Logaritmos, função logarítmica, equações e inequações
Quando conhecemos uma base e o resultado de uma potência, o logaritmo permite descobrir o expoente. Essa ideia é útil para estudar fenômenos que variam em escalas muito amplas, como intensidade sonora, acidez, magnitude de terremotos e tempo de crescimento de um investimento.
Neste estudo, construiremos o conceito de logaritmo a partir da potenciação, analisaremos suas condições de existência e propriedades, interpretaremos a função logarítmica e resolveremos equações, inequações e problemas.
EM13MAT305 — resolver e elaborar problemas com funções logarítmicas nos quais seja necessário compreender e interpretar a variação das grandezas envolvidas, em contextos como abalos sísmicos, pH, radioatividade, Matemática Financeira, entre outros.
EM13MAT403 — analisar e estabelecer relações, com ou sem apoio de tecnologias digitais, entre as representações de funções exponenciais e logarítmicas expressas em tabelas e no plano cartesiano, para identificar suas características fundamentais.
1. Conceito de logaritmo
O logaritmo responde à pergunta: a que expoente devemos elevar uma base para obter determinado número?
Nessa igualdade, a é a base, b é o logaritmando e x é o logaritmo.
log10 0,01 = −2, pois 10−2 = 0,01
log5 1 = 0, pois 50 = 1
log4 2 = 1/2, pois 41/2 = 2
Para calcular log3 81, procuramos o expoente x tal que 3x = 81.
x = 4
log3 81 = 4
2. Condições de existência
Para que loga b exista no conjunto dos números reais, três condições devem ser satisfeitas:
| Condição | Justificativa |
|---|---|
| a > 0 | a base positiva permite definir a potência para todo expoente real |
| a ≠ 1 | como 1x = 1 para todo x, a base 1 não determina um expoente único |
| b > 0 | uma potência de base positiva nunca produz zero nem número negativo |
- log2 16 existe, pois a base é positiva e diferente de 1 e o logaritmando é positivo.
- log1 7 não existe, pois a base é 1.
- log−2 8 não está definido nos reais, pois a base é negativa.
- log3 0 e log3(−5) não existem nos reais, pois o logaritmando deve ser positivo.
Pratique
1. Calcule log2 32, log3(1/27) e log9 3.
2. Escreva log5 125 = 3 na forma exponencial.
3. Determine os valores de x para os quais log4(2x − 6) existe.
Ver respostas
1.
log3(1/27) = −3, pois 3−3 = 1/27
log9 3 = 1/2, pois 91/2 = 3
2.
3.
2x > 6
x > 3
3. Consequências imediatas da definição
Alguns resultados aparecem diretamente da equivalência entre logaritmo e potência:
| Resultado | Motivo |
|---|---|
| loga 1 = 0 | a0 = 1 |
| loga a = 1 | a1 = a |
| loga(ax) = x | logaritmo e exponenciação de mesma base são operações inversas |
| aloga x = x | a composição das operações recupera o número positivo x |
log12 12 = 1
log3(38) = 8
5log5 11 = 11
4. Propriedades dos logaritmos
As propriedades transformam produtos em somas, quocientes em diferenças e potências em produtos. Considere M > 0, N > 0, a > 0 e a ≠ 1.
| Propriedade | Expressão |
|---|---|
| Logaritmo do produto | loga(M · N) = loga M + loga N |
| Logaritmo do quociente | loga(M/N) = loga M − loga N |
| Logaritmo de uma potência | loga(Mk) = k · loga M |
| Mudança de base | loga M = logc M ÷ logc a |
log3(81/9) = log3 81 − log3 9 = 4 − 2 = 2
log5(253) = 3 · log5 25 = 3 · 2 = 6
Quando a calculadora possui apenas as teclas log e ln, podemos calcular logaritmos em outras bases:
Pratique
1. Calcule log2 4 + log2 8.
2. Simplifique log3 54 − log3 2.
3. Sabendo que log 2 ≈ 0,3010 e log 3 ≈ 0,4771, calcule aproximadamente log 12.
Ver respostas
1.
