Lei dos Senos e Lei dos Cossenos
Nem toda situação pode ser representada por um triângulo retângulo. Em levantamentos topográficos, navegação, construção civil e localização de pontos inacessíveis, surgem triângulos oblíquos, isto é, triângulos que não possuem necessariamente um ângulo de 90°.
A Lei dos Senos e a Lei dos Cossenos permitem relacionar lados e ângulos desses triângulos. O ponto mais importante não é memorizar duas fórmulas isoladas, mas interpretar os dados e reconhecer qual relação é adequada para cada configuração.
BNCC: EM13MAT308 — aplicar relações métricas e trigonométricas para resolver e elaborar problemas em diferentes contextos.
Para acompanhar o conteúdo, é importante saber:
- identificar lados e ângulos de um triângulo;
- usar seno e cosseno de um ângulo;
- resolver proporções e equações;
- aplicar a soma dos ângulos internos de um triângulo;
- utilizar a calculadora no modo DEG.
1. Notação em um triângulo qualquer
Em um triângulo ABC, usamos letras minúsculas para representar os lados opostos aos vértices correspondentes:
- o lado a está diante do ângulo A;
- o lado b está diante do ângulo B;
- o lado c está diante do ângulo C.
2. Lei dos Senos
A Lei dos Senos afirma que, em qualquer triângulo, a razão entre a medida de um lado e o seno de seu ângulo oposto é constante:
Também podemos escrever a proporção com os senos no numerador. O essencial é manter cada lado associado ao seu ângulo oposto.
Por que essa relação funciona?
Ao traçar a altura h relativa ao lado c, formamos dois triângulos retângulos. Em um deles, h=b·sen A; no outro, h=a·sen B. Igualando:
Dividindo pelos fatores correspondentes, obtemos:
3. Quando utilizar a Lei dos Senos
A Lei dos Senos é especialmente útil quando conhecemos pelo menos um par completo formado por um lado e seu ângulo oposto.
ALA
Dois ângulos e o lado entre eles.
LAA
Dois ângulos e um lado não compreendido.
LLA
Dois lados e um ângulo oposto a um deles. Pode haver ambiguidade.
Em um triângulo, A=42°, B=68° e a=12 cm. Para determinar b:
b=12·sen 68°sen 42°≈16,6 cm
Como B é maior que A, o lado b deveria ser maior que a. O resultado confirma essa expectativa.
Considere a=15 cm, b=11 cm e A=72°. Aplicando a Lei dos Senos:
sen B=11·sen 72°15≈0,6974
B≈44,2°
A possibilidade suplementar 135,8° não forma triângulo com 72°, pois a soma ultrapassaria 180°.
Dois pontos A e B, separados por 80 m, observam uma torre C. Os ângulos internos medidos são A=52° e B=63°. Logo:
BC=80·sen 52°sen 65°≈69,6 m
4. O caso ambíguo da Lei dos Senos
Quando conhecemos dois lados e um ângulo não compreendido entre eles, pode haver nenhum triângulo, um triângulo ou dois triângulos. Isso acontece porque ângulos suplementares têm o mesmo seno:
Por isso, ao encontrar um ângulo B com a função inversa, devemos testar também 180°−B e verificar se a soma dos ângulos permanece menor que 180°.
Considere A=35°, a=12 cm e b=15 cm:
A calculadora fornece B₁≈45,8°. A segunda possibilidade é B₂≈180°−45,8°=134,2°. Ambas podem ser combinadas com A=35°:
C₂≈10,8° e c₂≈3,9 cm
Pratique 1
Questão 1 Duas equipes de resgate estão nos pontos A e B, separados por 120 m, e observam uma pessoa no ponto C. Os ângulos internos são A=48° e B=67°. Determine as distâncias AC e BC.
Questão 2 Um parque triangular possui A=38°, B=74° e o lado AB mede 55 m. Determine o terceiro ângulo e os outros dois lados.
Questão 3 Em um triângulo de monitoramento, A=52°, a=18 km e b=14 km. Determine B, C e o lado c. Verifique se a possibilidade suplementar de B é válida.
Questão 4 Um triângulo apresenta A=30°, a=10 cm e b=13 cm. Analise todas as configurações possíveis e determine os ângulos B e C e o lado c em cada uma.
