Semelhança de figuras, semelhança de triângulos e Teorema de Tales
Uma fotografia ampliada, uma planta arquitetônica, uma maquete e a sombra de um edifício podem representar objetos de tamanhos diferentes, mas conservar a mesma forma. A ideia matemática que explica essa conservação é a semelhança.
Nesta postagem, estudaremos como reconhecer figuras e triângulos semelhantes, determinar a razão de semelhança, relacionar comprimentos, perímetros e áreas e aplicar o Teorema de Tales. Essas ferramentas permitem calcular medidas que não podem ser obtidas diretamente, como a altura de uma árvore, a largura de um rio ou uma distância em uma planta.
EM13MAT308 — aplicar relações métricas, incluindo semelhança de triângulos, em problemas que envolvam distâncias, alturas, áreas e situações de diferentes contextos.
O Teorema de Tales é retomado como conhecimento de base e será conectado à proporcionalidade e à semelhança. Para acompanhar o estudo, é importante saber:
- resolver proporções e equações do primeiro grau;
- identificar lados e ângulos correspondentes;
- trabalhar com escalas e unidades de medida;
- reconhecer retas paralelas;
- interpretar desenhos geométricos sem depender apenas da aparência.
1. Figuras semelhantes
Duas figuras são semelhantes quando possuem a mesma forma, embora possam ter tamanhos diferentes. Em polígonos semelhantes:
- os ângulos correspondentes possuem medidas iguais;
- os lados correspondentes são proporcionais;
- a ordem dos vértices correspondentes precisa ser respeitada.
Razão de semelhança
A razão de semelhança, representada por k, é o quociente entre dois comprimentos correspondentes, sempre na mesma ordem.
k>1
A segunda figura é uma ampliação.
0<k<1
A segunda figura é uma redução.
k=1
As figuras têm o mesmo tamanho e são congruentes.
Uma fotografia de 10 cm por 15 cm será ampliada de modo que o lado de 10 cm passe a medir 18 cm.
O outro lado também precisa ser multiplicado por 1,8:
A fotografia ampliada medirá 18 cm por 27 cm.
Um retângulo mede 8 cm por 12 cm e outro mede 14 cm por 21 cm.
Como os lados correspondentes possuem a mesma razão e os quatro ângulos são retos, os retângulos são semelhantes.
2. Correspondência correta entre os elementos
Se escrevemos ABCD ∼ EFGH, estabelecemos as correspondências A↔E, B↔F, C↔G e D↔H. Consequentemente:
Trocar a ordem de apenas uma razão produz uma proporção incorreta. Podemos inverter todas as razões, mas não apenas uma delas.
Dois polígonos semelhantes possuem lados correspondentes de 5 cm e 8 cm. Em outra correspondência, o lado da primeira figura mede 12 cm. Determine o lado x da segunda.
5x=96
x=19,2 cm
3. Perímetros e áreas de figuras semelhantes
Se a razão de semelhança entre duas figuras é k, todos os comprimentos são multiplicados por k. Por isso:
Um logotipo possui perímetro de 36 cm. Ele é ampliado com razão k=2,5.
Uma figura tem área de 48 cm². Uma figura semelhante foi construída com lados três vezes maiores. Sua área será:
Anova=48·9=432 cm²
A área não fica três vezes maior, mas nove vezes maior.
Pratique 1
Questão 1 Uma imagem de 16 cm por 24 cm será reduzida para que o lado de 24 cm passe a medir 15 cm. Qual será a medida do outro lado?
Questão 2 Um retângulo mede 6 cm por 10 cm. Outro mede 9 cm por 15 cm. Eles são semelhantes? Justifique.
Questão 3 Duas figuras semelhantes têm razão k=4. Se a menor possui perímetro de 22 cm e área de 18 cm², determine o perímetro e a área da maior.
Questão 4 A área de uma figura foi reduzida de 200 cm² para 50 cm², mantendo-se a semelhança. Qual foi a razão de redução dos comprimentos?
