MATEMÁTICAFC

Análise combinatória: permutação com repetição, arranjo e combinação

Uma comissão escolar precisa escolher representantes; uma competição deve definir os ocupantes do pódio; uma gráfica quer calcular quantas palavras diferentes podem ser formadas com letras repetidas. Embora todas essas situações envolvam contagem, elas não são resolvidas pelo mesmo procedimento.

A escolha do modelo depende principalmente de três perguntas: todos os elementos serão utilizados? A ordem das escolhas altera o resultado? Existem elementos repetidos? Nesta postagem, utilizaremos essas perguntas para distinguir permutação com repetição, arranjo simples e combinação simples.

Habilidade da BNCC

EM13MAT310 — resolver e elaborar problemas de contagem envolvendo agrupamentos ordenáveis ou não ordenáveis, por meio dos princípios multiplicativo e aditivo, recorrendo a estratégias diversas, como diagramas de árvore, tabelas e fórmulas.

Conhecimentos mobilizados: princípio fundamental da contagem, fatorial, permutação simples, interpretação de restrições e diferenciação entre agrupamentos ordenados e não ordenados.

1. Antes da fórmula: compreender o agrupamento

Em análise combinatória, aplicar uma fórmula sem interpretar a situação pode levar a uma contagem incorreta. Dois agrupamentos formados pelos mesmos elementos podem representar resultados iguais ou diferentes, dependendo do contexto.

Exemplo 1 — Escolher estudantes ou distribuir funções?

Uma turma possui Ana, Bruno e Caio. Se dois deles forem escolhidos apenas para representar a turma, os grupos Ana–Bruno e Bruno–Ana são o mesmo grupo. A ordem não cria uma nova escolha.

Entretanto, se um estudante ocupar a função de titular e outro a de suplente, Ana titular e Bruno suplente é um resultado diferente de Bruno titular e Ana suplente. Nesse caso, a ordem, ou a função ocupada, altera o resultado.

Todos os elementos?
Se sim, pense em permutação.

→

Apenas uma parte?
Observe se a ordem importa.

→

A ordem importa?
Arranjo; se não, combinação.

Ideia central: não basta verificar se os elementos foram escolhidos. É preciso decidir se trocar suas posições ou funções produz um resultado novo.

2. Permutação com repetição

Na permutação simples, todos os elementos são distintos e cada troca de posição produz uma nova ordenação. Quando alguns elementos são iguais, certas trocas não podem ser percebidas e, por isso, a expressão \(n!\) conta algumas organizações mais de uma vez.

Se existem \(n\) elementos, dos quais \(\alpha\) são iguais entre si, \(\beta\) são iguais entre si e assim sucessivamente, o número de permutações distintas é:

\(P_n^{\alpha,\beta,\ldots}=\dfrac{n!}{\alpha!\,\beta!\cdots}\)

Dividimos pelos fatoriais das quantidades repetidas porque a troca de posição entre objetos iguais não produz uma nova organização.

Exemplo 2 — Anagramas da palavra ARARA

Uma atividade de linguagem solicita a formação de sequências distintas com todas as letras da palavra ARARA. Há 5 letras no total, mas a letra A aparece 3 vezes e a letra R aparece 2 vezes.

\(P_5^{3,2}=\dfrac{5!}{3!\,2!}=\dfrac{120}{6\cdot2}=10\)

Portanto, podem ser formadas 10 sequências distintas. Utilizar \(5!=120\) seria incorreto, pois trataria os três A e os dois R como se fossem diferentes.

Exemplo 3 — Sinalização com placas coloridas

Uma equipe instalará, em uma fileira, 8 placas: 4 vermelhas idênticas, 3 azuis idênticas e 1 amarela. Para determinar quantos padrões visuais distintos podem ser montados, consideramos as repetições das placas vermelhas e azuis.

\(P_8^{4,3}=\dfrac{8!}{4!\,3!}=\dfrac{40320}{24\cdot6}=280\)

Assim, existem 280 padrões distintos.

Quando há mais de um grupo de elementos repetidos

Exemplo 4 — Palavra MATEMATICA

Desconsiderando acentos, a palavra MATEMATICA possui 10 letras. A letra A aparece 3 vezes, M aparece 2 vezes e T aparece 2 vezes. As letras E, I e C aparecem uma vez cada.

\(P_{10}^{3,2,2}=\dfrac{10!}{3!\,2!\,2!}=\dfrac{3628800}{6\cdot2\cdot2}=151200\)

As letras que aparecem uma única vez não precisam ser indicadas no denominador, pois \(1!=1\).

