Probabilidade: união, interseção de eventos e probabilidade condicional
Em uma pesquisa escolar, um estudante pode participar do clube de Ciências, do clube de Matemática ou de ambos. Em um processo seletivo, uma pessoa pode atender a mais de um critério ao mesmo tempo. Em uma análise médica, a chance associada a determinado resultado pode mudar quando se sabe que o paciente pertence a um grupo específico.
Nessas situações, não basta contar separadamente os acontecimentos. É necessário reconhecer quando eles se sobrepõem e compreender como uma informação já conhecida modifica o conjunto de possibilidades. Nesta postagem, estudaremos a união e a interseção de eventos e, em seguida, utilizaremos essa organização para construir o conceito de probabilidade condicional.
Habilidades da BNCC
EM13MAT311 — identificar e descrever espaços amostrais e eventos, realizando contagens para resolver e elaborar problemas que envolvem o cálculo de probabilidades.
EM13MAT312 — resolver e elaborar problemas que envolvem o cálculo de probabilidade de eventos em experimentos aleatórios sucessivos.
Nesta etapa, a ênfase está na leitura de eventos combinados e na restrição do espaço amostral produzida por uma informação conhecida.
1. Retomando a linguagem dos conjuntos
Um evento é um subconjunto do espaço amostral. Por isso, as operações entre conjuntos ajudam a descrever acontecimentos que envolvem duas ou mais condições. Considere o lançamento de um dado equilibrado, com:
\(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\)
\(A=\{2,4,6\}\): obter um número par.
\(B=\{4,5,6\}\): obter um número maior que 3.
O resultado 4, por exemplo, pertence aos dois eventos: é par e maior que 3. Essa sobreposição precisa ser considerada quando investigamos a ocorrência de \(A\) ou de \(B\).
2. União de eventos
A união dos eventos \(A\) e \(B\), indicada por \(A\cup B\), reúne os resultados que pertencem a \(A\), a \(B\) ou aos dois eventos. Na linguagem cotidiana da probabilidade, a palavra ou normalmente possui sentido inclusivo: admite a ocorrência de apenas um dos eventos e também a ocorrência simultânea de ambos.
\(A\cup B=\{x\in\Omega\mid x\in A\text{ ou }x\in B\}\)
Exemplo 1 — Resultado par ou maior que 3
Utilizando os eventos definidos anteriormente:
\(A=\{2,4,6\}\qquad B=\{4,5,6\}\)
\(A\cup B=\{2,4,5,6\}\)
Os números 4 e 6 aparecem nos dois eventos, mas são registrados apenas uma vez na união.
3. Interseção de eventos
A interseção de \(A\) e \(B\), indicada por \(A\cap B\), é formada pelos resultados que pertencem simultaneamente aos dois eventos. Ela corresponde à ocorrência de \(A\) e \(B\).
\(A\cap B=\{x\in\Omega\mid x\in A\text{ e }x\in B\}\)
Exemplo 2 — Resultado par e maior que 3
\(A=\{2,4,6\}\qquad B=\{4,5,6\}\)
\(A\cap B=\{4,6\}\)
Somente os números 4 e 6 satisfazem simultaneamente as duas condições.
\(\Omega\)
Evento \(A\)
Evento \(B\)
\(A\cap B\)
Eventos mutuamente exclusivos
Dois eventos são mutuamente exclusivos, ou disjuntos, quando não podem ocorrer simultaneamente. Nesse caso, sua interseção é vazia.
\(A\cap B=\varnothing\)
Exemplo 3 — Eventos que não podem ocorrer juntos
No lançamento de um dado, considere \(A=\{1,3,5\}\), evento “obter um número ímpar”, e \(B=\{2,4,6\}\), evento “obter um número par”. Nenhum resultado pode ser simultaneamente par e ímpar. Portanto, \(A\cap B=\varnothing\).
