Funções seno, cosseno e tangente e equações trigonométricas
Muitos fenômenos se repetem em intervalos regulares: as marés, o movimento de uma roda-gigante, a intensidade de uma onda sonora e a variação da duração dos dias. As funções trigonométricas permitem representar esses ciclos, comparar seus ritmos e prever valores futuros.
Nesta postagem, estudaremos como construir e interpretar os gráficos das funções seno, cosseno e tangente. Em seguida, usaremos a circunferência trigonométrica e os próprios gráficos para resolver equações.
BNCC: EM13MAT306 / EM13MAT404.
É importante reconhecer seno, cosseno e tangente na circunferência trigonométrica, trabalhar com graus e radianos e identificar os sinais dessas razões em cada quadrante.
1. O que caracteriza uma função periódica?
Uma função é periódica quando seus valores se repetem depois de um mesmo intervalo. O menor intervalo positivo de repetição é chamado de período.
Amplitude
Distância vertical entre a linha média e um valor máximo ou mínimo.
Período
Comprimento horizontal necessário para completar um ciclo.
Linha média
Reta horizontal que fica no centro da oscilação.
2. Função seno
A função seno associa a cada número real x o valor de sen x. Uma volta completa na circunferência corresponde a 2π radianos, por isso o gráfico volta a assumir os mesmos valores a cada 2π.
| Propriedade | Função seno |
|---|---|
| Domínio | Todos os números reais |
| Imagem | [−1,1] |
| Período | 2π |
| Zeros | x=kπ, com k inteiro |
| Valor máximo | 1 |
| Valor mínimo | −1 |
3. Transformações da função seno
- |a| determina a amplitude;
- 2π|b| determina o período;
- −cb indica o deslocamento horizontal;
- d determina a linha média y=d;
- a imagem é [d−|a|,d+|a|].
Considere f(x)=2·sen(3x)+1. A amplitude é |2|=2. Como b=3, o ciclo completo mede:
A linha média é y=1. Assim, o maior valor é 1+2=3, o menor é 1−2=−1 e a imagem é [−1,3].
Em certo porto, a altura h, em metros, é aproximada por h(t)=2·sen(πt6)+3, em que t é medido em horas.
A amplitude 2 indica que a altura varia 2 m acima e abaixo da linha média de 3 m. Portanto, varia de 1 m a 5 m. Como b=π6:
A maré completa um ciclo a cada 12 horas.
Para desenhar um ciclo de f(x)=2·sen(3x)+1, dividimos o período 2π3 em quatro partes iguais. Cada intervalo mede π6. Os cinco pontos principais são:
Esse procedimento permite construir o gráfico a partir das propriedades da função.
4. Função cosseno
A função cosseno tem a mesma amplitude e o mesmo período da função seno básica. A diferença está no início do ciclo: em x=0, o cosseno vale 1, enquanto o seno vale 0.
Para g(x)=3·cos(x2)−2, temos amplitude 3, linha média y=−2 e:
O maior valor é −2+3=1 e o menor é −2−3=−5. Logo, a imagem é [−5,1].
A cabine mais baixa de uma roda-gigante está a 2 m do solo. O raio mede 12 m e uma volta dura 40 minutos. Se o movimento começa no ponto mais baixo, a altura pode ser representada por:
A linha média é 14 m, a amplitude é 12 m e o período é 40 minutos.
h(10)=14−12·cos(π2)=14 m
h(20)=14−12·cos π=26 m
Pratique 1
Respostas comentadas
Questão 1. A amplitude é 1,5, a linha média é y=4 e o período é 2π2=π. A imagem vai de 4−1,5=2,5 até 4+1,5=5,5.
Questão 2. Máximo 20+6=26 °C e mínimo 20−6=14 °C. Como b=π12, o período é 2π÷π12=24 horas.
Questão 3. O sinal negativo reflete o gráfico em relação à linha média. A amplitude continua sendo 3. Como a linha média é 2, a imagem é [−1,5].
Questão 4. A linha média é 14 m. Então cos(πt20)=0. Na primeira volta, isso ocorre quando t=10 e t=30 minutos.
5. Modelagem de movimentos periódicos
As funções seno e cosseno são especialmente úteis quando uma grandeza sobe e desce em torno de um valor central. Na roda-gigante, a altura da cabine depende da projeção vertical do raio.
Na função h(t)=14−12·cos(πt20), o sinal negativo faz a cabine começar abaixo da linha média. Em t=0, cos 0=1 e a altura é 2 m. Depois de metade do período, em t=20, o cosseno vale −1 e a cabine atinge 26 m.