Pratique 1 — Permutação com repetição

Questão 1. Em uma oficina de criação de nomes, serão utilizadas todas as letras da palavra CASA. Quantas sequências distintas podem ser formadas?

Questão 2. Um jogo propõe a formação de anagramas com todas as letras da palavra BANANA. Quantos anagramas distintos são possíveis?

Questão 3. Uma faixa decorativa será montada com 7 cartões: 3 azuis idênticos, 2 verdes idênticos, 1 amarelo e 1 branco. Quantas faixas visualmente diferentes podem ser produzidas?

Questão 4. Uma pulseira linear será planejada com 8 contas colocadas lado a lado: 4 vermelhas idênticas, 3 azuis idênticas e 1 amarela. Quantas sequências de cores podem ser obtidas?

Questão 5. Um painel utilizará todas as letras da palavra ABACAXI. Quantas disposições distintas dessas letras podem ser construídas?

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1. A palavra CASA possui 4 letras, com 2 ocorrências de A. As trocas entre os dois A não criam uma nova sequência. Portanto, \(P_4^2=\dfrac{4!}{2!}=\dfrac{24}{2}=12\).

2. BANANA possui 6 letras: A aparece 3 vezes, N aparece 2 vezes e B aparece uma vez. Logo, \(P_6^{3,2}=\dfrac{6!}{3!\,2!}=\dfrac{720}{6\cdot2}=60\).

3. Há 7 cartões ao todo. Como 3 azuis e 2 verdes são repetidos, temos \(P_7^{3,2}=\dfrac{7!}{3!\,2!}=\dfrac{5040}{12}=420\) faixas.

4. As 8 posições são ocupadas por 4 contas vermelhas, 3 azuis e 1 amarela. Assim, \(P_8^{4,3}=\dfrac{8!}{4!\,3!}=280\) sequências.

5. ABACAXI possui 7 letras, e A aparece 3 vezes. As demais são distintas. Portanto, \(P_7^3=\dfrac{7!}{3!}=\dfrac{5040}{6}=840\) disposições.

3. Arranjo simples

Em um arranjo simples, escolhemos apenas uma parte dos elementos disponíveis e a ordem dos escolhidos altera o resultado. Não há repetição de elementos dentro de cada agrupamento.

Se selecionamos e ordenamos \(p\) elementos entre \(n\) elementos distintos, temos \(n\) escolhas para a primeira posição, \(n-1\) para a segunda e assim por diante, até completar \(p\) posições.

\(A_{n,p}=\dfrac{n!}{(n-p)!}\)

Exemplo 5 — Pódio de uma competição

Oito estudantes participam de uma corrida, e serão definidos primeiro, segundo e terceiro lugares. Apenas 3 dos 8 estudantes ocuparão o pódio, e a posição de cada um importa.

\(A_{8,3}=\dfrac{8!}{(8-3)!}=\dfrac{8!}{5!}=8\cdot7\cdot6=336\)

Existem 336 pódios possíveis.

Exemplo 6 — Código formado por símbolos distintos

Um equipamento utiliza códigos de 4 símbolos, escolhidos entre 6 símbolos disponíveis, sem repetição. O código ABCD é diferente de BACD, pois a posição de cada símbolo altera o código.

\(A_{6,4}=\dfrac{6!}{2!}=6\cdot5\cdot4\cdot3=360\)

Podem ser formados 360 códigos.

Arranjo e princípio fundamental da contagem

A fórmula do arranjo resume uma multiplicação decrescente. Em muitos problemas, é possível resolver diretamente pelo princípio fundamental da contagem.

Exemplo 7 — Presidente e vice-presidente

Entre 9 integrantes de um conselho, serão escolhidos um presidente e um vice-presidente. Como as funções são diferentes, trocar as pessoas de função produz outra escolha.

\(9\cdot8=72\qquad\text{ou}\qquad A_{9,2}=\dfrac{9!}{7!}=72\)

Há 72 formas de preencher as duas funções.

Pratique 2 — Arranjo simples

Questão 1. Dez atletas disputam uma prova. De quantas maneiras podem ser definidos o primeiro, o segundo e o terceiro lugares?

Questão 2. Um sistema gera códigos de 4 letras distintas escolhidas entre 7 letras disponíveis. Quantos códigos diferentes podem ser gerados?

Questão 3. Um grupo de 9 pessoas escolherá um presidente e um vice-presidente. Quantos resultados são possíveis?