Atenção: eventos mutuamente exclusivos não devem ser confundidos com eventos independentes. Eventos mutuamente exclusivos não ocorrem juntos; eventos independentes podem ocorrer juntos, mas a ocorrência de um não altera a probabilidade do outro. A independência será aprofundada na próxima postagem.
4. Probabilidade da união
Se somarmos diretamente \(P(A)\) e \(P(B)\), os resultados da interseção serão contados duas vezes: uma em \(A\) e outra em \(B\). Para corrigir essa repetição, subtraímos \(P(A\cap B)\).
\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\)
Exemplo 4 — Preferências em uma turma
Em uma turma de 40 estudantes, 22 afirmaram gostar de futebol, 18 disseram gostar de vôlei e 9 declararam gostar dos dois esportes. Escolhendo um estudante ao acaso, qual é a probabilidade de ele gostar de futebol ou de vôlei?
A soma \(22+18\) conta os 9 estudantes da interseção duas vezes. Assim, o número de estudantes na união é:
\(n(F\cup V)=22+18-9=31\)
\(P(F\cup V)=\dfrac{31}{40}=0{,}775=77{,}5\%\)
Quando os eventos são mutuamente exclusivos
Se \(A\cap B=\varnothing\), então \(P(A\cap B)=0\). A fórmula da união é reduzida à soma das probabilidades.
\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\)
Exemplo 5 — Um único cartão
Um cartão é retirado ao acaso de uma caixa que contém cartões numerados de 1 a 20. Qual é a probabilidade de o número ser menor que 4 ou maior que 17?
Os eventos são disjuntos. Os números menores que 4 são 1, 2 e 3; os maiores que 17 são 18, 19 e 20.
\(P(A\cup B)=\dfrac3{20}+\dfrac3{20}=\dfrac6{20}=\dfrac3{10}=30\%\)
Pratique 1 — União e interseção de eventos
Questão 1. No lançamento de um dado comum, considere \(A\): “obter um divisor de 6” e \(B\): “obter um número maior que 3”. Escreva \(A\), \(B\), \(A\cup B\) e \(A\cap B\).
Questão 2. Em uma turma de 35 estudantes, 20 participam de atividades esportivas, 16 participam de atividades artísticas e 7 participam das duas. Quantos estudantes participam de pelo menos uma dessas atividades?
Questão 3. Uma urna contém fichas numeradas de 1 a 12. Uma ficha é retirada ao acaso. Qual é a probabilidade de o número ser múltiplo de 2 ou múltiplo de 3?
Questão 4. Em um sorteio, a probabilidade de o resultado pertencer ao evento \(A\) é 0,45, ao evento \(B\) é 0,38 e à interseção é 0,17. Determine \(P(A\cup B)\).
Questão 5. Um cartão numerado de 1 a 10 é sorteado. Os eventos “obter número menor que 3” e “obter número maior que 8” são mutuamente exclusivos? Justifique e calcule a probabilidade da união.
Ver respostas detalhadas
1. Os divisores de 6 presentes no dado são \(A=\{1,2,3,6\}\). Os números maiores que 3 são \(B=\{4,5,6\}\). A união reúne todos os elementos sem repetição: \(A\cup B=\{1,2,3,4,5,6\}=\Omega\). A interseção contém apenas o resultado comum: \(A\cap B=\{6\}\).
2. Somar 20 e 16 conta duas vezes os 7 estudantes que participam das duas atividades. Portanto, \(n(E\cup A)=20+16-7=29\). Assim, 29 estudantes participam de pelo menos uma atividade.
3. Os múltiplos de 2 são \(\{2,4,6,8,10,12\}\), e os múltiplos de 3 são \(\{3,6,9,12\}\). A união é \(\{2,3,4,6,8,9,10,12\}\), com 8 resultados. Logo, \(P=\dfrac8{12}=\dfrac23\), aproximadamente \(66{,}7\%\).
