Análise combinatória: diferentes métodos de contagem e Binômio de Newton
Em muitos problemas de contagem, não existe uma única fórmula que resolva toda a situação. Pode ser necessário separar casos, escolher integrantes de grupos diferentes, distribuir funções, considerar restrições e, somente depois, combinar os resultados obtidos.
Nesta postagem, ampliaremos as estratégias estudadas anteriormente e analisaremos problemas que mobilizam mais de um método de contagem. Em seguida, estudaremos o Binômio de Newton, mostrando como os coeficientes de uma potência do tipo \((a+b)^n\) estão diretamente relacionados às combinações.
Habilidade e conhecimentos de base
EM13MAT310 — resolver e elaborar problemas de contagem envolvendo agrupamentos ordenáveis ou não ordenáveis, utilizando os princípios multiplicativo e aditivo, diagramas de árvore e estratégias diversas.
Base/complementação curricular — compreender e aplicar o Binômio de Newton, relacionando seus coeficientes aos números binomiais e às combinações simples.
1. Problemas que envolvem diferentes métodos de contagem
Antes de iniciar os cálculos, é necessário compreender como o resultado final é construído. Um problema pode possuir etapas sucessivas, casos alternativos, escolhas sem ordem, posições ordenadas ou condições que excluem parte dos resultados.
Compreender
O que representa um resultado?
→
Separar
Há etapas ou casos diferentes?
→
Escolher
A ordem importa?
→
Combinar
Somar, multiplicar ou subtrair?
| Estrutura percebida | Procedimento provável |
|---|
| Etapas que precisam acontecer sucessivamente | Multiplicar as quantidades de possibilidades. |
| Casos alternativos que não se sobrepõem | Somar as quantidades de possibilidades. |
| Escolha de elementos com funções ou posições diferentes | Utilizar arranjo ou princípio multiplicativo. |
| Escolha de um grupo sem funções diferenciadas | Utilizar combinação. |
| Condição do tipo “não podem ficar juntos” | Contar o total e retirar os casos proibidos. |
Escolha de integrantes e distribuição de funções
Exemplo 1 — Comissão com coordenação
Uma equipe de 3 pessoas será formada entre 10 candidatos. Depois da escolha, uma dessas pessoas será indicada para coordenar o trabalho. Quantas equipes com coordenador podem ser formadas?
Primeiro, escolhemos os 3 integrantes. Em seguida, escolhemos o coordenador entre as 3 pessoas selecionadas.
\(C_{10,3}\cdot3=\dfrac{10!}{3!\,7!}\cdot3=120\cdot3=360\)
Existem 360 equipes com coordenador. Também poderíamos escolher primeiro o coordenador, de 10 maneiras, e depois 2 integrantes entre os 9 restantes: \(10\cdot C_{9,2}=360\).
Separação em casos
Exemplo 2 — Números pares sem repetição
Quantos números pares de quatro algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 0, 1, 2, 3 e 4?
A unidade precisa ser 0, 2 ou 4. Entretanto, quando a unidade é zero, a contagem da primeira posição é diferente. Por isso, separamos o problema em dois casos.
Caso 1 — unidade igual a 0:
\(4\cdot3\cdot2=24\).
Caso 2 — unidade igual a 2 ou 4:
\(2\cdot3\cdot3\cdot2=36\).
Total: \(24+36=60\).
Podem ser formados 60 números. A separação foi necessária porque o zero não pode ocupar a posição dos milhares.
Contagem pelo complementar
Quando uma condição proíbe determinados resultados, pode ser mais simples contar todas as possibilidades e subtrair os casos que não atendem à condição.
Exemplo 3 — Duas pessoas não podem ficar juntas
Seis pessoas formarão uma fila, mas Ana e Bruno não podem ocupar posições consecutivas. Sem restrição, existem \(6!\) filas. Quando Ana e Bruno ficam juntos, eles formam um bloco, que pode aparecer nas ordens AB ou BA.
\(\text{Total}=6!=720\)
\(\text{Juntos}=5!\cdot2=240\)
\(\text{Separados}=720-240=480\)
Logo, podem ser formadas 480 filas nas quais Ana e Bruno não permanecem juntos.
Pratique 1 — Estratégias combinadas de contagem
Questão 1. Entre 8 estudantes, serão escolhidos um presidente e dois conselheiros com a mesma função. Quantos grupos podem ser formados?
Questão 2. Quantos números pares de quatro algarismos distintos podem ser formados com 0, 1, 2, 3 e 4?
Questão 3. Seis pessoas formarão uma fila. De quantas maneiras isso pode ocorrer se duas pessoas determinadas não puderem ficar juntas?
Questão 4. Uma lista de leitura será formada por 3 livros de Matemática escolhidos entre 6 e 2 livros de Literatura escolhidos entre 5. Quantas listas podem ser formadas?
Questão 5. Uma senha possui 3 letras distintas escolhidas entre 5 letras disponíveis, seguidas de 2 algarismos. Os algarismos podem se repetir. Quantas senhas são possíveis?
Ver respostas detalhadas
1. Há 8 escolhas para presidente. Depois dessa escolha, selecionamos 2 conselheiros entre os 7 estudantes restantes. Logo, \(8\cdot C_{7,2}=8\cdot21=168\).
2. Se a unidade for zero, existem \(4\cdot3\cdot2=24\) números. Se a unidade for 2 ou 4, temos \(2\cdot3\cdot3\cdot2=36\). Portanto, \(24+36=60\).
3. Sem restrição, existem \(6!=720\) filas. Com as duas pessoas juntas, temos \(5!\cdot2=240\) filas. Logo, \(720-240=480\) filas mantêm a dupla separada.
4. Escolhemos 3 dos 6 livros de Matemática e 2 dos 5 de Literatura. Como as duas escolhas precisam ocorrer, \(C_{6,3}\cdot C_{5,2}=20\cdot10=200\).
5. Para as letras, a ordem importa e não há repetição: \(A_{5,3}=5\cdot4\cdot3=60\). Cada algarismo possui 10 opções, com repetição permitida. Assim, \(60\cdot10\cdot10=6000\) senhas.
2. O Binômio de Newton
Um binômio é uma expressão algébrica formada por dois termos. Ao elevar um binômio a uma potência natural, podemos desenvolver o produto utilizando a propriedade distributiva. Entretanto, quando o expoente aumenta, esse procedimento se torna extenso.
\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
\((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)
O Binômio de Newton permite desenvolver diretamente uma potência do tipo \((a+b)^n\).
\((a+b)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{\,n-k}b^k\)
Escrevendo os primeiros termos sem a notação de somatório:
\((a+b)^n=\binom{n}{0}a^n+\binom{n}{1}a^{n-1}b+\binom{n}{2}a^{n-2}b^2+\cdots+\binom{n}{n}b^n\)
Como os expoentes se comportam
- O expoente do primeiro termo começa em \(n\) e diminui até zero.
- O expoente do segundo termo começa em zero e aumenta até \(n\).
- A soma dos expoentes em cada termo é sempre igual a \(n\).
- O desenvolvimento possui \(n+1\) termos.
Exemplo 4 — Desenvolvimento de \((x+2)^3\)
Para \(n=3\), os coeficientes binomiais são \(1, 3, 3, 1\).
\((x+2)^3=\binom30x^3+\binom31x^2\cdot2+\binom32x\cdot2^2+\binom33\cdot2^3\)
\((x+2)^3=x^3+6x^2+12x+8\)
Triângulo de Pascal
Os coeficientes do desenvolvimento de \((a+b)^n\) também podem ser encontrados no Triângulo de Pascal. Cada número interno é a soma dos dois números posicionados acima dele.
\(1\)
\(1\quad1\)
\(1\quad2\quad1\)
\(1\quad3\quad3\quad1\)
\(1\quad4\quad6\quad4\quad1\)
\(1\quad5\quad10\quad10\quad5\quad1\)
A linha correspondente a \(n=4\), por exemplo, fornece os coeficientes \(1,4,6,4,1\) do desenvolvimento de \((a+b)^4\).
Pratique 2 — Desenvolvimento de binômios
Questão 1. Desenvolva \((x+1)^4\).
Questão 2. Desenvolva \((a+2)^3\).