Assim, os parâmetros da fórmula correspondem diretamente à geometria do movimento.
6. Função tangente
A tangente é definida pela razão entre seno e cosseno. Ela não existe quando cos x=0, pois não se pode dividir por zero.
| Propriedade | Função tangente |
|---|---|
| Domínio | x≠π2+kπ |
| Imagem | Todos os números reais |
| Período | π |
| Zeros | x=kπ |
| Assíntotas verticais | x=π2+kπ |
7. Transformações da função tangente
O período passa a ser π|b|. O parâmetro d desloca o centro dos ramos para a reta y=d. Não usamos a palavra amplitude porque a tangente cresce sem limite.
Considere y=2·tg(2x)−1. Seu período é π2. As assíntotas aparecem quando cos(2x)=0:
x=π4+k·π2
O gráfico passa pelos centros dos ramos quando 2x=kπ, nos pontos de ordenada −1.
8. Equações trigonométricas
Resolver uma equação trigonométrica significa encontrar todos os ângulos que produzem determinado valor de seno, cosseno ou tangente. Antes de procurar os ângulos, devemos isolar a razão trigonométrica.
| Equação | Soluções gerais |
|---|---|
| sen x=sen α | x=α+2kπ ou x=π−α+2kπ |
| cos x=cos α | x=α+2kπ ou x=−α+2kπ |
| tg x=tg α | x=α+kπ |
Resolva 2·sen x−1=0 no intervalo 0≤x<2π.
sen x=12
O seno é positivo no 1º e no 2º quadrantes. O ângulo de referência é π6. Portanto:
Resolva cos(2x)=0 no intervalo 0≤x<2π.
O cosseno se anula em π2+kπ. Logo:
x=π4+k·π2
No intervalo indicado, k=0,1,2,3. Assim:
Na roda-gigante, h(t)=14−12·cos(πt20). Quando a cabine está a 20 m do solo?
6=−12·cos(πt20)
cos(πt20)=−12
Na primeira volta, o cosseno vale −12 nos ângulos 2π3 e 4π3.
πt20=4π3 ⇒ t=803 min
Pratique 2
Respostas comentadas
Questão 1. Referência π4; seno negativo no 3º e 4º quadrantes. Logo, x=5π4 ou x=7π4.
Questão 2. cos x=−√32. Referência π6; cosseno negativo no 2º e 3º quadrantes. Logo, x=5π6 ou x=7π6.
Questão 3. A solução geral é x=π4+kπ. No intervalo, obtemos x=−3π4 e x=π4.
Questão 4. sen(3x)=0 quando 3x=kπ, então x=kπ3. Para k=0,1,2,3,4,5,6: x∈{0,π3,2π3,π,4π3,5π3,2π}.
9. Estratégia de leitura e resolução
| Aspecto | Seno | Cosseno | Tangente |
|---|---|---|---|
| Período básico | 2π | 2π | π |
| Imagem | [−1,1] | [−1,1] | ℝ |
| Valor em x=0 | 0 | 1 | 0 |
| Possui amplitude? | Sim | Sim | Não |
| Possui assíntotas? | Não | Não | Sim |
Uma grandeza começa no valor máximo, diminui até o mínimo e depois retorna ao máximo. Nesse caso, uma função cosseno com coeficiente positivo é uma escolha natural, pois cos 0=1.
Se o máximo é 18, o mínimo é 6 e o período é 10, então:
linha média=18+62=12
b=2π10=π5
Uma expressão possível é f(t)=6·cos(πt5)+12.
Na equação tg x=−1, a referência é π4. A tangente é negativa no 2º e no 4º quadrantes. Em 0≤x<2π:
Como o período da tangente é π, as duas soluções diferem exatamente por π.
10. Erros frequentes
Antes de concluir um cálculo, verifique se o período corresponde à função estudada, se a amplitude foi tomada em valor absoluto e se todas as soluções pertencem ao intervalo solicitado.
- Não confunda amplitude com a distância total entre máximo e mínimo. A amplitude é a metade dessa distância.
- Na função tangente, o período básico é π e não 2π.
- O sinal negativo do coeficiente a reflete o gráfico, mas a amplitude continua sendo |a|.
- Em uma equação, encontrar o ângulo de referência não encerra a resolução. Ainda é necessário analisar os quadrantes.
- Uma expressão no denominador exige a verificação dos valores para os quais ela se anula.
Um estudante resolveu sen x=12 e escreveu apenas x=π6. O valor encontrado está correto, mas a resposta está incompleta.
No intervalo 0≤x<2π, o seno é positivo no 1º e no 2º quadrantes. Portanto: