Regra de três simples e composta
A regra de três é um procedimento utilizado para determinar um valor desconhecido quando conhecemos outros valores relacionados por uma situação de proporcionalidade. Ela aparece em problemas envolvendo preços, produção, tempo, distância, velocidade, consumo e muitas outras situações.
Entretanto, resolver uma regra de três não significa simplesmente organizar números e “multiplicar em cruz”. Antes de qualquer cálculo, precisamos compreender quais são as grandezas envolvidas e como elas se relacionam.
Nesta postagem, começaremos pela regra de três simples, analisando relações diretamente e inversamente proporcionais. Depois, ampliaremos esse raciocínio para a regra de três composta, quando três ou mais grandezas participam do problema.
1. Antes da regra de três: identificar a proporcionalidade
Considere a seguinte situação:
Temos duas grandezas: quantidade de cadernos e preço total.
Se a quantidade de cadernos aumentar e o preço de cada unidade permanecer o mesmo, o preço total também aumentará na mesma proporção.
Portanto, as grandezas são diretamente proporcionais.
| Cadernos | Preço |
|---|---|
| 3↑ | 24↑ |
| 5 | x |
As setas estão no mesmo sentido. Portanto, temos uma relação diretamente proporcional.
Antes de montar a proporção, podemos descobrir o preço de um caderno:
Portanto, 5 cadernos custam R$ 40,00.
A mesma situação pode ser resolvida por meio de uma proporção:
Esse é um exemplo de regra de três simples direta.
Pratique
Uma gráfica imprime 180 panfletos em 3 minutos, mantendo o mesmo ritmo de impressão. Quantos panfletos imprimirá em 8 minutos?
a) Quais são as duas grandezas envolvidas?
b) Elas são diretamente ou inversamente proporcionais?
c) Quantos panfletos são impressos por minuto?
d) Quantos panfletos serão impressos em 8 minutos?
Ver respostas
a) Tempo de funcionamento e quantidade de panfletos impressos.
b) Mantendo o mesmo ritmo da máquina, elas são diretamente proporcionais.
c) A gráfica imprime 60 panfletos por minuto.
d) Em 8 minutos, serão impressos 480 panfletos.
2. Regra de três simples direta
Na regra de três simples direta, trabalhamos com duas grandezas diretamente proporcionais. Isso significa que, quando uma delas é multiplicada por determinado número, a outra também é multiplicada pelo mesmo número.
Exemplo — Quantidade e preço
Se 4 kg de determinado alimento custam R$ 36,00, quanto custarão 7 kg, mantendo o mesmo preço por quilograma?
| Massa | Preço |
|---|---|
| 4 kg↑ | R$ 36,00↑ |
| 7 kg | x |
As setas estão no mesmo sentido. Portanto, as grandezas são diretamente proporcionais.
Portanto, 7 kg custarão R$ 63,00.
3. Regra de três simples inversa
Em algumas situações, quando uma grandeza aumenta, a outra diminui na mesma proporção. Nesses casos, temos grandezas inversamente proporcionais.
Exemplo — Velocidade e tempo
Um veículo percorre determinado trajeto em 6 horas, mantendo velocidade média de 60 km/h. Se o mesmo trajeto for percorrido a 90 km/h, quanto tempo será necessário?
A distância percorrida permanece a mesma.
| Velocidade | Tempo |
|---|---|
| 60 km/h↑ | 6 h↓ |
| 90 km/h | x |
As setas estão em sentidos contrários. Portanto, velocidade e tempo são inversamente proporcionais.
Como as grandezas são inversamente proporcionais, invertemos uma das razões:
Portanto, o mesmo percurso será realizado em 4 horas.
Pratique
Quatro máquinas iguais realizam determinado trabalho em 15 horas. Mantendo o mesmo rendimento de cada máquina, em quanto tempo 6 máquinas iguais realizarão o mesmo trabalho?
Ver respostas
| Máquinas | Tempo |
|---|---|
| 4↑ | 15 h↓ |
| 6 | x |
As setas estão em sentidos contrários. Portanto, a relação é inversamente proporcional.
Portanto, 6 máquinas realizarão o trabalho em 10 horas.
4. Como identificar se a regra de três é direta ou inversa
Não devemos decidir apenas observando se os números apresentados são maiores ou menores. Precisamos analisar o que acontece com uma grandeza quando a outra varia, mantendo as demais condições do problema.
Situação A
Uma máquina produz 200 peças em 4 horas. Quantas peças produzirá em 7 horas, mantendo o mesmo ritmo?
| Tempo | Produção |
|---|---|
| 4 h↑ | 200↑ |
| 7 h | x |
As setas estão no mesmo sentido. A relação é diretamente proporcional.
Situação B
Oito trabalhadores realizam determinado serviço em 12 dias. Em quantos dias 16 trabalhadores, com a mesma produtividade, realizariam o mesmo serviço?
| Trabalhadores | Dias |
|---|---|
| 8↑ | 12↓ |
| 16 | x |
As setas estão em sentidos contrários. A relação é inversamente proporcional.
5. Regra de três composta
Na regra de três composta aparecem três ou mais grandezas relacionadas. Depois de organizar os dados, usamos a grandeza que contém a incógnita como referência.