Questão 3. Desenvolva \((2x+y)^3\).
Questão 4. Determine o coeficiente de \(x^2\) no desenvolvimento de \((x+3)^4\).
Questão 5. Determine o termo independente de \(x\) no desenvolvimento de \(\left(x+\dfrac{2}{x}\right)^4\).
Ver respostas detalhadas
1. A linha \(n=4\) do Triângulo de Pascal é \(1,4,6,4,1\). Portanto, \((x+1)^4=x^4+4x^3+6x^2+4x+1\).
2. Usando os coeficientes \(1,3,3,1\), temos \((a+2)^3=a^3+3a^2\cdot2+3a\cdot2^2+2^3=a^3+6a^2+12a+8\).
3. \((2x+y)^3=(2x)^3+3(2x)^2y+3(2x)y^2+y^3=8x^3+12x^2y+6xy^2+y^3\).
4. O termo com \(x^2\) ocorre quando o expoente de 3 é 2. Seu coeficiente é \(\binom42\cdot3^2=6\cdot9=54\).
5. O termo geral contém \(x^{4-k}\left(\dfrac2x\right)^k=2^kx^{4-2k}\). Para o expoente ser zero, \(4-2k=0\), então \(k=2\). O termo independente é \(\binom42\cdot2^2=6\cdot4=24\).
3. Termo geral do Binômio de Newton
Nem sempre é necessário desenvolver completamente uma potência. Para localizar um termo ou coeficiente específico, utilizamos o termo geral.
\(T_{k+1}=\binom{n}{k}a^{\,n-k}b^k\), com \(k=0,1,2,\ldots,n\)
O primeiro termo corresponde a \(k=0\), o segundo a \(k=1\), o terceiro a \(k=2\) e assim sucessivamente. Portanto, para determinar o quinto termo, utilizamos \(k=4\).
Exemplo 5 — Coeficiente de \(x^3\) em \((2x-1)^5\)
O termo geral é:
\(T_{k+1}=\binom5k(2x)^{5-k}(-1)^k\)
Para obter \(x^3\), precisamos de \(5-k=3\), logo \(k=2\). Assim:
\(\binom52(2)^3(-1)^2=10\cdot8\cdot1=80\)
O coeficiente de \(x^3\) é 80.
Soma dos coeficientes
Para encontrar a soma dos coeficientes de um polinômio \(P(x)\), substituímos \(x=1\). Essa estratégia evita o desenvolvimento completo.
Exemplo 6 — Soma dos coeficientes de \((2x+3)^5\)
\(P(1)=(2\cdot1+3)^5=5^5=3125\)
Portanto, a soma dos coeficientes é 3125.
Soma alternada dos coeficientes
A soma alternada dos coeficientes é obtida substituindo \(x=-1\). Os sinais dos termos de grau ímpar são alterados.
Exemplo 7 — Soma alternada em \((1+x)^6\)
\(P(-1)=(1-1)^6=0\)
Pratique 3 — Termos e coeficientes
Questão 1. Determine o quinto termo do desenvolvimento de \((x+2)^6\).
Questão 2. Determine o coeficiente de \(x^4\) em \((x+1)^7\).
Questão 3. Determine o coeficiente de \(x^2\) em \((3x-2)^4\).
Questão 4. Determine a soma dos coeficientes de \((2x+1)^5\).
Questão 5. Determine a soma alternada dos coeficientes de \((1+x)^8\).
Ver respostas detalhadas
1. O quinto termo corresponde a \(k=4\). Assim, \(T_5=\binom64x^{6-4}2^4=15\cdot x^2\cdot16=240x^2\).
2. No termo geral, a potência de \(x\) é \(7-k\). Para obter \(x^4\), fazemos \(7-k=4\), então \(k=3\). O coeficiente é \(\binom73=35\).
3. Para obter \(x^2\), precisamos de \(4-k=2\), então \(k=2\). O coeficiente é \(\binom42\cdot3^2\cdot(-2)^2=6\cdot9\cdot4=216\).
