Seno, cosseno, tangente e redução ao primeiro quadrante
Na circunferência trigonométrica, cada ângulo determina um ponto. As coordenadas desse ponto permitem definir seno, cosseno e tangente para ângulos de qualquer medida, e não apenas para os ângulos agudos de um triângulo retângulo.
Essa interpretação explica os sinais das razões trigonométricas, as relações entre ângulos de quadrantes diferentes e as estratégias usadas para reduzir um cálculo ao primeiro quadrante.
BNCC: EM13MAT306 / EM13MAT404.
É importante reconhecer a circunferência trigonométrica, os quadrantes, as coordenadas cartesianas, os ângulos notáveis e o Teorema de Pitágoras.
1. Seno e cosseno como coordenadas
Considere um ângulo α medido a partir do semieixo horizontal positivo. Seu lado terminal encontra a circunferência trigonométrica no ponto P.
Como a circunferência possui raio 1, definimos:
- cos α é a coordenada horizontal de P;
- sen α é a coordenada vertical de P.
Um ponto da circunferência associado ao ângulo α possui coordenadas P=(0,6;0,8). Logo:
sen α=0,8
Como as duas coordenadas são positivas, o ponto está no 1º quadrante.
2. Sinais nos quadrantes
Os sinais do seno e do cosseno acompanham os sinais das coordenadas y e x. A tangente, estudada adiante, será positiva quando seno e cosseno tiverem o mesmo sinal.
| Quadrante | Seno | Cosseno | Tangente |
|---|---|---|---|
| 1º | + | + | + |
| 2º | + | − | − |
| 3º | − | − | + |
| 4º | − | + | − |
O ângulo 230° está entre 180° e 270°, portanto pertence ao 3º quadrante. Assim:
cos 230°<0
tg 230°>0
3. Valores nos eixos
Nos quatro pontos principais da circunferência, as coordenadas podem ser lidas diretamente:
| Ângulo | Ponto | Cosseno | Seno |
|---|---|---|---|
| 0 ou 2π | (1,0) | 1 | 0 |
| π2 | (0,1) | 0 | 1 |
| π | (−1,0) | −1 | 0 |
| 3π2 | (0,−1) | 0 | −1 |
4. Valores notáveis no primeiro quadrante
Os valores de 30°, 45° e 60° vêm dos triângulos notáveis. Eles servirão como referência para ângulos dos demais quadrantes.
| Ângulo | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|
| Radianos | 0 | π6 | π4 | π3 | π2 |
| sen | 0 | 12 | √22 | √32 | 1 |
| cos | 1 | √32 | √22 | 12 | 0 |
| tg | 0 | √33 | 1 | √3 | não existe |
Na circunferência trigonométrica, o ponto correspondente a 60° possui coordenadas:
As duas coordenadas são positivas, como deve ocorrer no primeiro quadrante.
5. Tangente na circunferência trigonométrica
Quando cos α≠0, a tangente pode ser definida pela razão:
Geometricamente, prolongamos o lado terminal do ângulo até encontrar a reta tangente à circunferência no ponto (1,0). A coordenada vertical desse encontro representa tg α.
Quando a tangente não existe?
Se cos α=0, a razão sen αcos α teria denominador zero. Isso ocorre nos ângulos:
Em graus, são 90°, 270°, 450° e todos os ângulos côngruos a 90° ou 270°.
Se sen α=35 e cos α=−45, então:
Como o seno é positivo e o cosseno é negativo, o ângulo está no 2º quadrante, onde a tangente é negativa.
6. Relação trigonométrica fundamental
Todo ponto P=(cos α,sen α) da circunferência de raio 1 satisfaz a equação x²+y²=1. Substituindo as coordenadas:
Essa igualdade permite determinar seno ou cosseno quando conhecemos a outra razão e o quadrante do ângulo.
Sabe-se que sen α=513 e que α está no 2º quadrante. Determine cos α.
25169+cos² α=1
cos² α=144169
|cos α|=1213
No 2º quadrante, o cosseno é negativo. Portanto:
Se cos β=817 e β está no 4º quadrante, então:
|sen β|=1517
No 4º quadrante, o seno é negativo:
tg β=(−1517)÷817=−158
7. Redução ao primeiro quadrante
Ângulos de outros quadrantes podem ser relacionados a um ângulo agudo do primeiro quadrante. Esse ângulo agudo é chamado de ângulo de referência.
| Quadrante de α | Ângulo de referência θ | Sinal do seno | Sinal do cosseno | Sinal da tangente |
|---|---|---|---|---|
| 1º | θ=α | + | + | + |
| 2º | θ=180°−α | + | − | − |
| 3º | θ=α−180° | − | − | + |
| 4º | θ=360°−α | − | + | − |
O ângulo está no 2º quadrante. Seu ângulo de referência é:
No 2º quadrante, seno é positivo, cosseno e tangente são negativos:
cos 150°=−cos 30°=−√32
tg 150°=−tg 30°=−√33
O ângulo está no 3º quadrante e seu ângulo de referência é 225°−180°=45°. Nesse quadrante, seno e cosseno são negativos e a tangente é positiva:
cos 225°=−√22
tg 225°=1
O ângulo está no 4º quadrante. Seu ângulo de referência é 360°−330°=30°. Logo:
cos 330°=√32
tg 330°=−√33
Pratique 1
Respostas comentadas
Questão 1
120° está no 2º quadrante e possui referência 60°:
cos 120°=−12
tg 120°=−√3
Questão 2
315° está no 4º quadrante e θ=360°−315°=45°:
cos 315°=√22
tg 315°=−1
Questão 3
|cos α|=2425
No 2º quadrante, cos α é negativo:
tg α=725÷(−2425)=−724
Questão 4
x²=0,64
|x|=0,8
No 4º quadrante, x é positivo. Portanto:
sen α=−0,6
tg α=−0,60,8=−0,75
8. Aplicações das coordenadas trigonométricas
Quando um ponto se move em uma trajetória circular de raio R e centro C=(a,b), suas coordenadas podem ser escritas como:
O cosseno controla o deslocamento horizontal em relação ao centro, enquanto o seno controla o deslocamento vertical.