Ver respostas
Questão 1
BC=120·sen 48°sen 65°≈98,4 m
Questão 2
b=55·sen 74°sen 68°≈57,0 m
Questão 3
B≈37,8°
C≈90,2°
O suplemento de B seria 142,2°; somado a 52°, ultrapassa 180°. Portanto, não é válido.
Questão 4
Primeira configuração: B₁≈40,5°, C₁≈109,5° e c₁≈18,9 cm.
Segunda configuração: B₂≈139,5°, C₂≈10,5° e c₂≈3,7 cm.
5. Lei dos Cossenos
A Lei dos Cossenos relaciona os três lados de um triângulo e o cosseno de um de seus ângulos:
b²=a²+c²−2ac·cos B
c²=a²+b²−2ab·cos C
Quando A=90°, temos cos 90°=0. Assim, a primeira igualdade se reduz a a²=b²+c², que é o Teorema de Pitágoras.
6. Quando utilizar a Lei dos Cossenos
LAL
Conhecemos dois lados e o ângulo compreendido entre eles. A lei determina o terceiro lado.
LLL
Conhecemos os três lados. A lei permite determinar qualquer ângulo.
Dois lados medem 8 cm e 11 cm, e o ângulo entre eles mede 54°. Se x é o lado oposto:
x²≈81,55
x≈9,03 cm
Os lados de um triângulo medem 7 cm, 9 cm e 12 cm. Para o ângulo C oposto ao lado de 12 cm:
C≈96,4°
O cosseno negativo confirma que C é obtuso. Como 12 cm é o maior lado, ele deve estar diante do maior ângulo.
Duas estradas partem de um entroncamento. Em uma direção, uma equipe percorre 6,5 km; na outra, 9,2 km. O ângulo entre as estradas é 72°. A distância direta entre as equipes é:
d≈9,48 km
Dois lados consecutivos de um terreno medem 35 m e 48 m e formam 110°. A diagonal que une as extremidades desses lados mede:
d≈68,4 m
Como o ângulo é obtuso, a diagonal oposta é maior do que seria em um triângulo retângulo com os mesmos lados.
Pratique 2
Questão 1 Duas barras de 5,4 m e 7,2 m formam um ângulo de 60°. Determine a distância entre suas extremidades livres.
Questão 2 Uma peça triangular possui lados de 13 cm, 14 cm e 15 cm. Determine o ângulo oposto ao lado de 15 cm e classifique-o como agudo, reto ou obtuso.
Questão 3 Dois barcos partem do mesmo porto e percorrem 18 km e 25 km em rotas que formam 48°. Determine a distância entre eles.
Questão 4 Dois lados de um campo medem 42 m e 58 m e formam 125°. Determine a diagonal oposta ao ângulo de 125° e explique por que ela é maior que os dois lados conhecidos.
Ver respostas
Questão 1
x²=42,12
x≈6,49 m
Questão 2
C≈67,4°
O ângulo é agudo.
Questão 3
d≈18,62 km
Questão 4
d≈89,0 m
O maior ângulo do triângulo está diante do maior lado. Como 125° é obtuso, a diagonal oposta deve ser a maior medida.
7. Como decidir entre as duas leis
| Dados conhecidos | Estratégia inicial | Motivo |
|---|---|---|
| dois ângulos e um lado | Lei dos Senos | podemos formar um par lado–ângulo oposto |
| dois lados e um ângulo oposto | Lei dos Senos | já existe um par correspondente; verificar ambiguidade |
| dois lados e o ângulo entre eles | Lei dos Cossenos | caso LAL |
| três lados | Lei dos Cossenos | caso LLL |
Em um triângulo, AB=20 m, AC=15 m e A=65°. Primeiro, usamos a Lei dos Cossenos para obter BC:
BC≈19,27 m
Agora existe um par completo: A=65° e BC≈19,27 m. Pela Lei dos Senos:
B≈44,9°
C≈70,1°
Uma embarcação percorre 32 km até B e, depois, 27 km até C. O ângulo interno entre os dois trechos em B mede 118°. A distância direta entre o início A e C é:
AC≈50,6 km
Se necessário, os demais ângulos podem ser obtidos pela Lei dos Senos.
8. Área de um triângulo com dois lados e o ângulo entre eles
A altura relativa a um lado pode ser expressa por uma razão trigonométrica. Disso resulta a fórmula:
Ela é útil quando conhecemos dois lados e o ângulo compreendido, sem precisar calcular primeiro a altura.