Questão 4. Uma vitrine possui espaço para expor, em ordem, 3 dos 8 livros distintos recebidos por uma livraria. Quantas exposições podem ser montadas?

Questão 5. Sabe-se que o número de maneiras de escolher e ordenar 2 elementos entre \(n\) elementos distintos é 30. Determine \(n\).

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1. Apenas 3 dos 10 atletas ocupam o pódio, e as posições são diferentes. Logo, \(A_{10,3}=10\cdot9\cdot8=720\).

2. A ordem das letras altera o código e não há repetição. Portanto, \(A_{7,4}=7\cdot6\cdot5\cdot4=840\) códigos.

3. As funções distinguem os escolhidos. Há 9 possibilidades para presidente e, depois, 8 para vice: \(9\cdot8=72\).

4. São escolhidos 3 dos 8 livros, e suas posições na vitrine importam. Assim, \(A_{8,3}=8\cdot7\cdot6=336\) exposições.

5. Temos \(A_{n,2}=n(n-1)=30\). Como \(6\cdot5=30\), conclui-se que \(n=6\).

4. Combinação simples

Em uma combinação simples, escolhemos apenas uma parte dos elementos disponíveis, mas a ordem dos escolhidos não altera o grupo. Assim, uma comissão formada por Ana, Bruno e Caio é a mesma comissão, independentemente da ordem em que os nomes sejam apresentados.

\(C_{n,p}=\binom{n}{p}=\dfrac{n!}{p!\,(n-p)!}\)

O fator \(p!\) aparece no denominador porque cada grupo de \(p\) elementos foi contado \(p!\) vezes quando consideramos todas as ordens possíveis.

Exemplo 8 — Comissão de estudantes

Uma escola escolherá 3 estudantes entre 8 candidatos para formar uma comissão. Todos terão a mesma função; portanto, a ordem da escolha não cria comissões diferentes.

\(C_{8,3}=\dfrac{8!}{3!\,5!}=\dfrac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1}=56\)

Podem ser formadas 56 comissões.

Exemplo 9 — Seleção de livros

Uma leitora escolherá 4 livros entre 10 títulos para levar durante uma viagem. Como interessa apenas o conjunto escolhido, e não a ordem em que os livros foram selecionados, utilizamos combinação.

\(C_{10,4}=\dfrac{10!}{4!\,6!}=\dfrac{10\cdot9\cdot8\cdot7}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=210\)

Existem 210 seleções possíveis.

Propriedade de simetria

Escolher \(p\) elementos entre \(n\) equivale a decidir quais \(n-p\) elementos ficarão de fora. Por isso:

\(C_{n,p}=C_{n,n-p}\)

Exemplo 10 — Escolher ou excluir

Escolher 8 participantes entre 10 equivale a determinar quais 2 não participarão. Assim, em vez de calcular \(C_{10,8}\), podemos calcular:

\(C_{10,8}=C_{10,2}=\dfrac{10\cdot9}{2}=45\)

Pratique 3 — Combinação simples

Questão 1. Uma comissão de 3 estudantes será escolhida entre 9 candidatos. Quantas comissões podem ser formadas?

Questão 2. Uma equipe de projeto terá 4 integrantes escolhidos entre 10 profissionais igualmente habilitados. Quantas equipes são possíveis?

Questão 3. Uma pizza receberá 2 sabores de cobertura escolhidos entre 7 opções, sem repetição e sem considerar a ordem da escolha. Quantas pizzas diferentes podem ser montadas?

Questão 4. Uma equipe esportiva selecionará 5 titulares entre 12 atletas, sem atribuir posições específicas. Quantas escalações são possíveis?

Questão 5. O número de grupos com 2 pessoas escolhidas entre \(n\) pessoas é 15. Determine \(n\).

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1. A ordem não altera a comissão. Portanto, \(C_{9,3}=\dfrac{9\cdot8\cdot7}{3\cdot2\cdot1}=84\).

2. Os quatro integrantes não recebem funções distintas. Logo, \(C_{10,4}=\dfrac{10!}{4!\,6!}=210\) equipes.

3. Escolher queijo e tomate produz a mesma pizza que escolher tomate e queijo. Assim, \(C_{7,2}=\dfrac{7\cdot6}{2}=21\).

4. Como não há posições específicas, a ordem dos nomes não importa. Temos \(C_{12,5}=\dfrac{12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=792\).