2.
= log3 27 = 3
3.
log 12 = log 3 + 2 · log 2
log 12 ≈ 0,4771 + 2 · 0,3010
log 12 ≈ 1,0791
5. Logaritmos decimais e naturais
Quando a base é 10, costuma-se escrever apenas log x. Esse é o logaritmo decimal. Quando a base é o número irracional e ≈ 2,71828, escrevemos ln x, chamado logaritmo natural ou neperiano.
Os dois podem ser usados na mudança de base:
6. Função logarítmica
A função logarítmica de base a é definida por:
- Domínio: (0,+∞), pois o logaritmando deve ser positivo.
- Imagem: ℝ, pois o logaritmo pode assumir qualquer valor real.
- Zero da função: x = 1, pois loga 1 = 0.
- Assíntota vertical: o eixo y, isto é, a reta x = 0.
- Interseção com o eixo y: não existe, pois x = 0 não pertence ao domínio.
Para f(x) = log2 x:
| x | 1/4 | 1/2 | 1 | 2 | 4 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| log2 x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
7. Gráfico e comportamento
O comportamento depende da base:
- Se a > 1, f(x) = loga x é crescente.
- Se 0 < a < 1, f(x) = loga x é decrescente.
As duas curvas passam por (1,0). Elas nunca encontram o eixo y e se aproximam indefinidamente da reta x = 0.
Pratique
1. Determine domínio, imagem e zero de f(x) = log3 x.
2. Classifique g(x) = log1/4 x como crescente ou decrescente.
3. Determine o domínio de h(x) = log2(x + 5).
Ver respostas
1.
Domínio: (0,+∞); imagem: ℝ; zero: x = 1.
2.
Como 0 < 1/4 < 1, a função é decrescente.
3.
x > −5
O domínio é (−5,+∞).
8. Relação entre funções exponencial e logarítmica
As funções f(x) = ax e g(x) = loga x são inversas. Por isso, quando trocamos as coordenadas de um ponto de uma função, obtemos um ponto da outra.
log2 8 = 3 ⇒ (8,3) pertence ao gráfico de y = log2 x
Os gráficos são simétricos em relação à reta y = x.
9. Equações logarítmicas
Antes de resolver uma equação logarítmica, devemos estabelecer as condições de existência. Ao final, toda solução precisa ser verificada no domínio.
Resolva log2(x − 1) = 3.
x − 1 = 23
x − 1 = 8
x = 9
Como 9 pertence ao domínio, a solução é válida.
Resolva log3 x + log3(x − 2) = 1.
log3[x(x − 2)] = 1
x(x − 2) = 31
x2 − 2x − 3 = 0
(x − 3)(x + 1) = 0
x = 3 ou x = −1
Somente x = 3 pertence ao domínio. Portanto, a solução é 3.
2x + 1 = x + 7
x = 6
Como os dois logaritmandos são positivos para x = 6, a solução é válida.
Pratique
1. Resolva log2(x + 3) = 4.
2. Resolva log3 x + log3(x − 6) = 2.
3. Resolva log4(3x − 2) = log4(x + 6).
Ver respostas
1.
x = 13
2.
log3[x(x − 6)] = 2
x2 − 6x = 9
x2 − 6x − 9 = 0
x = 3 ± 3√2
Somente x = 3 + 3√2 satisfaz x > 6.
3.
2x = 8
x = 4
O valor 4 satisfaz as condições de existência.
10. Inequações logarítmicas
Além do domínio, devemos observar se a função é crescente ou decrescente.
| Base | Comportamento | Comparação |
|---|---|---|
| a > 1 | crescente | mantém o sentido da desigualdade |
| 0 < a < 1 | decrescente | inverte o sentido da desigualdade |
Resolva log2(x − 1) > 3.
x − 1 > 23
x − 1 > 8
x > 9
Resolva log1/2(2x + 1) ≤ log1/2 4.
2x + 1 ≥ 4
2x ≥ 3
x ≥ 3/2
O sentido foi invertido porque a função de base 1/2 é decrescente.
