, o menor ângulo entre os ponteiros mede:
2. Ângulos consecutivos, adjacentes e opostos pelo vértice
Dois ângulos são consecutivos quando possuem o mesmo vértice e um lado comum. Eles são adjacentes quando, além de consecutivos, não possuem pontos internos em comum.
Quando duas retas se cruzam, formam quatro ângulos. Os ângulos que ficam um de frente para o outro são chamados de opostos pelo vértice e possuem a mesma medida.
Duas ruas retilíneas se cruzam. Um dos ângulos formados mede 68°. O ângulo oposto também mede 68°.
Cada ângulo adjacente forma, com o ângulo de 68°, um ângulo raso:
Assim, os quatro ângulos medem 68°, 112°, 68° e 112°.
3. Ângulos complementares e suplementares
Ângulos complementares
Suas medidas somam 90°.
Ângulos suplementares
Suas medidas somam 180°.
Dois ângulos complementares medem 2x+6° e x+12°. Determine as medidas.
Como são complementares, a soma é 90°:
3x+18=90
3x=72
x=24
Substituindo x:
x+12=24+12=36°
Verificação: 54°+36°=90°.
Em uma representação lateral, uma rampa forma 12° com o piso horizontal. Como a parede é perpendicular ao piso, o ângulo entre a rampa e a parede é complementar a 12°:
Pratique 1
Questão 1 Uma porta giratória realizou um giro de 225°. Classifique esse ângulo e determine quantos graus faltam para completar uma volta.
Questão 2 Dois ângulos opostos pelo vértice medem 5x−8° e 3x+24°. Determine x e a medida desses ângulos.
Questão 3 O suplemento de um ângulo mede o triplo desse ângulo. Determine as duas medidas.
Questão 4 Às 2 horas, qual é o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio?
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Questão 1
Como 180°<225°<360°, o ângulo é côncavo. Para completar a volta:
Questão 2
Ângulos opostos pelo vértice são iguais:
2x=32
x=16
Cada um mede 5·16−8=72°.
Questão 3
Se o ângulo mede x, seu suplemento mede 3x:
4x=180°
x=45°
Os ângulos medem 45° e 135°.
Questão 4
Cada intervalo do relógio mede 30°. Entre o 12 e o 2 há dois intervalos:
4. Retas paralelas cortadas por uma transversal
Duas retas de um mesmo plano são paralelas quando não possuem ponto em comum. Uma terceira reta que cruza as duas é chamada de transversal.
Quando duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, formam-se oito ângulos. As relações entre esses ângulos permitem determinar todas as medidas conhecendo apenas uma delas.
| Relação | Exemplos na figura | Propriedade |
|---|---|---|
| Correspondentes | 1 e 5; 2 e 6; 3 e 7; 4 e 8 | Possuem medidas iguais. |
| Alternos internos | 3 e 6; 4 e 5 | Possuem medidas iguais. |
| Alternos externos | 1 e 8; 2 e 7 | Possuem medidas iguais. |
| Colaterais internos | 3 e 5; 4 e 6 | São suplementares. |
| Colaterais externos | 1 e 7; 2 e 8 | São suplementares. |
Duas faixas divisórias paralelas são cruzadas por uma rua transversal. Um dos ângulos agudos mede 64°. Todos os ângulos correspondentes, alternos e opostos a ele também medem 64°.
Os ângulos obtusos são suplementares aos agudos:
Portanto, a configuração possui quatro ângulos de 64° e quatro ângulos de 116°.
Dois ângulos colaterais internos são representados por 3x+12° e 5x−8°. Como as retas são paralelas, esses ângulos são suplementares:
8x+4=180
8x=176
x=22
As medidas são 3·22+12=78° e 5·22−8=102°. A soma é 180°.
Pratique 2
Questão 1 Duas retas paralelas são cortadas por uma transversal. Se um dos ângulos mede 47°, determine as duas medidas diferentes que aparecem na configuração.
Questão 2 Dois ângulos alternos internos medem 4x+6° e 6x−28°. Determine x e a medida de cada ângulo.
Questão 3 Em uma planta urbana, duas avenidas paralelas são cortadas por uma rua. Dois ângulos colaterais internos medem 7x−5° e 3x+25°. Determine as medidas.
Questão 4 Um estudante concluiu que dois ângulos correspondentes são iguais apenas porque estão na mesma posição relativa. Qual informação ainda precisa ser verificada?
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Questão 1
Os ângulos iguais ao dado medem 47°. Os adjacentes medem:
As duas medidas são 47° e 133°.
Questão 2
Alternos internos são iguais:
34=2x
x=17
Cada ângulo mede 4·17+6=74°.
Questão 3
Colaterais internos são suplementares:
10x+20=180
x=16
As medidas são 7·16−5=107° e 3·16+25=73°.
Questão 4
É necessário verificar se as duas retas cortadas pela transversal são paralelas.
5. Ângulos de um triângulo
Todo triângulo possui três ângulos internos cuja soma é 180°.
