Composição de funções (função composta) e função inversa
Em muitos processos, uma transformação acontece depois de outra. Um preço pode receber primeiro um desconto e depois um imposto; uma temperatura pode ser convertida para outra escala; uma medida captada por um sensor pode passar por uma correção. A composição de funções representa matematicamente essas etapas sucessivas.
A função inversa realiza o caminho contrário: a partir do resultado, recupera o valor de entrada. Neste estudo, analisaremos composição, ordem, domínio, condições de invertibilidade, determinação algébrica e relação entre os gráficos.
EM13MAT101 — interpretar criticamente situações econômicas, sociais e fatos relativos às Ciências da Natureza que envolvam a variação de grandezas, pela análise dos gráficos das funções representadas e das taxas de variação, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
EM13MAT501 — investigar relações entre números expressos em tabelas para representá-los no plano cartesiano, identificando padrões e criando conjecturas para generalizar e expressar algebricamente essa generalização, reconhecendo quando essa representação é de função polinomial de primeiro grau.
1. Composição de funções e função composta
A composição de funções é o processo de aplicar uma função ao resultado de outra. A função obtida por esse processo recebe o nome de função composta. Portanto, composição de funções é a operação realizada, enquanto função composta é o resultado dessa operação.
Se primeiro aplicamos f e depois aplicamos g, obtemos a função composta de g com f:
A leitura é “g composta com f”. A notação (g ∘ f)(x) representa a função composta, e a função escrita mais próxima de x, neste caso f, é aplicada primeiro.
Se f(x) = 2x + 1 e g(x) = x2, então:
(g ∘ f)(x) = (2x + 1)2
(g ∘ f)(x) = 4x2 + 4x + 1
2. Determinação da função composta
Para determinar uma composição, substituímos cada ocorrência da variável da função externa pela expressão da função interna.
Considere f(x) = 3x − 2 e g(x) = 5x + 4.
(g ∘ f)(x) = 5(3x − 2) + 4
(g ∘ f)(x) = 15x − 6
Se f(x) = x − 3 e g(x) = x2 + 2, então:
(g ∘ f)(x) = x2 − 6x + 11
3. Ordem da composição
Em geral, trocar a ordem altera o resultado. Portanto, a composição de funções não é comutativa.
Para f(x) = 2x + 1 e g(x) = x2:
(f ∘ g)(x) = 2x2 + 1
As expressões são diferentes. Em x = 1, a primeira vale 9 e a segunda vale 3.
Pratique
1. Se f(x) = x + 4 e g(x) = 3x, determine (g ∘ f)(x).
2. Para f(x) = x2 e g(x) = x − 5, determine (f ∘ g)(x).
3. Com f(x) = 2x − 1 e g(x) = x + 3, compare (g ∘ f)(x) e (f ∘ g)(x).
Ver respostas
1.
2.
3.
f(g(x)) = 2(x + 3) − 1 = 2x + 5
As composições são diferentes.
4. Domínio da função composta
Para que (g ∘ f)(x) exista, x deve pertencer ao domínio de f e o valor f(x) deve pertencer ao domínio de g.
Se f(x) = x − 2 e g(x) = √x, então:
Precisamos de x − 2 ≥ 0. Logo, o domínio é [2,+∞).
Se f(x) = x + 1 e g(x) = 1/x, então:
Como o denominador não pode ser zero, x ≠ −1.
Pratique
1. Determine o domínio de g(f(x)), com f(x) = 2x − 6 e g(x) = √x.
2. Determine o domínio de g(f(x)), com f(x) = x2 e g(x) = 1/(x − 9).
3. Se f(x) = x − 1 e g(x) = √(4 − x), determine g(f(x)) e seu domínio.
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1.
2x − 6 ≥ 0 ⇒ x ≥ 3
2.
Devemos ter x2 − 9 ≠ 0. Logo, x ≠ −3 e x ≠ 3.
3.
5 − x ≥ 0 ⇒ x ≤ 5
5. Aplicações da composição
Um produto de preço x recebe desconto de 20% e, depois, imposto de 10% sobre o preço descontado. Definimos d(x) = 0,8x e i(x) = 1,1x.
O preço final corresponde a 88% do original.
A função C(F) = (5/9)(F − 32) converte Fahrenheit em Celsius. Se um sensor acrescenta 2 °F à leitura real, S(x) = x + 2. A temperatura corrigida em Celsius é:
C(S(x)) = (5/9)(x − 30)
6. Conceito de função inversa
A inversa de uma função f desfaz a transformação realizada por f. Sua notação é f−1, que não significa 1/f.
Se f(x) = x + 7, a inversa deve subtrair 7:
f−1(f(x)) = (x + 7) − 7 = x
7. Condições para a existência da inversa
Para possuir inversa como função entre os conjuntos considerados, f deve ser bijetiva.
| Classificação | Significado |
|---|---|
| Injetiva | entradas diferentes produzem imagens diferentes |
| Sobrejetiva | todo elemento do contradomínio é imagem de pelo menos um elemento do domínio |
| Bijetiva | é simultaneamente injetiva e sobrejetiva |
Graficamente, uma função é injetiva quando toda reta horizontal encontra seu gráfico no máximo uma vez. Esse procedimento é conhecido como teste da reta horizontal.
Pratique
1. Explique por que f(x) = 3x − 1 é injetiva em ℝ.
2. A função f(x) = x2, de ℝ em ℝ, possui inversa? Justifique.
3. Que restrição de domínio permite inverter f(x) = (x − 2)2 usando a raiz quadrada principal?
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1.
É uma função afim com coeficiente angular diferente de zero. Se x1 ≠ x2, então 3x1 − 1 ≠ 3x2 − 1.
2.