4. Substituímos \(x=1\): \((2\cdot1+1)^5=3^5=243\). Essa é a soma dos coeficientes.
5. Substituímos \(x=-1\): \((1-1)^8=0^8=0\). Logo, a soma alternada é zero.
4. Relação entre combinações e o Binômio de Newton
Os coeficientes binomiais aparecem porque, na expansão de \((a+b)^n\), cada termo é obtido escolhendo em quais fatores será selecionado o termo \(b\). Para formar \(a^{n-k}b^k\), precisamos escolher \(k\) dos \(n\) fatores para fornecer \(b\).
Exemplo 8 — Por que o coeficiente de \(a^3b^2\) é 10?
Na expansão de \((a+b)^5\), o termo \(a^3b^2\) surge quando escolhemos 2 dos 5 fatores para fornecer \(b\). Essa escolha pode ser realizada de:
\(\binom52=C_{5,2}=10\text{ maneiras}\)
Por isso, o termo correspondente é \(10a^3b^2\).
Número de subconjuntos
Um conjunto com \(n\) elementos possui \(2^n\) subconjuntos. Cada elemento possui duas possibilidades: pertencer ou não pertencer ao subconjunto.
Essa propriedade também aparece na soma dos coeficientes de \((1+x)^n\):
\(\binom n0+\binom n1+\binom n2+\cdots+\binom nn=2^n\)
Relação de Pascal
A construção do Triângulo de Pascal está relacionada à identidade:
\(\binom nk+\binom n{k+1}=\binom{n+1}{k+1}\)
Essa relação mostra que dois coeficientes consecutivos de uma linha produzem o coeficiente localizado entre eles na linha seguinte.
Pratique 4 — Conexões entre contagem e Binômio de Newton
Questão 1. Calcule \(\binom83\) e explique sua interpretação em uma escolha de pessoas.
Questão 2. Escreva o desenvolvimento de \((a+b)^5\).
Questão 3. Quantos subconjuntos possui um conjunto formado por 6 elementos?
Questão 4. Uma comissão será formada por 2 ou 3 pessoas escolhidas entre 7 candidatos. Quantas comissões são possíveis?
Questão 5. Determine o coeficiente de \(x^3\) no desenvolvimento de \((1+x)^8\).
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1. \(\binom83=\dfrac{8!}{3!\,5!}=\dfrac{8\cdot7\cdot6}{6}=56\). Esse número representa, por exemplo, as 56 maneiras de escolher 3 pessoas entre 8 sem atribuir funções diferentes.
2. Os coeficientes da linha \(n=5\) são \(1,5,10,10,5,1\). Portanto, \((a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5\).
3. Cada um dos 6 elementos pode pertencer ou não ao subconjunto. Logo, existem \(2^6=64\) subconjuntos, incluindo o vazio e o conjunto completo.
4. Como as comissões de 2 e de 3 integrantes são casos diferentes, somamos: \(C_{7,2}+C_{7,3}=21+35=56\).
5. Em \((1+x)^8\), o coeficiente de \(x^3\) é \(\binom83=56\).
5. Síntese
| Objetivo | Estratégia |
|---|
| Resolver um problema com etapas sucessivas | Aplicar o princípio multiplicativo. |
| Reunir casos alternativos sem sobreposição | Aplicar o princípio aditivo. |
| Excluir resultados proibidos | Utilizar a contagem pelo complementar. |
| Escolher grupos sem considerar a ordem | Utilizar combinações. |
| Desenvolver \((a+b)^n\) | Aplicar o Binômio de Newton. |
| Localizar um termo específico | Utilizar \(T_{k+1}=\binom nk a^{n-k}b^k\). |
| Calcular a soma dos coeficientes | Substituir as variáveis por 1. |
Orientação: em problemas mais elaborados, não procure primeiro uma fórmula. Identifique as decisões presentes, as restrições e o significado de cada resultado. Somente depois selecione e combine os procedimentos adequados.
6. Revisão e aprofundamento
Questão 1. Quantos anagramas distintos podem ser formados com todas as letras da palavra ASSADA?
Questão 2. Uma faixa será formada com 9 cartões: 4 vermelhos idênticos, 3 azuis idênticos e 2 verdes idênticos. Quantos padrões distintos são possíveis?