Ver respostas
Questão 1
16·5/8=10 cm
A imagem reduzida medirá 10 cm por 15 cm.
Questão 2
Sim. Os lados correspondentes são proporcionais e os ângulos são retos.
Questão 3
A=18·4²=18·16=288 cm²
Questão 4
k=1/2
Os comprimentos foram reduzidos à metade.
4. Semelhança de triângulos
Dois triângulos são semelhantes quando seus ângulos correspondentes são congruentes e seus lados correspondentes são proporcionais. Indicamos:
A ordem informa que A corresponde a D, B a E e C a F.
Critérios de semelhança
AA
Dois ângulos de um triângulo são congruentes a dois ângulos do outro.
LAL
Dois pares de lados correspondentes são proporcionais e o ângulo compreendido é congruente.
LLL
Os três pares de lados correspondentes são proporcionais.
Um triângulo possui ângulos de 48°, 67° e 65°. Outro possui ângulos de 48°, 65° e 67°. Apesar da ordem diferente na descrição, os três ângulos correspondem. Os triângulos são semelhantes pelo critério AA.
Um triângulo tem lados 6, 8 e 10. Outro tem lados 9, 12 e 15.
Como os três pares de lados são proporcionais, os triângulos são semelhantes pelo critério LLL.
5. Determinação de lados em triângulos semelhantes
Depois de comprovar a semelhança, montamos proporções entre lados correspondentes. A correspondência deve seguir os ângulos iguais.
Os triângulos ABC e DEF são semelhantes, com A↔D, B↔E e C↔F. Se AB=8 cm, AC=12 cm, DE=14 cm e DF=x, então:
14/8=x/12
8x=168
x=21 cm
Dois triângulos semelhantes possuem perímetros de 35 cm e 56 cm. Um lado do menor mede 10 cm. A razão entre o maior e o menor é:
O lado correspondente no maior mede:
Pratique 2
Questão 1 Dois triângulos possuem ângulos 40°, 60°, 80° e 60°, 80°, 40°. Eles são semelhantes? Indique o critério.
Questão 2 Verifique se os triângulos de lados 4, 6 e 8 e 6, 9 e 12 são semelhantes.
Questão 3 Em dois triângulos semelhantes, um lado de 7 cm corresponde a outro de 17,5 cm. Se outro lado do menor mede 12 cm, quanto mede o correspondente no maior?
Questão 4 Dois triângulos semelhantes têm áreas de 25 cm² e 100 cm². Se um lado do menor mede 6 cm, determine o lado correspondente do maior.
Ver respostas
Questão 1
Sim. Os ângulos correspondentes são iguais, portanto são semelhantes pelo critério AA.
Questão 2
Sim, pelo critério LLL.
Questão 3
12·2,5=30 cm
Questão 4
k=2
6·2=12 cm
6. Aplicações da semelhança
A semelhança é especialmente útil quando uma medida direta é difícil, perigosa ou impossível. Para usar sombras, precisamos considerar que os raios solares chegam aproximadamente paralelos a objetos próximos e que as medições são feitas no mesmo instante.
No mesmo instante, uma estaca de 1,5 m projeta uma sombra de 2 m e uma árvore projeta uma sombra de 8 m.
2h=12
h=6 m
A árvore mede 6 m.
Uma pessoa com olhos a 1,6 m do chão vê o topo de um prédio refletido em um pequeno espelho no solo. A pessoa está a 2 m do espelho, e o prédio está a 30 m dele. Pela igualdade dos ângulos de incidência e reflexão, formam-se triângulos semelhantes:
2H=48
H=24 m
Em uma planta na escala 1:200, uma parede mede 4,5 cm. Isso significa que 1 cm no desenho corresponde a 200 cm na realidade:
7. Teorema de Tales
Quando um conjunto de retas paralelas é cortado por duas ou mais transversais, os segmentos correspondentes determinados nas transversais são proporcionais.