5. \(C_{n,2}=\dfrac{n(n-1)}{2}=15\), então \(n(n-1)=30\). Como \(6\cdot5=30\), temos \(n=6\).

5. Arranjo ou combinação?

A diferença decisiva entre arranjo e combinação é o efeito da ordem. Compare duas situações construídas com as mesmas 8 pessoas.

Titular e suplente

As funções são diferentes. Ana titular e Bruno suplente não é o mesmo resultado que Bruno titular e Ana suplente.

Arranjo: \(A_{8,2}=56\).

Dois representantes

Os escolhidos possuem a mesma função. O grupo Ana–Bruno é igual ao grupo Bruno–Ana.

Combinação: \(C_{8,2}=28\).

Situação	Todos os elementos?	A ordem importa?	Modelo
Ordenar letras com repetições	Sim	Sim, exceto trocas entre elementos iguais	Permutação com repetição
Definir os três primeiros colocados	Não	Sim	Arranjo simples
Escolher integrantes de uma comissão	Não	Não	Combinação simples

Problemas com mais de uma etapa

Algumas situações exigem combinar procedimentos. Em uma comissão composta por 2 professores escolhidos entre 5 e 3 estudantes escolhidos entre 8, a ordem não importa dentro de cada grupo, mas as duas escolhas precisam ocorrer.

\(C_{5,2}\cdot C_{8,3}=10\cdot56=560\)

Aplicamos combinação em cada escolha e, como precisamos escolher professores e estudantes, multiplicamos os resultados.

Pratique 4 — Identificação do método

Questão 1. Um letreiro será formado utilizando uma vez cada letra da palavra ESCOLA. Quantos letreiros distintos podem ser produzidos?

Questão 2. Doze finalistas disputam três posições distintas em um pódio. Quantos pódios podem ser formados?

Questão 3. Uma biblioteca selecionará 3 entre 12 livros para uma mostra, sem definir ordem de exposição. Quantas seleções são possíveis?

Questão 4. Um conselho será formado por 2 professores escolhidos entre 5 e 3 estudantes escolhidos entre 8. Quantos conselhos diferentes podem ser formados?

Questão 5. Um painel terá 4 posições ordenadas, preenchidas com 4 símbolos distintos escolhidos entre 7 disponíveis. Quantos painéis podem ser produzidos?

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1. ESCOLA possui 6 letras distintas, todas utilizadas. Trata-se de permutação simples: \(6!=720\).

2. Apenas 3 dos 12 finalistas serão escolhidos, e a posição no pódio importa. Logo, \(A_{12,3}=12\cdot11\cdot10=1320\).

3. Apenas o grupo de livros interessa; não há posições diferentes. Portanto, \(C_{12,3}=\dfrac{12\cdot11\cdot10}{6}=220\).

4. Escolhemos 2 dos 5 professores e 3 dos 8 estudantes. Como as duas escolhas compõem o conselho, multiplicamos: \(C_{5,2}\cdot C_{8,3}=10\cdot56=560\).

5. São escolhidos 4 dos 7 símbolos e a posição de cada um importa. Assim, \(A_{7,4}=7\cdot6\cdot5\cdot4=840\).

6. Síntese dos procedimentos

Procedimento	Características	Fórmula
Permutação simples	Todos os elementos são distintos e todos são ordenados.	\(P_n=n!\)
Permutação com repetição	Todos os elementos são ordenados, mas há elementos iguais.	\(P_n^{\alpha,\beta,\ldots}=\dfrac{n!}{\alpha!\beta!\cdots}\)
Arranjo simples	Apenas \(p\) dos \(n\) elementos são escolhidos, e a ordem importa.	\(A_{n,p}=\dfrac{n!}{(n-p)!}\)
Combinação simples	Apenas \(p\) dos \(n\) elementos são escolhidos, e a ordem não importa.	\(C_{n,p}=\dfrac{n!}{p!(n-p)!}\)

Estratégia de leitura: identifique primeiro o que representa um resultado. Depois, verifique se todos os elementos são usados, se há repetições e se uma troca de ordem produz um resultado diferente. A fórmula deve ser consequência dessa análise.

7. Revisão e aprofundamento

Resolva as questões a seguir antes de abrir o gabarito. Em cada uma, justifique por que a ordem deve ou não ser considerada.

Questão 1. Uma atividade pede a formação de anagramas com todas as letras da palavra ARARA. Quantos anagramas distintos podem ser produzidos?

Questão 2. Uma gráfica utilizará todas as letras da palavra BANDEIRA para criar composições tipográficas. Quantas sequências distintas podem ser formadas?