4. Aplicando a fórmula, \(P(A\cup B)=0{,}45+0{,}38-0{,}17=0{,}66\). Portanto, a probabilidade é 66%.
5. O primeiro evento é \(\{1,2\}\), e o segundo é \(\{9,10\}\). Como não possuem elementos comuns, são mutuamente exclusivos. A união tem 4 resultados entre 10: \(P=\dfrac4{10}=40\%\).
5. Organizando dados em uma tabela de dupla entrada
Quando duas características são observadas ao mesmo tempo, uma tabela de dupla entrada ajuda a identificar a interseção, os totais de cada evento e o total geral. É importante distinguir os valores internos dos totais marginais.
Exemplo 6 — Transporte e turno de estudo
Uma pesquisa com 80 estudantes registrou o turno de estudo e se o estudante utiliza transporte público para chegar à escola.
| Turno | Usa transporte público | Não usa | Total |
|---|
| Matutino | 30 | 20 | 50 |
| Vespertino | 12 | 18 | 30 |
| Total | 42 | 38 | 80 |
Se \(M\) representa “estudar no turno matutino” e \(T\) representa “usar transporte público”, então:
\(n(M)=50\), \(n(T)=42\) e \(n(M\cap T)=30\).
\(P(M\cup T)=\dfrac{50+42-30}{80}=\dfrac{62}{80}=77{,}5\%\)
6. Probabilidade condicional
Uma probabilidade é condicional quando calculamos a chance de um evento sabendo que outro já ocorreu. A informação conhecida restringe o espaço amostral. Em vez de considerar todos os resultados iniciais, passamos a considerar somente os resultados compatíveis com a condição.
A probabilidade de \(A\) ocorrer sabendo que \(B\) ocorreu é indicada por \(P(A\mid B)\) e lida como “probabilidade de \(A\) dado \(B\)”.
\(P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)},\qquad P(B)>0\)
Em espaços amostrais finitos e equiprováveis, a mesma relação pode ser escrita por contagem:
\(P(A\mid B)=\dfrac{n(A\cap B)}{n(B)}\)
A condição modifica o denominador
123456
Sabendo que o resultado é par, o novo espaço de análise é \(\{2,4,6\}\). Entre esses três resultados, 4 e 6 são maiores que 3.
Exemplo 7 — Dado com uma informação conhecida
Um dado equilibrado foi lançado. Sabendo que o resultado obtido é par, qual é a probabilidade de ele ser maior que 3?
A condição “ser par” reduz o espaço amostral a \(B=\{2,4,6\}\). Entre esses resultados, os que também são maiores que 3 formam \(A\cap B=\{4,6\}\).
\(P(A\mid B)=\dfrac{n(A\cap B)}{n(B)}=\dfrac23\)
A probabilidade não é \(\dfrac26\), pois a informação conhecida elimina os resultados ímpares antes do cálculo.
A ordem da condição importa
Em geral, \(P(A\mid B)\) e \(P(B\mid A)\) não são iguais. Embora os dois cálculos utilizem a mesma interseção no numerador, os denominadores são diferentes.
Exemplo 8 — Comparação entre duas condicionais
Retomando a pesquisa dos 80 estudantes, sejam \(M\): “estudar no turno matutino” e \(T\): “usar transporte público”.
\(P(T\mid M)=\dfrac{30}{50}=60\%\)
\(P(M\mid T)=\dfrac{30}{42}=\dfrac57\approx71{,}4\%\)
No primeiro cálculo, observamos apenas os 50 estudantes do turno matutino. No segundo, observamos apenas os 42 usuários de transporte público. A interseção contém 30 estudantes em ambos os casos, mas o grupo de referência mudou.
Pratique 2 — Probabilidade condicional
Questão 1. Um cartão numerado de 1 a 15 é retirado ao acaso. Sabendo que o número sorteado é múltiplo de 3, qual é a probabilidade de ele ser maior que 8?
Questão 2. Em uma turma, 24 estudantes praticam algum esporte. Desses, 15 praticam futebol e 8 praticam futebol e natação. Escolhendo ao acaso um estudante entre os que praticam futebol, qual é a probabilidade de ele também praticar natação?
