Arcos, graus, radianos e circunferência trigonométrica
O movimento de uma roda, a posição dos ponteiros de um relógio, a rotação de uma engrenagem e o deslocamento de um ponto em uma pista circular envolvem ângulos e arcos. Para analisar essas situações, precisamos relacionar a abertura do ângulo, o comprimento percorrido sobre a circunferência e a posição final do ponto.
Nesta postagem, construiremos a passagem dos graus para os radianos e organizaremos os ângulos na circunferência trigonométrica. Essa base será utilizada posteriormente no estudo das funções seno, cosseno e tangente.
Base para funções periódicas e para as habilidades EM13MAT306 e EM13MAT404.
Para acompanhar o conteúdo, é importante reconhecer ângulos, circunferências, quadrantes, coordenadas cartesianas, proporcionalidade e o número π.
1. Arco e ângulo central
Um arco é uma parte da circunferência limitada por dois pontos. Quando os lados de um ângulo têm origem no centro da circunferência, esse ângulo é chamado de ângulo central.
A medida angular do arco menor AB é igual à medida do ângulo central AÔB que o determina. Isso não significa que o comprimento do arco e a medida do ângulo sejam a mesma grandeza. O ângulo pode ser medido em graus ou radianos, enquanto o comprimento do arco é medido em unidades de comprimento.
Um irrigador giratório molha uma região circular entre duas posições. O ângulo central do movimento é 135°. Qual é a medida angular do arco não percorrido pelo equipamento?
A volta completa mede 360°. Portanto:
O arco não percorrido é o arco maior entre as duas posições.
2. Sentido de rotação e ângulos orientados
Na circunferência trigonométrica, adotamos uma orientação para distinguir rotações em sentidos opostos:
- o sentido anti-horário representa ângulos positivos;
- o sentido horário representa ângulos negativos.
Ângulos côngruos
Dois ângulos são côngruos quando terminam na mesma posição depois de um número inteiro de voltas. Como uma volta mede 360°, podemos escrever:
Por exemplo, 40°, 400° e −320° possuem o mesmo lado terminal:
−320°=40°−360°
Uma plataforma inicia na posição 0° e gira 1.110° no sentido anti-horário. Para descobrir sua posição final em uma única volta, retiramos voltas completas:
A plataforma completa três voltas e termina na posição correspondente a 30°.
3. Graus e partes de uma volta
O grau divide uma volta completa em 360 partes iguais. Assim:
Volta completa
360°
Meia-volta
180°
Um quarto de volta
90°
Às 12h, o ponteiro dos minutos aponta para o número 12. Quantos graus ele percorre até 12h35?
Em 60 minutos, o ponteiro percorre 360°. Em um minuto, percorre:
Em 35 minutos:
Como o movimento é horário, poderia ser representado por −210°. Se desejarmos uma medida positiva côngrua, teremos 360°−210°=150°.
4. O radiano
Um radiano é a medida do ângulo central que determina um arco cujo comprimento é igual ao raio da circunferência. Essa unidade relaciona o ângulo diretamente ao comprimento percorrido.
O comprimento de uma circunferência de raio r é 2πr. Como cada radiano corresponde a um arco de comprimento r, uma volta completa contém 2π radianos:
| Parte da volta | Graus | Radianos |
|---|---|---|
| Volta completa | 360° | 2π |
| Meia-volta | 180° | π |
| Um quarto de volta | 90° | π2 |
| Um sexto de volta | 60° | π3 |
| Um oitavo de volta | 45° | π4 |
| Um décimo segundo de volta | 30° | π6 |
Conversão entre graus e radianos
As conversões podem ser obtidas pela proporção:
Portanto, 150°=5π6 rad.
O fator π é simplificado, restando uma medida em graus.
5. Comprimento de um arco
Quando o ângulo central θ está em radianos, o comprimento s do arco pode ser calculado diretamente por:
Essa fórmula vem da definição de radiano. Se θ=1 rad, então s=r. Se o ângulo corresponde a duas vezes essa abertura, o arco também terá duas vezes o raio, e assim sucessivamente.
Uma marca foi feita na borda de uma roda de raio 30 cm. A roda gira 240°. Qual é o comprimento do arco percorrido pela marca em relação ao centro?