Um ângulo externo de um triângulo é formado por um lado e pelo prolongamento do lado adjacente. Sua medida é igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes a ele.
Uma estrutura triangular possui dois ângulos internos de 48° e 67°. O terceiro mede:
Em um triângulo, um ângulo externo mede 125° e um dos ângulos internos não adjacentes mede 52°. O outro ângulo interno não adjacente mede:
O ângulo interno adjacente ao externo é suplementar a 125° e mede 55°.
6. O que é um polígono?
Um polígono é uma figura plana fechada formada apenas por segmentos de reta que se encontram dois a dois em suas extremidades, sem cruzamentos entre lados não consecutivos.
Os principais elementos de um polígono são:
- lados: segmentos que formam seu contorno;
- vértices: pontos de encontro de dois lados consecutivos;
- ângulos internos: ângulos formados no interior da figura;
- ângulos externos: ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do lado consecutivo;
- diagonais: segmentos que ligam dois vértices não consecutivos.
Classificação pelo número de lados
| Número de lados | Nome | Número de lados | Nome |
|---|---|---|---|
| 3 | Triângulo | 8 | Octógono |
| 4 | Quadrilátero | 9 | Eneágono ou nonágono |
| 5 | Pentágono | 10 | Decágono |
| 6 | Hexágono | 12 | Dodecágono |
| 7 | Heptágono | 20 | Icoságono |
Polígonos convexos e não convexos
Um polígono é convexo quando qualquer segmento que liga dois pontos de seu interior permanece inteiramente dentro da figura. Em um polígono não convexo, existe pelo menos um desses segmentos com uma parte fora da figura.
Outra forma de reconhecer: todo ângulo interno de um polígono convexo é menor que 180°. Um polígono não convexo possui pelo menos um ângulo interno maior que 180°.
Polígonos regulares
Um polígono é regular quando possui todos os lados congruentes e todos os ângulos internos congruentes. Ter apenas lados iguais não é suficiente, assim como ter apenas ângulos iguais também não basta.
7. Diagonais de um polígono convexo
Em um polígono de n lados, cada vértice pode ser ligado por uma diagonal a n−3 vértices. Excluímos o próprio vértice e os dois vértices vizinhos, pois as ligações com os vizinhos são lados.
Ao multiplicar n por n−3, cada diagonal é contada duas vezes, uma a partir de cada extremidade. Por isso, dividimos por 2:
Para um octógono, n=8:
Um octógono possui 20 diagonais.
Um polígono convexo possui 35 diagonais. Quantos lados ele tem?
n(n−3)=70
n²−3n−70=0
(n−10)(n+7)=0
As soluções são n=10 e n=−7. Como o número de lados precisa ser positivo, o polígono é um decágono.
8. Soma dos ângulos internos
Partindo de um vértice de um polígono convexo de n lados, podemos dividi-lo em n−2 triângulos. Como a soma dos ângulos internos de cada triângulo é 180°, temos:
| Polígono | n | Triângulos formados | Soma interna |
|---|---|---|---|
| Triângulo | 3 | 1 | 180° |
| Quadrilátero | 4 | 2 | 360° |
| Pentágono | 5 | 3 | 540° |
| Hexágono | 6 | 4 | 720° |
| Decágono | 10 | 8 | 1.440° |
Um dodecágono possui n=12 lados:
A soma dos ângulos internos de um polígono convexo é 1.260°. Determine o número de lados.
n−2=7
n=9
O polígono possui nove lados: é um eneágono.
Pratique 3
Questão 1 Quantas diagonais possui um decágono?
Questão 2 Uma praça tem a forma de um polígono convexo de 12 lados. Quantas diagonais poderiam ligar seus vértices?
Questão 3 Calcule a soma dos ângulos internos de um polígono de 15 lados.
Questão 4 A soma dos ângulos internos de um polígono é 1.980°. Determine o número de lados.
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Questão 1
Questão 2
Questão 3
Questão 4
n−2=11
n=13
9. Ângulos de um polígono regular
Em um polígono regular, todos os ângulos internos têm a mesma medida. Dividimos a soma dos ângulos internos pelo número de ângulos:
A soma de um ângulo interno com o ângulo externo adjacente é 180°. Em um polígono regular, todos os ângulos externos são iguais e sua soma é 360°:
Para n=6:
Cada ângulo interno mede 120° e cada ângulo externo mede 60°.
Em um polígono regular, cada ângulo externo mede 24°. Então:
O polígono regular possui 15 lados. Cada ângulo interno mede 180°−24°=156°.
Os ângulos internos de um pentágono convexo medem 95°, 110°, 120°, 105° e x. Como a soma interna do pentágono é 540°:
430+x=540
x=110°
10. Polígonos em ladrilhamentos
Ladrilhar o plano significa cobrir uma superfície sem deixar espaços vazios e sem sobrepor peças. Em torno de cada ponto interior do ladrilhamento, os ângulos das peças precisam completar 360°.