Dois lados de um lote medem 52 m e 67 m e formam 38°:
Se o ângulo compreendido for 90°, sen 90°=1. A fórmula torna-se Área=b·c÷2, exatamente a área de um triângulo retângulo com catetos b e c.
Pratique 3
Questão 1 Dois lados de um terreno medem 70 m e 95 m e formam 83°. Determine o terceiro lado e a área do terreno.
Questão 2 Dois cabos de 18 m e 25 m partem do topo de uma estrutura e formam entre si 42°. Determine a distância entre as extremidades dos cabos e a área da região triangular formada.
Questão 3 Dois pontos de observação A e B estão separados por 150 m. Um ponto C, localizado em uma ilha, é observado sob ângulos internos de 56° em A e 71° em B. Determine AC e BC.
Questão 4 Uma peça triangular possui lados de 9 cm, 12 cm e 15 cm. Sem supor previamente que ela é retângula, determine seu maior ângulo pela Lei dos Cossenos e calcule a área.
Ver respostas
Questão 1
d≈110,9 m
Questão 2
d≈16,7 m
Questão 3
BC=150·sen 56°sen 53°≈155,7 m
Questão 4
O maior ângulo está diante do lado de 15 cm:
C=90°
9. Estratégia para resolver problemas
- Desenhe o triângulo e registre os dados nos lados e ângulos corretos.
- Associe cada lado ao ângulo oposto.
- Classifique os dados como ALA, LAA, LLA, LAL ou LLL.
- Escolha a lei adequada antes de substituir valores.
- No caso LLA, investigue a possibilidade de dois triângulos.
- Se o problema exigir outras medidas, use a primeira resposta para criar um novo par de dados.
- Compare lados e ângulos para verificar a coerência do resultado.
10. Erros frequentes
Trocar as correspondências
Na Lei dos Senos, cada lado deve aparecer com o seno de seu ângulo oposto.
Usar o ângulo errado no LAL
Na Lei dos Cossenos, o ângulo conhecido deve estar entre os dois lados conhecidos.
Ignorar o suplemento
No caso LLA, o seno pode produzir dois ângulos entre 0° e 180°.
Arredondar cedo
Mantenha casas decimais intermediárias para evitar diferenças relevantes no final.
Esquecer a raiz
A Lei dos Cossenos fornece inicialmente o quadrado do lado procurado.
Não verificar a ordem
O maior lado deve permanecer diante do maior ângulo.
11. Revisão e aprofundamento
Em um triângulo, A=47°, B=68° e a=14 cm. Determine C, b e c.
Uma base AB mede 90 m. Um ponto C é observado de modo que A=39° e B=76°. Determine as distâncias AC e BC.
Duas vigas de 10 m e 14 m formam um ângulo de 72°. Determine a distância entre suas extremidades livres.
Os lados de um triângulo medem 8 cm, 13 cm e 15 cm. Determine o ângulo oposto ao lado de 15 cm e classifique-o.
Considere A=25°, a=12 cm e b=18 cm. Determine todas as configurações possíveis e apresente B, C e c em cada uma.
Dois lados de um lote triangular medem 45 m e 62 m e formam 104°. Determine o terceiro lado e a área.
Duas aeronaves partem do mesmo aeroporto e percorrem 120 km e 160 km em direções que formam 55°. Determine a distância entre elas.
Em um terreno, A=52°, B=61° e o lado AB mede 40 m. Determine os outros dois lados.
Um triângulo possui dois lados conhecidos e o ângulo compreendido entre eles. Explique por que a Lei dos Cossenos deve ser usada antes da Lei dos Senos.
Dois lados de uma peça triangular medem 28 cm e 35 cm e formam 46°. Determine a área.
Em um triângulo, AB=18 m, AC=23 m e A=78°. Determine BC e os ângulos B e C.
Uma base AB de 60 m está na margem de um rio. Para uma árvore C na margem oposta, os ângulos internos são A=90° e B=54°. Determine AC e BC.
Em um triângulo, a=12 cm, A=40° e B=65°. Um estudante escreveu 12÷sen 65°=b÷sen 40°. Explique o erro e monte a proporção correta.
Os lados de um triângulo medem 7 cm, 10 cm e 13 cm. Determine o maior ângulo e explique como o sinal do cosseno ajuda na classificação.
Dois lados de um parque triangular medem 55 m e 72 m e formam 58°. Determine o terceiro lado, os outros dois ângulos, o perímetro e a área.