Também podemos comparar segmentos que abrangem mais de uma parte, desde que a correspondência seja mantida:
Três paralelas determinam, em duas transversais, segmentos correspondentes de 6 cm e 9 cm na primeira, e 10 cm e x na segunda.
6x=90
x=15 cm
Três ruas paralelas cortam duas avenidas. Em uma avenida, os trechos consecutivos medem 240 m e 360 m. Na outra, o primeiro trecho mede 300 m. O segundo trecho x satisfaz:
240x=108.000
x=450 m
Pratique 3
Questão 1 Uma pessoa de 1,8 m projeta uma sombra de 1,2 m. No mesmo instante, um poste projeta uma sombra de 7 m. Determine a altura do poste.
Questão 2 Em uma planta na escala 1:250, uma sala retangular mede 3,2 cm por 4,8 cm. Determine suas dimensões reais em metros.
Questão 3 Três retas paralelas cortam duas transversais. Os segmentos consecutivos da primeira medem 4 cm e 7 cm. Na segunda, os correspondentes medem 10 cm e x. Determine x.
Questão 4 Explique por que não podemos aplicar o Teorema de Tales se as três retas cortadas pelas transversais não forem paralelas.
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Questão 1
1,2h=12,6
h=10,5 m
Questão 2
4,8·250=1.200 cm=12 m
Questão 3
4x=70
x=17,5 cm
Questão 4
O paralelismo é a condição que garante que as transversais sejam divididas na mesma proporção. Sem ele, os segmentos correspondentes não precisam ser proporcionais.
8. Teorema de Tales em um triângulo
Se uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e intercepta os outros dois lados, ela determina um triângulo menor semelhante ao triângulo original.
No triângulo ABC, DE∥BC. Se AD=6 cm, DB=4 cm, AE=9 cm e EC=x, então:
6/4=9/x
6x=36
x=6 cm
No mesmo tipo de configuração, AD=8 cm, AB=20 cm e AC=30 cm. Determine AE.
8/20=AE/30
20·AE=240
AE=12 cm
Em um levantamento, uma linha auxiliar paralela a uma margem forma dois triângulos semelhantes. No menor, os lados correspondentes medem 12 m e 18 m. No maior, o lado correspondente a 12 m mede 30 m. Se a largura procurada corresponde ao lado de 18 m:
12x=540
x=45 m
9. A recíproca do Teorema de Tales
O raciocínio também pode ser usado no sentido inverso. Se uma reta intercepta dois lados de um triângulo e os divide proporcionalmente, então essa reta é paralela ao terceiro lado.
No triângulo ABC, D pertence a AB e E pertence a AC. São dados AD=6 cm, DB=9 cm, AE=8 cm e EC=12 cm.
AE/EC=8/12=2/3
Como os lados foram divididos na mesma proporção, podemos concluir que DE∥BC.
10. Estratégia para resolver problemas
- Identifique as figuras ou os triângulos envolvidos.
- Localize ângulos iguais, paralelas ou outras condições que comprovem a semelhança.
- Estabeleça a correspondência entre vértices e lados.
- Monte todas as razões na mesma ordem.
- Resolva a proporção e verifique a unidade de medida.
- Analise se o resultado é compatível com uma ampliação, redução ou medida real.
Pratique 4
Questão 1 No triângulo ABC, DE∥BC. Se AD=5 cm, DB=3 cm, AE=10 cm e EC=x, determine x.
Questão 2 Em um triângulo, uma reta paralela à base determina um triângulo menor. Um lado do menor mede 9 cm e o correspondente no maior mede 15 cm. Se a base do maior mede 25 cm, determine a base do menor.
Questão 3 D e E pertencem aos lados AB e AC de um triângulo. Sabendo que AD=4 cm, DB=6 cm, AE=6 cm e EC=9 cm, é possível concluir que DE∥BC? Justifique.
Questão 4 Um estudante montou 6/9=x/12 para comparar dois pares de segmentos correspondentes. Ele obteve x=8. Verifique o cálculo e explique se x deve ser maior ou menor que 12.