Primeiro, convertemos 240° para radianos:
Agora aplicamos s=r·θ:
Uma correia permanece em contato com uma polia de raio 18 cm durante um arco de 45 cm. Qual é o ângulo central correspondente?
45=18θ
θ=4518=2,5 rad
Em graus, esse ângulo mede aproximadamente:
Pratique 1
Respostas comentadas
Questão 1
A câmera realiza duas voltas completas e ainda percorre 315° da terceira volta.
Questão 2
Como o movimento é horário, o giro é −132°. Convertendo:
Questão 3
Questão 4
θ=5π6 rad
6. Velocidade angular e velocidade na borda
Quando um corpo gira, podemos analisar a rapidez com que o ângulo varia. A velocidade angular média é dada por:
Se θ estiver em radianos e o tempo em segundos, a unidade será rad/s. Um ponto localizado a uma distância r do centro percorre um arco s=rθ. Por isso, a velocidade na borda é:
Uma pá de ventilador gira 15 voltas em 6 segundos. A extremidade da pá está a 0,4 m do centro. Determine a velocidade angular média e a distância percorrida pela extremidade em 6 segundos.
Quinze voltas correspondem a 15·2π=30π rad. Assim:
O arco total percorrido pela extremidade é:
Duas crianças estão em um carrossel que gira com velocidade angular constante de 0,5 rad/s. Uma está a 2 m do centro e a outra a 3,5 m. Embora ambas completem cada volta no mesmo tempo, suas velocidades na trajetória são diferentes:
v₂=3,5·0,5=1,75 m/s
A criança mais distante do centro percorre um arco maior no mesmo intervalo de tempo.
7. Circunferência trigonométrica
A circunferência trigonométrica, também chamada de ciclo trigonométrico, tem centro na origem do plano cartesiano e raio igual a 1. O ponto de partida dos arcos é o ponto A=(1,0), localizado no eixo horizontal positivo.
Cada número real pode representar um ângulo em radianos e, consequentemente, uma posição na circunferência. Ângulos maiores que uma volta e ângulos negativos também podem ser localizados.
| Região | Intervalo em graus | Intervalo em radianos | Sinal de x | Sinal de y |
|---|---|---|---|---|
| 1º quadrante | 0°<α<90° | 0<α<π2 | positivo | positivo |
| 2º quadrante | 90°<α<180° | π2<α<π | negativo | positivo |
| 3º quadrante | 180°<α<270° | π<α<3π2 | negativo | negativo |
| 4º quadrante | 270°<α<360° | 3π2<α<2π | positivo | negativo |
Pontos sobre os eixos
- 0 ou 2π: ponto (1,0);
- π2: ponto (0,1);
- π: ponto (−1,0);
- 3π2: ponto (0,−1).
8. Como localizar qualquer ângulo
Para localizar um ângulo, podemos seguir quatro passos:
- verificar se a medida está em graus ou radianos;
- retirar ou acrescentar voltas completas, quando necessário;
- identificar entre quais eixos a medida está;
- determinar o quadrante ou o eixo que contém o lado terminal.
Como 90°<135°<180°, o lado terminal está no 2º quadrante. A distância angular até 180° é:
Portanto, 135° está 45° acima do semieixo horizontal negativo.
O sinal negativo indica giro horário. Uma medida positiva côngrua é:
Como 270°<300°<360°, o lado terminal está no 4º quadrante.
Uma volta completa mede 2π=12π6. Retirando uma volta:
Como 5π6 corresponde a 150°, o lado terminal está no 2º quadrante.
9. Coordenadas e simetria
Se um ponto P está na circunferência trigonométrica, suas coordenadas são P=(x,y). Como o raio vale 1, essas coordenadas satisfazem:
Neste momento, o mais importante é observar os sinais das coordenadas e as simetrias. Pontos refletidos em relação aos eixos ou à origem possuem valores absolutos iguais, mas podem apresentar sinais diferentes.
Um sensor está sobre uma circunferência trigonométrica no 3º quadrante. Sabe-se que o valor absoluto de sua coordenada horizontal é 0,8. Determine as possíveis coordenadas do ponto.
(−0,8)²+y²=1
0,64+y²=1
y²=0,36
|y|=0,6
No 3º quadrante, x e y são negativos. Logo, P=(−0,8;−0,6).