6 máquinas, trabalhando 8 horas por dia, produzem 1.200 peças em determinado período. Quantas peças serão produzidas por 10 máquinas, trabalhando 12 horas por dia, no mesmo período e mantendo o mesmo rendimento?
| Máquinas | Horas por dia | Peças |
|---|---|---|
| 6↑ | 8↑ | 1.200↑ |
| 10 | 12 | x |
A grandeza que contém a incógnita é peças. Máquinas e peças são diretamente proporcionais. Horas por dia e peças também são diretamente proporcionais. Por isso, todas as razões permanecem na mesma ordem.
Começamos pela razão que contém a variável e a igualamos ao produto das outras duas razões:
Portanto, serão produzidas 3.000 peças.
6. Regra de três composta com relações inversas
Uma equipe de 8 trabalhadores, trabalhando 6 horas por dia, conclui determinado serviço em 15 dias.
Em quantos dias 12 trabalhadores, trabalhando 8 horas por dia, realizarão o mesmo serviço, considerando que todos possuem a mesma produtividade?
| Trabalhadores | Horas por dia | Dias |
|---|---|---|
| 8↑ | 6↑ | 15↓ |
| 12 | 8 | x |
A incógnita está na grandeza dias.
Quando aumentamos o número de trabalhadores, o número de dias diminui. Portanto, trabalhadores e dias são inversamente proporcionais.
Quando aumentamos as horas trabalhadas por dia, o número de dias também diminui. Portanto, horas por dia e dias também são inversamente proporcionais.
Como as duas relações são inversas, invertemos as razões correspondentes a trabalhadores e horas por dia. Começamos pela razão que contém a variável:
Portanto, o serviço será concluído em 7,5 dias de trabalho.
Pratique
Uma fábrica utiliza 5 máquinas, funcionando 8 horas por dia, para produzir determinado lote em 12 dias.
Quantos dias serão necessários para produzir o mesmo lote utilizando 8 máquinas, funcionando 10 horas por dia, supondo máquinas com a mesma produtividade?
Ver respostas
| Máquinas | Horas por dia | Dias |
|---|---|---|
| 5↑ | 8↑ | 12↓ |
| 8 | 10 | x |
A incógnita está na grandeza dias. Tanto o número de máquinas quanto as horas de funcionamento por dia são inversamente proporcionais ao número de dias. Por isso, invertemos as duas razões.
Portanto, serão necessários 6 dias.
7. Relações diretas e inversas no mesmo problema
6 máquinas produzem 900 peças em 5 horas. Quantas horas serão necessárias para 10 máquinas produzirem 2.400 peças, mantendo todas as máquinas com o mesmo ritmo de produção?
A grandeza que contém a incógnita é horas.
| Máquinas | Peças | Horas |
|---|---|---|
| 6↓ | 900↑ | 5↑ |
| 10 | 2.400 | x |
Comparando máquinas com horas, temos uma relação inversa: aumentando o número de máquinas, o tempo necessário para produzir uma mesma quantidade diminui.
Comparando peças com horas, temos uma relação direta: aumentando a quantidade de peças, o tempo necessário também aumenta.
Por isso, a razão correspondente ao número de máquinas é invertida, enquanto a razão correspondente à quantidade de peças é mantida.
Portanto, serão necessárias 8 horas.
8. O método das setas na regra de três composta
1. Organize as grandezas em colunas.
2. Coloque na mesma linha os valores pertencentes à mesma situação.
3. Identifique a coluna que contém a incógnita.
4. Escolha um sentido para a seta da coluna da incógnita.
5. Compare cada uma das outras grandezas separadamente com a grandeza que contém a incógnita.
6. Se a relação for direta, a seta fica no mesmo sentido.
7. Se a relação for inversa, a seta fica em sentido contrário.
8. Escreva primeiro a razão que contém a variável.
9. Depois do sinal de igualdade, escreva o produto das razões das demais grandezas.
10. As razões correspondentes às relações diretas são mantidas. As correspondentes às relações inversas são invertidas.
11. Multiplique as razões, simplifique quando possível e resolva a proporção.
12. Interprete o valor encontrado no contexto do problema.
Assim, a estrutura geral de uma regra de três composta fica:
As setas servem para indicar quais razões devem ser mantidas e quais devem ser invertidas. Elas representam o raciocínio e não substituem a análise do problema.
9. Erros comuns ao utilizar regra de três
Usar regra de três sem verificar se existe proporcionalidade
Nem toda relação entre duas grandezas é proporcional. A existência de uma taxa fixa, por exemplo, pode impedir a proporcionalidade direta.
Considerar toda relação crescente como diretamente proporcional
Duas grandezas aumentarem juntas não é suficiente. Para existir proporcionalidade direta, elas precisam variar pelo mesmo fator.
Considerar toda relação decrescente como inversamente proporcional
Para existir proporcionalidade inversa, o produto entre valores correspondentes deve permanecer constante.
Inverter uma razão sem compreender o motivo
Na regra de três inversa, a inversão ocorre porque as grandezas variam em sentidos opostos.
Ignorar as condições do problema
Problemas envolvendo trabalhadores, máquinas e produção normalmente pressupõem condições como mesma produtividade, mesmo tipo de trabalho, máquinas com o mesmo rendimento e possibilidade de distribuir o trabalho.