Probabilidade: experimentos aleatórios, espaço amostral, eventos e cálculos
Antes de uma partida, não é possível afirmar qual equipe marcará o primeiro gol. Ao lançar um dado, conhecemos os resultados possíveis, mas não sabemos antecipadamente qual face ficará voltada para cima. Em uma inspeção de qualidade, também não se pode garantir se o próximo produto examinado apresentará ou não algum defeito.
Essas situações possuem algo em comum: mesmo quando o procedimento é conhecido e realizado nas mesmas condições, o resultado individual permanece incerto. A probabilidade fornece maneiras de organizar os resultados possíveis e medir a chance de ocorrência de acontecimentos de interesse. Nesta postagem, construiremos essa compreensão desde a identificação do experimento até o cálculo de probabilidades em espaços amostrais equiprováveis.
Habilidades da BNCC
EM13MAT311 — identificar e descrever o espaço amostral de eventos aleatórios, realizando contagens das possibilidades para resolver e elaborar problemas que envolvem o cálculo de probabilidades.
EM13MAT511 — reconhecer a existência de diferentes tipos de espaços amostrais, discretos ou não, e de eventos equiprováveis ou não, investigando implicações no cálculo de probabilidades.
1. Experimentos determinísticos e aleatórios
Em um experimento determinístico, o resultado pode ser previsto quando as condições iniciais são conhecidas. Se aquecermos água pura, ao nível do mar, até \(100\,^{\circ}\mathrm{C}\), esperamos sua ebulição. Se calcularmos o perímetro de um quadrado de lado 6 cm, o resultado será sempre 24 cm.
Em um experimento aleatório, conhecemos os resultados que podem ocorrer, mas não conseguimos determinar antecipadamente qual deles será observado em uma realização específica. A incerteza não significa ausência de informação: muitas vezes, é possível conhecer todas as possibilidades e comparar suas chances.
Experimento determinístico
Repetido nas mesmas condições, apresenta um resultado previsível.
Exemplo: calcular a soma dos ângulos internos de um triângulo.
Experimento aleatório
Repetido nas mesmas condições, pode produzir diferentes resultados.
Exemplo: registrar o número de mensagens recebidas durante uma hora.
Exemplo 1 — Controle de qualidade
Uma indústria retira uma lâmpada de um lote e verifica se ela funciona corretamente. Antes do teste, há dois resultados possíveis: a lâmpada funciona ou não funciona. Embora o procedimento esteja definido, não se conhece previamente o resultado da unidade escolhida. Portanto, trata-se de um experimento aleatório.
2. Espaço amostral
O conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório é chamado de espaço amostral e costuma ser representado pela letra grega \(\Omega\). Cada resultado individual recebe o nome de ponto amostral.
\(\Omega=\{\text{todos os resultados possíveis do experimento}\}\)
Exemplo 2 — Lançamento de um dado
Um dado comum possui seis faces numeradas de 1 a 6. Se o experimento consiste em lançar o dado e observar a face superior, então:
\(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\)
O espaço amostral possui seis pontos amostrais, portanto \(n(\Omega)=6\).
Representação do espaço amostral do dado
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Cada caixa representa um ponto amostral.
A descrição do resultado modifica o espaço amostral
Um mesmo procedimento físico pode gerar espaços amostrais diferentes, dependendo do que será observado. Por isso, é essencial ler com atenção qual informação o experimento registra.
Exemplo 3 — Duas moedas e diferentes registros
Duas moedas são lançadas. Se registrarmos o resultado de cada moeda e utilizarmos C para cara e K para coroa, teremos:
\(\Omega_1=\{(C,C),(C,K),(K,C),(K,K)\}\)
Os resultados \((C,K)\) e \((K,C)\) são diferentes, pois indicam resultados distintos para a primeira e a segunda moeda.
Se o experimento registrar apenas a quantidade de caras, o espaço amostral será:
\(\Omega_2=\{0,1,2\}\)
Os dois espaços amostrais são válidos, mas respondem a perguntas diferentes. Além disso, em \(\Omega_2\), os valores 0, 1 e 2 não possuem a mesma chance de ocorrer.
Espaço amostral discreto e não discreto
| Tipo | Característica | Exemplo |
|---|
| Discreto | Seus resultados podem ser listados ou contados. | Número de estudantes ausentes em uma turma: \(0,1,2,\ldots\) |
| Não discreto | Os resultados podem assumir qualquer valor em um intervalo. | Tempo de espera até a chegada de um ônibus. |
Atenção: nesta postagem, os cálculos serão concentrados em espaços amostrais finitos. Em uma variável contínua, como tempo, massa ou temperatura, a probabilidade não é obtida simplesmente contando valores individuais.
3. Eventos
Um evento é qualquer subconjunto do espaço amostral. Ele reúne os resultados que satisfazem uma condição de interesse. Se lançarmos um dado, “obter um número par” é um evento formado pelos resultados 2, 4 e 6.
Exemplo 4 — Eventos no lançamento de um dado
Considere \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\). Podemos definir:
\(A=\{2,4,6\}\): obter um número par.
\(B=\{5,6\}\): obter um número maior que 4.
\(C=\{3\}\): obter exatamente o número 3.
Evento \(A\): obter um número par
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Os resultados destacados pertencem ao evento \(A\).
Classificação dos eventos
Evento simples
Possui apenas um ponto amostral.
Exemplo: obter 5 no dado, \(A=\{5\}\).
Evento certo
Coincide com o espaço amostral.
Exemplo: obter um número menor que 7, \(B=\Omega\).
Evento impossível
Não possui pontos amostrais.
Exemplo: obter 8 no dado, \(C=\varnothing\).
Evento complementar
O evento complementar de \(A\), indicado por \(A^c\), é formado por todos os resultados de \(\Omega\) que não pertencem a \(A\). Assim, \(A\) e \(A^c\) não ocorrem simultaneamente e, juntos, abrangem todo o espaço amostral.
Exemplo 5 — Complementar de um evento
No lançamento de um dado, considere o evento \(A\): “obter um número menor que 5”.
\(A=\{1,2,3,4\}\qquad A^c=\{5,6\}\)
O evento complementar pode ser descrito como “obter um número maior ou igual a 5”.
Pratique 1 — Experimentos, espaços amostrais e eventos
Questão 1. Durante uma feira científica, um sensor é acionado para registrar a temperatura de uma sala em determinado instante. Explique se o experimento é aleatório e indique se seu espaço amostral é discreto ou não discreto.
Questão 2. Uma roleta possui quatro setores identificados pelas letras A, B, C e D. Ela é girada uma vez e registra-se a letra indicada. Escreva o espaço amostral e determine sua quantidade de pontos amostrais.
Questão 3. Uma moeda é lançada duas vezes, e a ordem dos resultados é registrada. Utilizando C para cara e K para coroa, construa o espaço amostral.
Questão 4. No lançamento de um dado comum, descreva por extensão o evento \(A\): “obter um divisor de 6” e o evento complementar \(A^c\).
Questão 5. Em uma caixa há cartões numerados de 1 a 10. Um cartão será retirado e seu número registrado. Classifique os eventos “retirar um número natural”, “retirar o número 7” e “retirar um número maior que 12” como certo, simples ou impossível.
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1. Antes da medição, o valor exato não é conhecido, pois depende das condições da sala naquele instante; por isso, o experimento pode ser tratado como aleatório. Como a temperatura pode assumir qualquer valor real dentro de um intervalo, seu espaço amostral é não discreto.
2. Os únicos resultados registrados são as quatro letras. Portanto, \(\Omega=\{A,B,C,D\}\) e \(n(\Omega)=4\).
3. Como a ordem é registrada, cara seguida de coroa é diferente de coroa seguida de cara. Assim, \(\Omega=\{(C,C),(C,K),(K,C),(K,K)\}\).
4. Os divisores positivos de 6 presentes no dado são 1, 2, 3 e 6. Logo, \(A=\{1,2,3,6\}\). Os resultados do espaço amostral que não pertencem a \(A\) são 4 e 5; portanto, \(A^c=\{4,5\}\).
5. Todos os cartões apresentam números naturais, então o primeiro evento é certo. Retirar o número 7 corresponde a um único ponto amostral, portanto é simples. Como nenhum cartão possui número maior que 12, o terceiro evento é impossível.
4. Probabilidade em espaços amostrais equiprováveis
Quando todos os pontos amostrais possuem a mesma chance de ocorrer, dizemos que eles são equiprováveis. Nessa situação, a probabilidade de um evento \(A\) é a razão entre o número de resultados favoráveis a \(A\) e o número total de resultados do espaço amostral.
\(P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}=\dfrac{\text{número de resultados favoráveis}}{\text{número total de resultados possíveis}}\)
Resultados favoráveis
Os resultados que atendem à condição do evento.
÷
Resultados possíveis
Todos os resultados do espaço amostral.
A probabilidade pode ser expressa como fração, número decimal ou porcentagem. Como \(0\leq n(A)\leq n(\Omega)\), sempre temos:
\(0\leq P(A)\leq1\qquad\text{ou}\qquad0\%\leq P(A)\leq100\%\)
Exemplo 6 — Número primo no lançamento de um dado
Um dado equilibrado é lançado uma vez. Qual é a probabilidade de obter um número primo?
O espaço amostral é \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\). Os números primos presentes são 2, 3 e 5, portanto \(A=\{2,3,5\}\).
\(P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}=\dfrac{3}{6}=\dfrac12=0{,}5=50\%\)
Isso não significa que, em dois lançamentos, necessariamente ocorrerá um número primo uma vez. A probabilidade descreve a chance em cada lançamento e o comportamento esperado em muitas repetições.
Probabilidade do evento complementar
Como \(A\) e \(A^c\) completam todo o espaço amostral, a soma de suas probabilidades é igual a 1.
\(P(A)+P(A^c)=1\qquad\Rightarrow\qquad P(A^c)=1-P(A)\)
Exemplo 7 — Pelo menos um estudante presente
Em determinada situação, a probabilidade de nenhum dos dois representantes de uma turma comparecer a uma reunião é 0,08. A probabilidade de pelo menos um deles comparecer corresponde ao evento complementar.
\(P(\text{pelo menos um})=1-P(\text{nenhum})=1-0{,}08=0{,}92=92\%\)
Evento certo, evento impossível e probabilidades
Evento certo
\(P(\Omega)=1=100\%\)
Evento impossível
\(P(\varnothing)=0=0\%\)
5. Antes de aplicar a fórmula: os resultados têm a mesma chance?
A razão \(\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}\) só pode ser utilizada diretamente quando os pontos amostrais considerados são equiprováveis. Contar resultados sem analisar suas chances pode levar a conclusões incorretas.
Exemplo 8 — Uma roleta com setores de tamanhos diferentes
Uma roleta circular apresenta um setor azul que ocupa metade do disco e dois outros setores, verde e amarelo, que ocupam um quarto do disco cada. Se registrarmos apenas a cor indicada, o espaço amostral será \(\Omega=\{\text{azul},\text{verde},\text{amarelo}\}\).
Entretanto, não podemos afirmar que a probabilidade de cada cor é \(\dfrac13\), pois os setores possuem áreas diferentes. Nesse caso:
\(P(\text{azul})=\dfrac12\qquad P(\text{verde})=\dfrac14\qquad P(\text{amarelo})=\dfrac14\)
Exemplo 9 — Quantidade de caras em duas moedas
Ao lançar duas moedas equilibradas e registrar apenas a quantidade de caras, obtemos \(\Omega=\{0,1,2\}\). Esses três valores não são equiprováveis. Para identificar suas chances, retomamos os quatro resultados ordenados:
\((K,K)\rightarrow0\text{ cara}\)
\((C,K),(K,C)\rightarrow1\text{ cara}\)
\((C,C)\rightarrow2\text{ caras}\)
Assim, \(P(0)=\dfrac14\), \(P(1)=\dfrac24=\dfrac12\) e \(P(2)=\dfrac14\).
Estratégia: quando os resultados descritos no enunciado não forem equiprováveis, procure representar o experimento por resultados elementares que possuam a mesma chance. Depois, agrupe-os de acordo com o evento investigado.
Pratique 2 — Cálculo de probabilidades
Questão 1. Uma biblioteca realiza um sorteio entre 20 estudantes que concluíram um projeto de leitura. O grupo possui 12 estudantes do turno matutino e 8 do vespertino. Considerando que todos os nomes têm a mesma chance de serem sorteados, qual é a probabilidade de o estudante escolhido ser do turno vespertino?
Questão 2. Em um jogo, um dado equilibrado é lançado uma vez. O participante recebe um bônus se obtiver um número maior que 2 e menor que 6. Determine a probabilidade de receber o bônus.
Questão 3. Uma caixa contém cartões numerados de 1 a 15. Um cartão é retirado ao acaso. Qual é a probabilidade de o número sorteado ser múltiplo de 4?
Questão 4. A previsão baseada no histórico de uma linha de ônibus indica probabilidade de 0,18 para um atraso superior a dez minutos. Determine a probabilidade de o ônibus não apresentar atraso superior a dez minutos.
Questão 5. Duas moedas equilibradas são lançadas simultaneamente. Qual é a probabilidade de ocorrer exatamente uma cara?
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1. Os 20 nomes são equiprováveis, e 8 pertencem ao turno vespertino. Logo, \(P(V)=\dfrac{8}{20}=\dfrac25=0{,}4=40\%\).
2. Os resultados do dado são \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\). Os números maiores que 2 e menores que 6 são 3, 4 e 5. Assim, há 3 resultados favoráveis entre 6 possíveis: \(P=\dfrac36=\dfrac12=50\%\).
3. Entre 1 e 15, os múltiplos de 4 são 4, 8 e 12. Portanto, existem 3 casos favoráveis entre 15 possíveis: \(P=\dfrac3{15}=\dfrac15=20\%\).
4. “Não apresentar atraso superior a dez minutos” é o evento complementar de “apresentar atraso superior a dez minutos”. Logo, \(P=1-0{,}18=0{,}82=82\%\).
5. O espaço amostral ordenado é \(\Omega=\{(C,C),(C,K),(K,C),(K,K)\}\). Exatamente uma cara ocorre em \((C,K)\) e \((K,C)\). Portanto, \(P=\dfrac24=\dfrac12=50\%\).
6. Construção do espaço amostral com o princípio da contagem
Em experimentos compostos, listar todos os resultados pode ser trabalhoso. Quando cada resultado elementar é formado por etapas, o princípio fundamental da contagem permite determinar \(n(\Omega)\) sem escrever todas as possibilidades.
1. Identificar
Quais são as etapas do experimento?
→
2. Contar
Quantas opções existem em cada etapa?
→
3. Multiplicar
Determinar \(n(\Omega)\).
→
4. Comparar
Contar os resultados favoráveis.
Exemplo 10 — Lançamento de dois dados
Dois dados equilibrados, um azul e um verde, são lançados. Como o resultado é um par ordenado, há 6 possibilidades para o dado azul e 6 para o verde.
\(n(\Omega)=6\cdot6=36\)
Para que a soma seja 8, os pares favoráveis são \((2,6),(3,5),(4,4),(5,3)\) e \((6,2)\). Assim:
\(P(\text{soma }8)=\dfrac5{36}\)
Observe que “soma 8” é apenas uma descrição, mas corresponde a cinco resultados elementares. Por isso, as somas de 2 a 12 não possuem a mesma probabilidade.
Exemplo 11 — Código escolhido ao acaso
Um sistema gera, com igual chance, códigos formados por uma letra entre A, B, C e D seguida de um algarismo entre 1 e 5. Qual é a probabilidade de o código começar por A ou B e terminar com algarismo par?
Existem \(4\cdot5=20\) códigos possíveis. Para atender às duas condições, há 2 opções de letra, A ou B, e 2 opções de algarismo par, 2 ou 4.
\(n(A)=2\cdot2=4\qquad P(A)=\dfrac4{20}=\dfrac15=20\%\)
Resultados ordenados e não ordenados
Quando dois objetos são distinguíveis ou os resultados são registrados em sequência, a ordem precisa ser considerada. No lançamento de um dado azul e outro verde, \((2,5)\) é diferente de \((5,2)\). Entretanto, se duas fichas forem retiradas simultaneamente e apenas seus números forem registrados, pode ser que a ordem não faça parte do experimento. A descrição adotada interfere diretamente na contagem.
Exemplo 12 — Comissão escolhida por sorteio
Entre cinco estudantes, Ana, Bruno, Caio, Diana e Eva, dois serão sorteados para representar a turma. Como Ana e Bruno formam a mesma dupla independentemente de quem for anunciado primeiro, a ordem não importa.
As duplas possíveis são AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE e DE, totalizando 10. As duplas que incluem Ana são AB, AC, AD e AE.
\(P(\text{Ana ser escolhida})=\dfrac4{10}=\dfrac25=40\%\)
Pratique 3 — Espaços amostrais compostos
Questão 1. Em uma atividade, uma moeda equilibrada e um dado equilibrado são lançados ao mesmo tempo. Quantos resultados elementares formam o espaço amostral? Qual é a probabilidade de ocorrer cara e um número maior que 4?
Questão 2. Dois dados equilibrados de cores diferentes são lançados. Um participante vence quando a soma das faces é 9. Determine a probabilidade de vitória.
Questão 3. Um sistema forma senhas utilizando uma das letras A, B ou C seguida de dois algarismos, cada um escolhido entre 1, 2, 3 e 4, com repetição permitida. Todas as senhas são equiprováveis. Qual é a probabilidade de a senha começar por B e apresentar dois algarismos iguais?
Questão 4. Uma família possui três filhos. Considerando, para o modelo, que menino e menina têm a mesma probabilidade em cada nascimento e registrando a ordem dos nascimentos, determine a probabilidade de a família ter exatamente duas meninas.
Questão 5. Em um grupo de seis finalistas, dois serão sorteados para receber bolsas de estudo iguais. Quantas duplas podem ser formadas? Se uma das finalistas é Júlia, qual é a probabilidade de ela integrar a dupla sorteada?
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1. A moeda possui 2 resultados e o dado possui 6. Pelo princípio multiplicativo, \(n(\Omega)=2\cdot6=12\). Para ocorrer cara e número maior que 4, o dado pode mostrar 5 ou 6, produzindo 2 resultados favoráveis: \((C,5)\) e \((C,6)\). Logo, \(P=\dfrac2{12}=\dfrac16\), aproximadamente \(16{,}7\%\).
2. Há \(6\cdot6=36\) pares ordenados possíveis. A soma 9 ocorre em \((3,6),(4,5),(5,4)\) e \((6,3)\), totalizando 4 casos favoráveis. Assim, \(P=\dfrac4{36}=\dfrac19\), aproximadamente \(11{,}1\%\).
3. O total de senhas é \(3\cdot4\cdot4=48\). Para começar por B, a letra já está determinada. Os algarismos iguais podem ser 11, 22, 33 ou 44, totalizando 4 senhas favoráveis. Portanto, \(P=\dfrac4{48}=\dfrac1{12}\), aproximadamente \(8{,}3\%\).
4. Com M para menina e H para menino, existem \(2^3=8\) sequências equiprováveis. Exatamente duas meninas ocorrem em MMH, MHM e HMM, isto é, em 3 sequências. Logo, \(P=\dfrac38=37{,}5\%\).
5. As duplas não são ordenadas. Podemos listá-las ou calcular \(\dfrac{6\cdot5}{2}=15\), dividindo por 2 porque cada dupla seria contada nas duas ordens. Júlia pode formar dupla com qualquer um dos outros 5 finalistas, produzindo 5 casos favoráveis. Assim, \(P=\dfrac5{15}=\dfrac13\), aproximadamente \(33{,}3\%\).
7. Probabilidade teórica e frequência relativa
A probabilidade teórica é obtida a partir de um modelo matemático. Já a frequência relativa utiliza resultados observados em repetições do experimento. Se um evento \(A\) ocorreu \(f(A)\) vezes em \(N\) realizações, sua frequência relativa é:
\(f_r(A)=\dfrac{f(A)}{N}\)
Em muitas situações, quando o número de repetições cresce e o experimento permanece nas mesmas condições, a frequência relativa tende a se aproximar da probabilidade teórica. Em poucas repetições, entretanto, podem ocorrer diferenças consideráveis.
Exemplo 13 — Avaliação de um dado
Um dado foi lançado 200 vezes, e a face 6 apareceu em 38 lançamentos. A frequência relativa observada foi:
\(f_r(6)=\dfrac{38}{200}=0{,}19=19\%\)
Em um dado equilibrado, a probabilidade teórica de obter 6 é \(\dfrac16\approx16{,}7\%\). A diferença entre 19% e 16,7% não prova, isoladamente, que o dado seja irregular. Seriam necessárias mais observações e uma análise adequada da variação esperada.
8. Como organizar a resolução
| Etapa | Pergunta orientadora | Ação |
|---|
| 1. Interpretar | O que o experimento registra? | Definir claramente cada resultado. |
| 2. Construir | Quais resultados são possíveis? | Descrever ou contar o espaço amostral. |
| 3. Verificar | Os resultados possuem a mesma chance? | Confirmar se são equiprováveis. |
| 4. Identificar | Qual condição define o evento? | Contar os resultados favoráveis. |
| 5. Calcular | Qual razão representa a chance? | Aplicar \(P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}\), quando adequado. |
| 6. Analisar | O valor obtido faz sentido? | Verificar se está entre 0 e 1 e interpretar o resultado. |
9. Revisão e aprofundamento
Questão 1. Uma estação meteorológica registra a quantidade de chuva acumulada durante um dia. Classifique esse experimento como determinístico ou aleatório e seu espaço amostral como discreto ou não discreto.
Questão 2. Uma urna contém fichas numeradas de 2 a 8. Uma ficha é retirada e seu número é registrado. Escreva o espaço amostral e o evento \(A\): “obter um número ímpar”.
Questão 3. No experimento da questão anterior, escreva o evento complementar de \(A\) e determine \(P(A^c)\), admitindo que todas as fichas têm a mesma chance de serem retiradas.
Questão 4. Um dado equilibrado é lançado. Determine a probabilidade de obter um número que seja múltiplo de 2 ou de 3.
Questão 5. Uma escola sorteará um livro entre 32 estudantes presentes em uma atividade. Do total, 18 pertencem ao 1º ano e os demais ao 2º ano. Qual é a probabilidade de o nome sorteado pertencer a um estudante do 2º ano?
Questão 6. Um aplicativo seleciona ao acaso um número inteiro de 1 a 30. Qual é a probabilidade de o número escolhido ser divisor de 30?
Questão 7. A probabilidade de uma máquina concluir determinada operação sem interrupção é 0,94. Qual é a probabilidade de ocorrer alguma interrupção?
Questão 8. Uma roleta possui oito setores de mesma área numerados de 1 a 8. Qual é a probabilidade de o número indicado ser primo e maior que 3?
Questão 9. Duas moedas equilibradas são lançadas. Determine a probabilidade de ocorrer pelo menos uma cara.
Questão 10. Um dado equilibrado é lançado duas vezes. Qual é a probabilidade de os dois resultados serem iguais?
Questão 11. Dois dados equilibrados de cores diferentes são lançados. Determine a probabilidade de a soma das faces ser menor que 5.
Questão 12. Uma placa experimental é formada por uma das letras A, B, C ou D seguida de um algarismo de 0 a 9. Todas as placas são equiprováveis. Qual é a probabilidade de a placa apresentar uma vogal e um algarismo maior que 6?
Questão 13. Um casal planeja ter quatro filhos. Considerando, no modelo, menino e menina equiprováveis e nascimentos independentes, qual é a probabilidade de nascerem quatro crianças do mesmo sexo?
Questão 14. Entre sete projetos finalistas, dois serão sorteados para uma exposição. Um dos projetos pertence à equipe Alfa. Qual é a probabilidade de o projeto da equipe Alfa estar entre os dois sorteados?
