Porcentagem, variação percentual, acréscimos e descontos sucessivos
A porcentagem está presente em muitas situações do cotidiano: descontos, reajustes de preços, pesquisas, impostos, variação de população, resultados estatísticos e comparações entre valores.
A expressão por cento significa “a cada cem”. Assim, uma porcentagem representa uma razão cujo denominador é 100. Compreender essa ideia é importante porque permite interpretar porcentagens, calcular valores e analisar corretamente aumentos e reduções sucessivas.
1. O que é porcentagem?
Uma porcentagem representa uma parte de um total considerado como 100 partes iguais.
Por exemplo, 25% significa 25 de cada 100.
Podemos representar essa porcentagem como uma fração:
Simplificando:
Também podemos escrevê-la na forma decimal:
Portanto:
Exemplo
Em uma turma com 40 estudantes, 25% participam de determinado projeto. Quantos estudantes participam?
Portanto, 10 estudantes participam do projeto.
Pratique
Escreva cada porcentagem na forma decimal e, quando possível, como uma fração simplificada:
a) 10%
b) 20%
c) 50%
d) 75%
Ver respostas
a) 10% = 0,10 = 110
b) 20% = 0,20 = 15
c) 50% = 0,50 = 12
d) 75% = 0,75 = 34
2. Calculando uma porcentagem de uma quantidade
Para calcular uma porcentagem de determinada quantidade, podemos transformar a taxa percentual em número decimal e multiplicá-la pelo valor total.
Exemplo
Uma mochila custa R$ 240,00 e está sendo vendida com 15% de desconto. Qual é o valor do desconto e qual será o preço final?
O desconto corresponde a R$ 36,00.
Logo, a mochila passará a custar R$ 204,00.
Pratique
Uma bicicleta custa R$ 1.200,00. Uma loja anuncia desconto de 18%. Determine o valor do desconto e o preço da bicicleta após o desconto.
Ver respostas
Primeiro transformamos 18% em número decimal:
Calculamos 18% de R$ 1.200,00:
Portanto, o desconto é de R$ 216,00.
Agora retiramos o desconto do preço inicial:
Resposta: desconto de R$ 216,00 e preço final de R$ 984,00.
3. Determinando a taxa percentual
Também podemos conhecer a parte e o total e precisar descobrir qual porcentagem uma representa da outra.
Exemplo
Em uma prova com 40 questões, um estudante acertou 32. Qual foi seu percentual de acertos?
Portanto, o estudante acertou 80% das questões.
partetotal · 100%
Pratique
Em uma pesquisa realizada com 250 pessoas, 175 afirmaram utilizar determinado serviço. Qual é a porcentagem das pessoas pesquisadas que utilizam esse serviço?
Ver respostas
A parte corresponde às 175 pessoas e o total é 250. Portanto:
Resposta: 70% das pessoas pesquisadas.
4. Determinando o valor total
Em outras situações, conhecemos uma porcentagem e o valor correspondente a ela, mas precisamos descobrir o total.
Exemplo
Em uma pesquisa, 30% dos participantes correspondem a 90 pessoas. Quantas pessoas participaram da pesquisa?
Portanto, 300 pessoas participaram da pesquisa.
Pratique
Em uma escola, 72 estudantes representam 24% do total de alunos. Quantos estudantes há nessa escola?
Ver respostas
Chamamos o total de estudantes de x. Como 24% desse total correspondem a 72 estudantes:
Resposta: a escola possui 300 estudantes.
5. Acréscimo percentual
Quando um valor sofre um acréscimo percentual, podemos calcular primeiro o valor do aumento e depois adicioná-lo ao valor inicial.
Exemplo
Um produto custava R$ 500,00 e sofreu um reajuste de 12%. Qual é o novo preço?
Portanto, o novo preço é R$ 560,00.
Também podemos realizar o cálculo diretamente:
Pratique
Uma mensalidade de R$ 650,00 recebeu um reajuste de 8%. Determine o valor do aumento e a nova mensalidade.
Ver respostas
Primeiro calculamos 8% de R$ 650,00:
O aumento foi de R$ 52,00.
Somamos o aumento ao valor inicial:
Resposta: aumento de R$ 52,00 e nova mensalidade de R$ 702,00.
6. Desconto percentual
No desconto percentual, uma parte do valor inicial é retirada.
Exemplo
Um aparelho custa R$ 800,00 e recebe desconto de 15%. Qual será o preço após o desconto?
Portanto, o preço final é R$ 680,00.
Também podemos calcular diretamente:
Pratique
Um computador custa R$ 3.500,00. Em uma promoção, recebe desconto de 12%. Determine o valor do desconto e o preço final.
Ver respostas
Calculamos primeiro o valor correspondente a 12%:
O desconto é de R$ 420,00.
Agora retiramos esse valor do preço inicial:
Resposta: desconto de R$ 420,00 e preço final de R$ 3.080,00.