Resolva log3(x + 2) ≤ 2.
x + 2 ≤ 32
x ≤ 7
Combinando as condições: −2 < x ≤ 7.
Pratique
1. Resolva log5(x − 4) ≥ 2.
2. Resolva log1/3(x + 1) > −1.
3. Resolva log2(3x − 1) < log2(x + 7).
Ver respostas
1.
x − 4 ≥ 52
x ≥ 29
2.
x + 1 < (1/3)−1
x + 1 < 3
x < 2
Logo, −1 < x < 2.
3.
3x − 1 < x + 7
2x < 8
x < 4
Logo, 1/3 < x < 4.
11. Aplicações dos logaritmos
Escalas logarítmicas comprimem grandes intervalos numéricos e permitem comparar grandezas que variam por fatores multiplicativos.
O pH de uma solução pode ser calculado por pH = −log[H+], em que [H+] é a concentração de íons hidrogênio.
Se [H+] = 10−5, então:
pH = −(−5)
pH = 5
O nível sonoro β, em decibéis, pode ser calculado por β = 10 · log(I/I0). Se a intensidade I é 106 vezes a intensidade de referência I0:
β = 10 · 6
β = 60 dB
Um investimento de R 1.000,00 cresce 10% por período. Em quanto tempo ele dobrará?
2 = (1,1)t
log 2 = t · log 1,1
t = log 2 ÷ log 1,1
t ≈ 7,27
O valor dobra após aproximadamente 7,27 períodos. Se os rendimentos forem creditados apenas ao final de períodos inteiros, será necessário completar 8 períodos.
Pratique
1. Determine o pH de uma solução com [H+] = 10−3.
2. Calcule o nível sonoro quando I/I0 = 108.
3. Uma população é modelada por P(t) = 500 · 2t/4. Em quanto tempo ela atingirá 4 000 indivíduos?
Ver respostas
1.
2.
3.
8 = 2t/4
23 = 2t/4
3 = t/4
t = 12
A população atingirá 4 000 indivíduos após 12 unidades de tempo.
12. Erros frequentes
- Ignorar as condições de existência: a base deve ser positiva e diferente de 1, e todo logaritmando deve ser positivo.
- Confundir logaritmo com divisão: loga b é um expoente, não o quociente b ÷ a.
- Distribuir o logaritmo em uma soma: log(M + N) não é igual a log M + log N.
- Não verificar as soluções: uma raiz obtida algebricamente pode tornar algum logaritmando nulo ou negativo.
- Confundir domínio e imagem: a função logarítmica tem domínio positivo e imagem real.
- Esquecer de inverter a desigualdade: isso ocorre quando a base do logaritmo está entre zero e um.
- Arredondar cedo demais: em aplicações, mantenha valores suficientes durante os cálculos e arredonde apenas no resultado.
13. Revisão e aprofundamento
O valor de log2 64 é:
Qual logaritmo não existe no conjunto dos números reais?
O valor de log3 9 + log3 27 é:
O domínio de f(x) = log2(x − 7) é:
A função f(x) = log1/5 x é:
Em um laboratório, a concentração de íons hidrogênio de uma solução foi medida em [H+] = 10−4 mol/L. Utilizando pH = −log[H+], qual é o pH da solução?
O nível de intensidade sonora é dado por β = 10 · log(I/I0). Em um evento, a intensidade do som foi 107 vezes a intensidade de referência. Qual foi o nível sonoro?
Em um modelo simplificado, a magnitude M de um abalo é dada por M = log(A/A0), em que A é a amplitude registrada e A0 é uma amplitude de referência. Se A = 10 000 · A0, qual é a magnitude do abalo?
Uma cultura possui inicialmente 300 bactérias e sua população é modelada por P(t) = 300 · 2t/4, com t medido em horas. Após quantas horas a população atingirá 2 400 bactérias?
Um capital de R 1.500,00 é aplicado a juros compostos de 8% ao ano, segundo o modelo M(t) = 1 500 · (1,08)t. Aproximadamente quanto tempo será necessário para o capital dobrar?