Questão 15. Em 250 atendimentos observados, 35 ultrapassaram o tempo previsto. Determine a frequência relativa dos atrasos. Explique por que esse resultado observado não garante que exatamente 14 de cada 100 atendimentos futuros sofrerão atraso.
Gabarito detalhado
1. A quantidade de chuva não pode ser prevista com certeza antes da observação, portanto o experimento é aleatório. Como a medida pode assumir qualquer valor real em determinado intervalo, o espaço amostral é não discreto.
2. As fichas são numeradas de 2 a 8, logo \(\Omega=\{2,3,4,5,6,7,8\}\). Os números ímpares nesse conjunto são 3, 5 e 7; portanto, \(A=\{3,5,7\}\).
3. Os resultados que não pertencem a \(A\) são 2, 4, 6 e 8. Assim, \(A^c=\{2,4,6,8\}\). Como há 4 resultados favoráveis entre 7 equiprováveis, \(P(A^c)=\dfrac47\), aproximadamente \(57{,}1\%\).
4. No espaço \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\), os múltiplos de 2 são 2, 4 e 6, e os múltiplos de 3 são 3 e 6. Sem repetir o 6, o evento é \(\{2,3,4,6\}\). Portanto, \(P=\dfrac46=\dfrac23\), aproximadamente \(66{,}7\%\).
5. Se 18 dos 32 estudantes são do 1º ano, então \(32-18=14\) são do 2º ano. Logo, \(P=\dfrac{14}{32}=\dfrac7{16}=0{,}4375=43{,}75\%\).
6. Os divisores positivos de 30 são 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 e 30, totalizando 8. Como existem 30 números equiprováveis, \(P=\dfrac8{30}=\dfrac4{15}\), aproximadamente \(26{,}7\%\).
7. A interrupção é o evento complementar da conclusão sem interrupção. Portanto, \(P=1-0{,}94=0{,}06=6\%\).
8. Os números primos entre 1 e 8 são 2, 3, 5 e 7. Maiores que 3, restam 5 e 7. Assim, \(P=\dfrac28=\dfrac14=25\%\).
9. O espaço amostral é \(\{(C,C),(C,K),(K,C),(K,K)\}\). Pelo menos uma cara ocorre nos três primeiros resultados. Logo, \(P=\dfrac34=75\%\). Também seria possível calcular pelo complementar: \(1-P(K,K)=1-\dfrac14=\dfrac34\).
10. Há \(6\cdot6=36\) pares ordenados equiprováveis. Os resultados iguais são \((1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5)\) e \((6,6)\), totalizando 6. Assim, \(P=\dfrac6{36}=\dfrac16\), aproximadamente \(16{,}7\%\).
11. Entre os 36 pares ordenados, as somas menores que 5 são: soma 2, \((1,1)\); soma 3, \((1,2),(2,1)\); soma 4, \((1,3),(2,2),(3,1)\). Há 6 casos favoráveis, então \(P=\dfrac6{36}=\dfrac16\), aproximadamente \(16{,}7\%\).
12. Existem \(4\cdot10=40\) placas. Entre as letras disponíveis, somente A é vogal. Os algarismos maiores que 6 são 7, 8 e 9. Há \(1\cdot3=3\) placas favoráveis. Logo, \(P=\dfrac3{40}=0{,}075=7{,}5\%\).
13. Existem \(2^4=16\) sequências equiprováveis para os quatro nascimentos. Há duas sequências com crianças do mesmo sexo: MMMM e HHHH. Portanto, \(P=\dfrac2{16}=\dfrac18=12{,}5\%\).
14. O total de duplas é \(\dfrac{7\cdot6}{2}=21\). O projeto Alfa pode formar dupla com qualquer um dos outros 6 projetos, produzindo 6 casos favoráveis. Assim, \(P=\dfrac6{21}=\dfrac27\), aproximadamente \(28{,}6\%\).
15. A frequência relativa é \(\dfrac{35}{250}=0{,}14=14\%\). Esse percentual resume os 250 atendimentos observados. Os atendimentos futuros continuam sujeitos à variabilidade, por isso 14% representa uma referência experimental, e não a garantia de que exatamente 14 em cada grupo futuro de 100 atrasarão.
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