Não. Ela não é injetiva em ℝ, pois números opostos possuem a mesma imagem.
3.
Podemos restringir o domínio a x ≥ 2. Nesse intervalo, a função é crescente e injetiva.
8. Determinação algébrica da inversa
Para determinar f−1, seguimos quatro etapas:
- escrever y = f(x);
- trocar x por y e y por x;
- isolar y;
- escrever y = f−1(x) e indicar as restrições necessárias.
Determine a inversa de f(x) = 3x − 5.
x = 3y − 5
x + 5 = 3y
y = (x + 5)/3
Considere f(x) = x2 + 1, com domínio [0,+∞).
x = y2 + 1
y2 = x − 1
y = √(x − 1)
Logo, f−1(x) = √(x − 1), com domínio [1,+∞).
Considere f(x) = (2x + 1)/(x − 3).
yx − 3y = 2x + 1
x(y − 2) = 3y + 1
x = (3y + 1)/(y − 2)
O domínio de f exclui 3, e o domínio da inversa exclui 2.
Pratique
1. Determine a inversa de f(x) = 4x + 7.
2. Determine a inversa de g(x) = (x − 3)/2.
3. Determine a inversa de h(x) = (x + 1)2, considerando x ≥ −1.
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1.
f−1(x) = (x − 7)/4.
2.
2x = y − 3 ⇒ y = 2x + 3
g−1(x) = 2x + 3.
3.
√x = y + 1 ⇒ y = √x − 1
h−1(x) = √x − 1, com x ≥ 0.
9. Verificação por composição
Uma expressão candidata é realmente a inversa quando as duas composições produzem a função identidade.
Para f(x) = 3x − 5 e f−1(x) = (x + 5)/3:
f−1(f(x)) = [(3x − 5) + 5]/3 = x
10. Domínio e imagem na função inversa
Ao inverter uma função, domínio e imagem trocam de papel.
Se f transforma elementos de A em elementos de B de modo bijetivo, f−1 transforma B novamente em A.
11. Gráficos de uma função e de sua inversa
Os gráficos de f e f−1 são simétricos em relação à reta y = x. Se (a,b) pertence ao gráfico de f, então (b,a) pertence ao gráfico da inversa.
Pratique
1. Se (2,9) pertence ao gráfico de f, qual ponto pertence ao gráfico de f−1?
2. A função f tem domínio [0,+∞) e imagem [4,+∞). Determine domínio e imagem de f−1.
3. Explique por que os gráficos de f(x) = x + 2 e f−1(x) = x − 2 são simétricos em relação a y = x.
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1.
O ponto é (9,2).
2.
Dom(f−1) = [4,+∞) e Im(f−1) = [0,+∞).
3.
Cada ponto (a,a + 2) do primeiro gráfico corresponde ao ponto (a + 2,a) do segundo. As coordenadas são trocadas, produzindo reflexão em y = x.
12. Aplicações da função inversa
A conversão de Celsius para Fahrenheit é F(C) = (9/5)C + 32. Invertendo:
x = (9/5)y + 32
x − 32 = (9/5)y
y = (5/9)(x − 32)
Assim, F−1(x) = (5/9)(x − 32), que converte Fahrenheit em Celsius.
A área de um quadrado de lado l ≥ 0 é A(l) = l2. A inversa recupera o lado a partir da área:
Se a área é 144 m², o lado mede √144 = 12 m.
Pratique
1. Um táxi cobra C(d) = 6 + 2,5d, com d em quilômetros. Determine a inversa e interprete-a.
2. A quantidade de combustível em um tanque é V(h) = 40h, com h em metros. Determine a altura correspondente a 120 L.
3. Uma máquina converte uma entrada x em y = 1,2x + 4. Qual entrada produziu a saída 28?
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1.
C−1(x) = (x − 6)/2,5 informa a distância percorrida a partir do preço pago.
2.
V−1(120) = 3
A altura é 3 m.
3.
24 = 1,2x
x = 20
13. Erros frequentes
- Trocar a ordem: g ∘ f significa aplicar f primeiro e g depois.
- Ignorar o domínio: a saída da função interna precisa pertencer ao domínio da externa.
- Confundir f−1 com 1/f: a inversa desfaz a função; o recíproco apenas divide 1 pelo valor de f.
- Inverter uma função não injetiva: pode ser necessário restringir o domínio.
- Trocar x e y sem isolar a nova variável: a determinação algébrica só termina após isolar y.
- Esquecer a troca entre domínio e imagem: a imagem de f torna-se o domínio de f−1.
14. Revisão e aprofundamento
Se f(x) = x + 2 e g(x) = 3x, então (g ∘ f)(x) é:
Para f(x) = 2x e g(x) = x − 1, é correto afirmar que:
A inversa de f(x) = 5x − 4 é:
A função f(x) = x2, definida em ℝ, não possui inversa em ℝ porque:
Se (−3,7) pertence ao gráfico de f, então pertence ao gráfico de f−1 o ponto:
Uma loja aplica primeiro desconto de 15% e depois acrescenta uma taxa de entrega fixa de R 20,00. Para um produto de R 200,00, qual é o preço final?
Um aplicativo converte quilômetros em milhas por m(k) = 0,625k e depois calcula o custo C(m) = 4 + 2m. Qual custo corresponde a uma viagem de 16 km?
Um sensor registra S(t) = 1,5t + 6. Se a leitura foi 42, qual era o valor real t?
A área de uma placa quadrada é A(l) = l2, com l ≥ 0. Se a área é 225 cm², qual é a medida do lado?
A conversão de Celsius para Fahrenheit é F(C) = (9/5)C + 32. Uma previsão informou 95 °F. Qual é a temperatura correspondente em Celsius?