7. Variação percentual
A variação percentual permite comparar quanto um valor aumentou ou diminuiu em relação ao seu valor inicial.
variaçãovalor inicial · 100%
Exemplo — aumento
O preço de um produto passou de R$ 200,00 para R$ 250,00. Qual foi o aumento percentual?
Portanto, houve aumento de 25%.
Exemplo — redução
Um valor passou de 500 para 400. Qual foi a redução percentual?
Portanto, houve redução de 20%.
Pratique
A quantidade de visitantes de um evento passou de 800 para 920 pessoas. Qual foi a variação percentual?
Ver respostas
Primeiro calculamos o aumento:
Agora comparamos a variação de 120 pessoas com o valor inicial de 800:
Resposta: houve aumento de 15%.
8. Acréscimos sucessivos
Quando ocorrem dois ou mais aumentos sucessivos, cada nova porcentagem é calculada sobre o valor obtido após a alteração anterior.
Exemplo
Um produto de R$ 1.000,00 recebe dois aumentos sucessivos de 10%. Qual será o preço final?
O preço final é R$ 1.210,00.
Agora determinamos o aumento total:
Portanto, dois aumentos sucessivos de 10% produzem aumento total de 21%.
Pratique
Um valor de R$ 2.000,00 sofre primeiro um aumento de 10% e depois outro aumento de 20%. Determine o valor final e o aumento percentual total.
Ver respostas
Aplicamos primeiro o aumento de 10%:
O segundo aumento de 20% incide sobre R$ 2.200,00:
O valor final é R$ 2.640,00.
Calculamos agora o aumento total:
Resposta: R$ 2.640,00 e aumento total de 32%.
9. Descontos sucessivos
O mesmo princípio vale para descontos sucessivos: cada novo desconto é calculado sobre o valor que já foi reduzido.
Exemplo
Um produto de R$ 1.000,00 recebe dois descontos sucessivos de 10%.
O preço final é R$ 810,00.
Portanto, dois descontos sucessivos de 10% correspondem a uma redução total de 19%.
Pratique
Um produto custa R$ 2.500,00 e recebe dois descontos sucessivos: primeiro 20% e depois 15%. Determine o preço final e o desconto percentual total equivalente.
Ver respostas
Aplicamos o primeiro desconto:
O segundo desconto incide sobre R$ 2.000,00:
O preço final é R$ 1.700,00.
A redução total foi:
Resposta: preço final de R$ 1.700,00 e desconto total equivalente a 32%.
10. Acréscimo seguido de desconto
Um produto de R$ 1.000,00 sofre um aumento de 20% e, depois, um desconto de 20%. O produto voltará ao preço inicial?
O valor final é R$ 960,00.
Houve uma redução total de 4%.
Pratique
Um produto custa R$ 1.600,00. Seu preço aumenta 25% e, posteriormente, recebe desconto de 10%. Determine o preço final e a variação percentual total em relação ao preço inicial.
Ver respostas
Primeiro aplicamos o aumento de 25%:
Agora aplicamos o desconto de 10% sobre R$ 2.000,00:
O preço final é R$ 1.800,00.
Comparando com o valor inicial:
Resposta: preço final de R$ 1.800,00 e aumento total de 12,5%.
11. Fator de aumento e fator de redução
Os cálculos anteriores podem ser organizados utilizando fatores multiplicativos.
Para um aumento de p%:
Para uma redução de p%:
Aumento de 8% → fator 1,08
Aumento de 25% → fator 1,25
Desconto de 8% → fator 0,92
Desconto de 25% → fator 0,75
Exemplo
Um produto de R$ 600,00 recebe aumento de 15% e, posteriormente, desconto de 10%. Qual será o valor final?
Portanto, o valor final é R$ 621,00.
Logo, a variação total corresponde a um aumento de 3,5%.
Pratique
Um equipamento custa R$ 4.000,00. Seu preço sofre aumento de 12% e depois desconto de 5%.
a) Qual é o fator de aumento?
b) Qual é o fator de redução?
c) Qual é o preço final?
d) Qual foi a variação percentual total?
Ver respostas
a) Para um aumento de 12%:
b) Para um desconto de 5%:
c) Aplicamos os dois fatores ao preço inicial:
O preço final é R$ 4.256,00.
d) Calculamos a diferença em relação ao valor inicial:
Resposta: houve aumento total de 6,4%.
12. Erros comuns envolvendo porcentagens
Somar percentuais sucessivos
Dois aumentos sucessivos de 10% não correspondem a um aumento de 20%. O segundo aumento é calculado sobre o valor que já sofreu o primeiro aumento. Nesse caso, a variação total é de 21%.
Usar o valor final como referência na variação percentual
Quando queremos saber quanto um valor aumentou ou diminuiu, a variação deve ser comparada com o valor inicial.
Confundir desconto com preço final
Se um produto de R$ 200,00 recebe desconto de R$ 30,00, seu preço final não é R$ 30,00:
O preço final é R$ 170,00.
Considerar que aumento e desconto de mesma taxa se anulam
Um aumento de 20% seguido de desconto de 20% não leva, em geral, ao valor inicial, pois os percentuais incidem sobre valores diferentes.