Uma roda-gigante tem raio 12 m e seu centro está a 14 m do solo. Uma cabine ocupa a posição correspondente a 150°. Qual é sua altura?
A altura é a coordenada vertical do centro acrescida de R·sen α:
h=14+12·12=20 m
Embora 150° esteja no 2º quadrante, o seno é positivo, pois a cabine está acima do centro.
A extremidade de uma haste de 5 m gira em torno de um ponto fixo. Na posição 210°, qual é o deslocamento horizontal em relação ao centro?
O ângulo de referência é 30° e, no 3º quadrante, o cosseno é negativo:
O sinal negativo indica que a extremidade está à esquerda do centro.
Um feixe sai da origem e atinge um anteparo vertical. Seu ângulo com o eixo horizontal é 135°. A tangente indica a variação vertical para cada unidade horizontal:
O valor negativo mostra que, na orientação cartesiana, a reta desce uma unidade quando x aumenta uma unidade.
Pratique 2
Respostas comentadas
Questão 1
Usamos h=12+10·sen α. Os ângulos 30° e 150° têm seno 12; 210° e 330° têm seno −12:
h(210°)=h(330°)=12−10·12=7 m
Questão 2
Em 135°, cos α=−√22 e sen α=√22:
y=8·√22=4√2
Logo, P=(−4√2;4√2) m.
Questão 3
|sen α|=0,6
No 3º quadrante, o seno é negativo:
tg α=−0,6−0,8=0,75
Questão 4
A tangente é sen αcos α. Em 270°, sen 270°=−1 e cos 270°=0. A divisão por zero não existe, portanto tg 270° não está definida.
9. Estratégia de resolução
1. Localize o ângulo
Retire voltas completas e identifique o quadrante ou o eixo.
2. Encontre a referência
Relacione o ângulo a uma medida entre 0° e 90°.
3. Calcule o módulo
Use o valor notável ou a relação sen² α+cos² α=1.
4. Aplique o sinal
Escolha o sinal de acordo com o quadrante e com a razão pedida.
5. Verifique a tangente
Confirme que o cosseno não é zero antes de dividir.
6. Interprete o contexto
Explique o significado de coordenadas e sinais na situação apresentada.
10. Erros frequentes
Trocar seno e cosseno
Cosseno é a coordenada horizontal; seno é a vertical.
Copiar o sinal do ângulo
O sinal da razão depende do quadrante, não do fato de a medida ser positiva.
Esquecer as duas raízes
A equação x²=a produz |x|=√a; o quadrante define o sinal.
Usar referência errada
No 3º quadrante, subtraia 180°; no 4º, subtraia o ângulo de 360°.
Dividir por zero
A tangente não existe quando cos α=0.
Ignorar o raio
Em trajetórias de raio R, as coordenadas relativas são R·cos α e R·sen α.
11. Revisão e aprofundamento
Determine os sinais de sen α, cos α e tg α para α=248° e justifique pelo quadrante.
Determine seno, cosseno e tangente de 135° usando o ângulo de referência.
Determine seno, cosseno e tangente de 240°.
Determine seno, cosseno e tangente de 11π6.
Sabe-se que cos α=35 e que α pertence ao 4º quadrante. Determine sen α e tg α.
O ponto P=(−1213;y) está no 3º quadrante e pertence à circunferência trigonométrica. Determine y e as três razões trigonométricas.
Explique por que a tangente não existe em 90° e 270°, relacionando a definição algébrica e a representação geométrica.
Uma roda de raio 6 m tem centro em C=(4,10). Determine as coordenadas de um ponto da borda na posição 300°.
Uma cabine percorre uma circunferência de raio 9 m cujo centro está a 11 m do solo. Determine sua altura nas posições 60° e 300° e explique o resultado.
Um ângulo α satisfaz sen α<0 e tg α>0. Em qual quadrante ele pode estar? Qual é o sinal de cos α?
Para um ângulo α, sen α=−0,28 e cos α=−0,96. Verifique se esses valores podem ser coordenadas de um ponto da circunferência trigonométrica e determine tg α.
Determine seno, cosseno e tangente de 765°, reduzindo primeiro a medida a uma volta.
Um estudante escreveu cos 150°=cos 30° porque os dois ângulos possuem referência 30°. Identifique o erro e corrija o resultado.
Uma haste de 14 m gira em torno da origem. Determine as coordenadas de sua extremidade em 225° e interprete os sinais encontrados.
Um sensor move-se em uma circunferência de raio 20 cm e centro C=(30,40). Na posição 120°, determine suas coordenadas, a distância horizontal ao centro e a altura em relação ao eixo horizontal.