Questão 3. Nove atletas disputam uma competição. De quantas maneiras podem ser definidos os três primeiros lugares?
Questão 4. Uma comissão de 4 integrantes será escolhida entre 11 candidatos. Quantas comissões podem ser formadas?
Questão 5. Entre 10 estudantes, serão escolhidos um presidente, um vice-presidente e três conselheiros com funções iguais. Quantos grupos podem ser formados?
Questão 6. Quantos números ímpares de cinco algarismos distintos podem ser formados utilizando os algarismos de 1 a 7?
Questão 7. Sete pessoas formarão uma fila. De quantas maneiras isso pode ocorrer se duas pessoas determinadas precisarem ficar juntas?
Questão 8. Desenvolva \((x+2)^4\).
Questão 9. Desenvolva \((2x-3)^3\).
Questão 10. Determine o quarto termo do desenvolvimento de \((a+b)^7\).
Questão 11. Determine o coeficiente de \(x^3\) no desenvolvimento de \((x+2)^6\).
Questão 12. Determine o coeficiente de \(x^4\) no desenvolvimento de \((3x-1)^5\).
Questão 13. Determine a soma dos coeficientes de \((x+2)^7\).
Questão 14. Quantos subconjuntos possui um conjunto com 10 elementos?
Questão 15. Determine o coeficiente de \(x^5\) no desenvolvimento de \((1+x)^9\).
Ver gabarito comentado
1. ASSADA possui 6 letras. A letra A aparece 3 vezes e S aparece 2 vezes. Logo, \(P_6^{3,2}=\dfrac{6!}{3!\,2!}=\dfrac{720}{12}=60\).
2. As trocas entre cartões da mesma cor não produzem um novo padrão. Portanto, \(P_9^{4,3,2}=\dfrac{9!}{4!\,3!\,2!}=\dfrac{362880}{288}=1260\).
3. Apenas 3 dos 9 atletas são escolhidos, e a ordem no pódio importa. Assim, \(A_{9,3}=9\cdot8\cdot7=504\).
4. A ordem dos quatro integrantes não altera a comissão. Logo, \(C_{11,4}=\dfrac{11!}{4!\,7!}=330\).
5. Escolhemos presidente e vice em ordem: \(A_{10,2}=90\). Depois, escolhemos 3 conselheiros entre os 8 restantes: \(C_{8,3}=56\). Portanto, \(90\cdot56=5040\).
6. A unidade deve ser um dos 4 algarismos ímpares: 1, 3, 5 ou 7. Depois, as outras quatro posições são preenchidas, sem repetição, com 4 dos 6 algarismos restantes: \(4\cdot A_{6,4}=4\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3=1440\).
7. Considerando a dupla como um bloco, temos 6 unidades para ordenar. A dupla pode trocar de posição internamente. Assim, \(6!\cdot2=720\cdot2=1440\).
8. Os coeficientes são \(1,4,6,4,1\). Portanto, \((x+2)^4=x^4+8x^3+24x^2+32x+16\).
9. \((2x-3)^3=(2x)^3+3(2x)^2(-3)+3(2x)(-3)^2+(-3)^3=8x^3-36x^2+54x-27\).
10. O quarto termo corresponde a \(k=3\). Logo, \(T_4=\binom73a^{7-3}b^3=35a^4b^3\).
11. Para obter \(x^3\), fazemos \(6-k=3\), então \(k=3\). O coeficiente é \(\binom63\cdot2^3=20\cdot8=160\).
12. Para obter \(x^4\), fazemos \(5-k=4\), então \(k=1\). O coeficiente é \(\binom51\cdot3^4\cdot(-1)=5\cdot81\cdot(-1)=-405\).
13. Substituímos \(x=1\): \((1+2)^7=3^7=2187\). Portanto, a soma dos coeficientes é 2187.
14. Cada elemento pode pertencer ou não ao subconjunto. Assim, um conjunto com 10 elementos possui \(2^{10}=1024\) subconjuntos.
15. Em \((1+x)^9\), o coeficiente de \(x^5\) é \(\binom95=\dfrac{9!}{5!\,4!}=126\).
www.matematicafc.com — material autoral para estudo e prática.