Ver respostas
Questão 1
5x=30
x=6 cm
Questão 2
15x=225
x=15 cm
Questão 3
AE/EC=6/9=2/3
Sim. Pela recíproca do Teorema de Tales, DE é paralelo a BC.
Questão 4
72=9x
x=8
O cálculo está correto. Como 6/9<1, a razão x/12 também deve ser menor que 1; portanto, x precisa ser menor que 12.
11. Erros frequentes
- Usar apenas a aparência: figuras parecidas visualmente não são necessariamente semelhantes.
- Comparar lados não correspondentes: a ordem dos vértices deve ser preservada.
- Inverter apenas uma razão: todas as razões precisam seguir a mesma orientação.
- Confundir razão linear e razão de áreas: se os lados variam por k, as áreas variam por k².
- Aplicar Tales sem paralelismo: as retas paralelas são a condição que garante a proporcionalidade.
- Comparar parte com total como se fossem partes correspondentes: AD/DB deve corresponder a AE/EC; AD/AB deve corresponder a AE/AC.
- Ignorar unidades: converta centímetros, metros e quilômetros antes de interpretar o resultado.
- Usar sombras medidas em horários diferentes: a inclinação dos raios solares varia com o tempo.
12. Revisão e aprofundamento
Um cartaz retangular de 24 cm por 36 cm será ampliado para que o lado de 24 cm passe a medir 40 cm. Qual deverá ser a medida do outro lado para manter a semelhança?
Duas molduras retangulares medem 18 cm por 30 cm e 27 cm por 45 cm. Verifique se são semelhantes e determine a razão da maior para a menor.
Uma peça de uma maquete foi construída com razão linear 1:5 em relação à peça real. Se a área da face da maquete é 32 cm², qual é a área correspondente na peça real?
Um triângulo possui lados 10 cm, 14 cm e 18 cm. Outro possui lados 15 cm, 21 cm e 27 cm. Comprove a semelhança e determine a razão do segundo para o primeiro.
Dois triângulos semelhantes possuem perímetros de 42 cm e 63 cm. Se um lado do menor mede 16 cm, determine o lado correspondente no maior.
As áreas de dois triângulos semelhantes são 72 cm² e 200 cm². Se um lado do primeiro mede 9 cm, determine o lado correspondente no segundo.
Uma haste de 1,2 m projeta uma sombra de 0,8 m. No mesmo instante, um poste projeta uma sombra de 6,4 m. Determine a altura do poste.
Uma estudante com olhos a 1,5 m do chão está a 2,5 m de um espelho colocado no solo. Ela vê no espelho o topo de uma torre situada a 40 m do espelho. Determine a altura da torre.
Na escala 1:400, a distância entre dois blocos mede 7,5 cm. Determine a distância real em metros.
Três ruas paralelas cortam duas avenidas. Em uma avenida, os trechos consecutivos medem 180 m e 270 m. Na outra, o primeiro trecho mede 220 m. Determine o segundo trecho.
No triângulo ABC, DE∥BC. São dados AD=8 cm, DB=6 cm, AE=12 cm e EC=x. Determine x.
No triângulo ABC, DE∥BC. Se AD=10 cm, AB=25 cm e BC=35 cm, determine DE.
Em um triângulo ABC, os pontos D e E pertencem a AB e AC. São dados AD=9 cm, DB=6 cm, AE=12 cm e EC=8 cm. É possível concluir que DE∥BC? Justifique.
Um levantamento criou dois triângulos semelhantes. No menor, dois lados correspondentes medem 15 m e 24 m. No maior, o lado correspondente a 15 m mede 40 m. Determine a medida correspondente ao lado de 24 m.
Para calcular a altura de uma árvore, um aluno comparou sua sombra de 9 m com a sombra de uma estaca de 1 m. Ele afirmou que a árvore mede 9 m, mas não informou a altura da estaca. Explique por que os dados são insuficientes e indique qual informação falta.