Questão 3. Um painel linear será montado com 9 lâmpadas: 5 brancas idênticas e 4 azuis idênticas. Quantos padrões distintos podem ser obtidos?

Questão 4. Sete atletas disputam uma prova com premiações diferentes para primeiro, segundo e terceiro lugares. Quantos pódios são possíveis?

Questão 5. Um código de acesso possui 3 caracteres distintos escolhidos entre 9 símbolos disponíveis. Quantos códigos podem ser formados?

Questão 6. Uma associação escolherá, entre 11 integrantes, um presidente, um secretário e um tesoureiro. De quantas maneiras as funções podem ser preenchidas?

Questão 7. Uma equipe de 4 pessoas será escolhida entre 9 candidatos, sem funções diferenciadas. Quantas equipes podem ser formadas?

Questão 8. Uma sorveteria permite escolher 2 sabores entre 8 disponíveis para montar um recipiente com duas porções, sem distinguir a ordem dos sabores. Quantas escolhas são possíveis?

Questão 9. Uma escola selecionará 6 estudantes entre 10 inscritos para participar de uma visita técnica. Quantos grupos podem ser selecionados?

Questão 10. Entre 8 estudantes, serão escolhidos um representante titular e um suplente. Quantos resultados diferentes existem?

Questão 11. Nas mesmas condições da questão anterior, a turma decide escolher apenas dois representantes com a mesma função. Quantos grupos existem?

Questão 12. Quantos anagramas podem ser formados com todas as letras da palavra CADERNO?

Questão 13. Um painel tem quatro posições ordenadas e será preenchido com 4 fotografias distintas escolhidas entre 10 disponíveis. Quantos painéis diferentes podem ser montados?

Questão 14. Uma comissão será formada por 3 mulheres escolhidas entre 7 candidatas e 2 homens escolhidos entre 5 candidatos. Quantas comissões são possíveis?

Questão 15. Uma senha numérica possui 5 algarismos distintos. O primeiro não pode ser zero, mas os demais podem utilizar o zero. Quantas senhas podem ser formadas?

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1. ARARA possui 5 letras, com 3 ocorrências de A e 2 de R. Logo, \(P_5^{3,2}=\dfrac{5!}{3!\,2!}=10\).

2. BANDEIRA possui 8 letras, e apenas A aparece duas vezes. Portanto, \(P_8^2=\dfrac{8!}{2!}=20160\).

3. As lâmpadas da mesma cor são indistinguíveis. Assim, \(P_9^{5,4}=\dfrac{9!}{5!\,4!}=\dfrac{362880}{120\cdot24}=126\).

4. Apenas três atletas ocupam o pódio, e suas posições importam. Temos \(A_{7,3}=7\cdot6\cdot5=210\).

5. São preenchidas 3 posições ordenadas, sem repetição: \(A_{9,3}=9\cdot8\cdot7=504\).

6. As três funções são diferentes. Portanto, \(A_{11,3}=11\cdot10\cdot9=990\).

7. A ordem dos quatro integrantes não altera a equipe. Logo, \(C_{9,4}=\dfrac{9!}{4!\,5!}=126\).

8. A escolha morango–limão é a mesma que limão–morango. Assim, \(C_{8,2}=\dfrac{8\cdot7}{2}=28\).

9. Trata-se da escolha de 6 entre 10, sem funções distintas. Pela propriedade de simetria, \(C_{10,6}=C_{10,4}=210\).

10. Titular e suplente são funções diferentes. Há 8 escolhas para titular e 7 para suplente: \(8\cdot7=56\).

11. Agora os dois escolhidos têm a mesma função, de modo que a ordem não importa: \(C_{8,2}=28\).

12. CADERNO possui 7 letras distintas, todas utilizadas. Portanto, \(P_7=7!=5040\).

13. Apenas 4 das 10 fotografias são usadas, e a posição no painel importa. Logo, \(A_{10,4}=10\cdot9\cdot8\cdot7=5040\).

14. Escolhemos 3 das 7 mulheres e 2 dos 5 homens. Como as duas escolhas devem ocorrer, \(C_{7,3}\cdot C_{5,2}=35\cdot10=350\).

15. O primeiro algarismo possui 9 opções, de 1 a 9. Depois dessa escolha, restam 9 algarismos para a segunda posição, incluindo o zero, e sucessivamente 8, 7 e 6 opções. Assim, \(9\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6=27216\) senhas.

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