Entre os polígonos regulares, somente três formam ladrilhamentos usando um único tipo de peça:
Triângulo equilátero
Ângulo interno: 60°
6·60°=360°
Quadrado
Ângulo interno: 90°
4·90°=360°
Hexágono regular
Ângulo interno: 120°
3·120°=360°
Um pentágono regular não ladrilha o plano sozinho, pois seu ângulo interno mede 108° e 360° não é múltiplo de 108°.
Em torno de um vértice de um piso encontram-se dois octógonos regulares e um quadrado. Verifique se há fechamento.
O ângulo interno do octógono regular é:
Somando os ângulos em torno do vértice:
As peças fecham o entorno do vértice sem lacuna angular.
Pratique 4
Questão 1 Determine as medidas de cada ângulo interno e externo de um decágono regular.
Questão 2 Cada ângulo externo de um polígono regular mede 18°. Quantos lados ele possui?
Questão 3 Um arquiteto pretende reunir três pentágonos regulares em torno de um único ponto. As peças completarão 360°? Justifique.
Questão 4 Em torno de um vértice de um mosaico são colocados um triângulo equilátero, dois quadrados e um hexágono regular. Verifique se a composição fecha o entorno do ponto.
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Questão 1
i=180°−36°=144°
Questão 2
Questão 3
Cada ângulo interno do pentágono regular mede 108°:
Não há fechamento. Fica uma lacuna angular de 360°−324°=36°.
Questão 4
Sim. A soma é 360°, portanto a composição fecha o entorno do ponto.
11. Erros frequentes
- Confiar apenas na aparência: um desenho pode não estar em escala. Use as informações e propriedades indicadas.
- Confundir complementar com suplementar: complementares somam 90°; suplementares somam 180°.
- Usar relações de paralelas sem confirmar o paralelismo: ângulos correspondentes só são necessariamente iguais quando as retas são paralelas.
- Contar diagonais como lados: a diagonal liga vértices não consecutivos; o lado liga vértices consecutivos.
- Esquecer a divisão por 2 na fórmula das diagonais: cada diagonal seria contada a partir de suas duas extremidades.
- Usar n·180° para a soma interna: um polígono de n lados é dividido em n−2 triângulos, portanto Si=(n−2)·180°.
- Aplicar a fórmula do ângulo interno individual a um polígono qualquer: dividir a soma por n fornece cada ângulo somente quando o polígono é regular.
- Afirmar que todo polígono de lados iguais é regular: também é necessário que todos os ângulos internos sejam iguais.
12. Revisão e aprofundamento
Um painel solar forma um ângulo de 32° com uma base horizontal. A haste vertical de sustentação é perpendicular à base. Determine o ângulo agudo formado entre o painel e a haste.
Duas vias retilíneas se cruzam. Dois ângulos opostos pelo vértice são representados por 7x−19° e 4x+32°. Determine x e as quatro medidas formadas no cruzamento.
Duas ruas paralelas são cortadas por uma avenida transversal. Um par de ângulos colaterais internos mede 6x+12° e 4x−2°. Determine x e as medidas desses ângulos.
Em uma estrutura triangular, um ângulo externo mede 142°. Um dos ângulos internos não adjacentes mede 65°. Determine os outros dois ângulos internos do triângulo.
Os ângulos internos de uma janela quadrilateral medem x+20°, 2x+10°, x+40° e 2x−10°. Determine x e as quatro medidas.
Os dez pontos de conexão de uma rede estão posicionados nos vértices de um decágono convexo. Cada ligação entre vértices não consecutivos é representada por uma diagonal. Quantas ligações desse tipo podem ser traçadas?
Uma praça tem a forma de um polígono convexo cuja soma dos ângulos internos é 2.340°. Determine o número de lados e o número total de diagonais.
Uma placa tem a forma de um polígono regular de 12 lados. Determine a medida de cada ângulo interno e de cada ângulo externo.
Um robô percorre o contorno de uma pista que tem a forma de um octógono regular. Em cada vértice, ele gira pelo menor ângulo necessário para seguir o próximo lado. Qual é a medida de cada giro? Qual será a soma dos oito giros?
Um polígono convexo possui 54 diagonais. Determine o número de lados e a soma de seus ângulos internos.
Cada ângulo interno de um polígono regular mede 165°. Quantos lados possui esse polígono?
Um jardim tem a forma de um pentágono convexo. Quatro de seus ângulos internos medem 92°, 108°, 115° e 130°. Determine o quinto ângulo.
Em torno de um ponto de um piso encontram-se dois triângulos equiláteros e dois hexágonos regulares. Essa composição fecha o entorno do ponto sem lacunas e sem sobreposição? Justifique por meio dos ângulos.
Uma peça octogonal regular possui ângulo interno de 135°. Quantos quadrados devem acompanhar dois octógonos regulares em torno de um mesmo vértice para completar 360°?
Um estudante afirmou: “Se um polígono tem todos os lados com a mesma medida, então ele é regular”. A afirmação é sempre verdadeira? Explique e indique qual condição adicional é necessária.