Pratique 2
Respostas comentadas
Questão 1
O braço completa duas voltas e termina em 45°, no 1º quadrante.
Questão 2
Somamos múltiplos de 2π, escritos com denominador 6:
11π6 corresponde a 330°, no 4º quadrante.
Questão 3
0,36+y²=1
y²=0,64
|y|=0,8
No 2º quadrante, y é positivo. Portanto, y=0,8.
Questão 4
Os ângulos estão à mesma distância de 180°: 180°−140°=40° e 220°−180°=40°. Os pontos são simétricos em relação ao eixo horizontal. Em 140°, x é negativo e y é positivo; em 220°, x e y são negativos.
10. Estratégia para resolver problemas
1. Identifique a grandeza
O problema pede ângulo, posição final, comprimento de arco, número de voltas ou velocidade?
2. Observe a unidade
Verifique se o ângulo está em graus ou radianos e converta apenas quando necessário.
3. Considere a orientação
Anti-horário é positivo; horário é negativo.
4. Reduza as voltas
Use múltiplos de 360° ou de 2π para encontrar uma medida na primeira volta.
5. Localize a posição
Compare a medida com os eixos e identifique o quadrante correto.
6. Verifique o resultado
Confira sinais, unidades e se a posição final corresponde ao sentido do giro.
11. Erros frequentes
Usar graus em s=rθ
A fórmula exige θ em radianos.
Confundir arco e corda
O arco acompanha a circunferência; a corda é um segmento reto.
Ignorar o sentido
Um giro horário deve ser representado por uma medida negativa.
Classificar eixos como quadrantes
Os pontos 0, π2, π e 3π2 ficam sobre os eixos.
Retirar π indevidamente
Na conversão, π só é simplificado quando aparece como fator no numerador e no denominador.
Esquecer voltas completas
Ângulos maiores que 360° ou 2π continuam válidos e indicam rotações adicionais.
12. Revisão e aprofundamento
Uma antena inicia apontando para o leste, posição associada a 0°. Durante uma varredura, gira 1.290° no sentido anti-horário. Determine quantas voltas completas foram realizadas, a menor medida positiva côngrua e o quadrante ou eixo da posição final.
O ponteiro dos segundos parte do número 12 e se desloca durante 47 segundos. Represente esse giro por uma medida negativa em graus e em radianos. Depois, determine a medida positiva côngrua entre 0° e 360°.
Uma curva circular de raio 50 m corresponde a um ângulo central de 72°. Determine o comprimento da curva em forma exata e aproximada.
Uma roda possui raio de 35 cm. Durante um deslocamento, ela gira 8π rad sem deslizar. Determine o número de voltas completas e a distância percorrida pela bicicleta.
Converta 225° para radianos e identifique o quadrante de seu lado terminal.
Um painel gira −19π6 rad a partir da posição inicial. Encontre uma medida positiva côngrua no intervalo de 0 a 2π e identifique sua posição final.
Um ponto P=(x;0,8) pertence à circunferência trigonométrica e está no 2º quadrante. Determine x e explique a escolha do sinal.
Uma polia de raio 16 cm gira 210°. Determine o comprimento do arco percorrido por um ponto de sua borda.
Os ângulos 50°, 410° e −310° determinam posições diferentes ou a mesma posição na circunferência? Justifique usando voltas completas.
Uma marca em uma esteira circular percorre 28 cm sobre uma roda de raio 8 cm. Determine o ângulo correspondente em radianos e uma aproximação em graus.
Sem converter inicialmente para graus, retire as voltas completas de 29π4 e identifique o quadrante da posição final.
Um rotor realiza 24 voltas em 8 segundos. Determine sua velocidade angular média em rad/s. Se uma amostra está a 0,12 m do centro, determine sua velocidade ao longo da trajetória.
Para calcular o arco determinado por 60° em uma circunferência de raio 15 cm, um estudante escreveu s=15·60=900 cm. Identifique o erro e apresente o cálculo correto.
Dois pontos correspondem aos ângulos 35° e 325°. Descreva a simetria entre eles e compare os sinais de suas coordenadas.
Um carrossel de raio 4,5 m realiza 5 voltas em 40 segundos. Determine a velocidade angular média, a velocidade de uma criança sentada na borda e a distância percorrida por ela nesse intervalo.