Questão 3. Em uma caixa, há 5 bolas azuis numeradas de 1 a 5 e 3 bolas verdes numeradas de 1 a 3. Uma bola é retirada ao acaso. Sabendo que a bola é azul, qual é a probabilidade de seu número ser par?
Questão 4. Em uma empresa, 60 funcionários participaram de uma pesquisa. Do total, 36 fizeram um curso de capacitação e, entre esses, 27 foram aprovados em uma avaliação. Determine a probabilidade de aprovação sabendo que o funcionário fez o curso.
Questão 5. Dois dados equilibrados de cores diferentes são lançados. Sabendo que a soma das faces é 8, qual é a probabilidade de o primeiro dado apresentar um número maior que 4?
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1. Os múltiplos de 3 entre 1 e 15 são \(\{3,6,9,12,15\}\), que formam o novo espaço de análise. Os valores maiores que 8 são 9, 12 e 15. Logo, \(P=\dfrac35=60\%\).
2. A condição restringe a escolha aos 15 praticantes de futebol. Entre eles, 8 também praticam natação. Assim, \(P(N\mid F)=\dfrac8{15}\), aproximadamente \(53{,}3\%\).
3. Sabendo que a bola é azul, consideramos apenas as cinco bolas azuis, numeradas de 1 a 5. As bolas azuis de número par são 2 e 4. Portanto, \(P=\dfrac25=40\%\).
4. O grupo condicionado é formado pelos 36 funcionários que fizeram o curso. Desses, 27 foram aprovados. Logo, \(P(A\mid C)=\dfrac{27}{36}=\dfrac34=75\%\).
5. Os pares ordenados cuja soma é 8 são \((2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)\). O primeiro dado é maior que 4 nos pares \((5,3)\) e \((6,2)\). Portanto, a probabilidade condicional é \(\dfrac25=40\%\).
7. Probabilidade condicional em tabelas
Em uma tabela de dupla entrada, o denominador é determinado pela informação que aparece depois da palavra “sabendo”. O numerador corresponde à célula de interseção entre a condição conhecida e o evento procurado.
Exemplo 9 — Participação em monitoria
Uma escola registrou a participação de estudantes em um programa de monitoria e o resultado final na disciplina.
| Participação | Aprovado | Não aprovado | Total |
|---|
| Participou da monitoria | 42 | 8 | 50 |
| Não participou | 30 | 20 | 50 |
| Total | 72 | 28 | 100 |
Escolhendo um estudante ao acaso entre os participantes da monitoria, a probabilidade de aprovação é:
\(P(A\mid M)=\dfrac{42}{50}=84\%\)
Escolhendo um estudante ao acaso entre os aprovados, a probabilidade de ele ter participado da monitoria é:
\(P(M\mid A)=\dfrac{42}{72}=\dfrac7{12}\approx58{,}3\%\)
Reconstruindo a interseção
A fórmula da probabilidade condicional também pode ser reorganizada para determinar a probabilidade da ocorrência simultânea dos eventos:
\(P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A\mid B)\)
Essa relação será aprofundada na próxima postagem, ao estudarmos a regra da multiplicação e os eventos dependentes e independentes.
Exemplo 10 — Seleção em duas etapas
Em uma instituição, 40% dos candidatos participam de uma etapa complementar. Entre os participantes dessa etapa, 30% são selecionados. A probabilidade de um candidato escolhido ao acaso participar da etapa e ser selecionado é:
\(P(E\cap S)=P(E)\cdot P(S\mid E)=0{,}40\cdot0{,}30=0{,}12=12\%\)
8. Como interpretar o enunciado
| Expressão do enunciado | Interpretação | Representação |
|---|
| A ou B | Pelo menos um dos eventos ocorre. | \(A\cup B\) |
| A e B | Os dois eventos ocorrem simultaneamente. | \(A\cap B\) |
| Apenas A ou apenas B | Ocorre um deles, mas não ambos. | Retirar a interseção. |
| Sabendo que B ocorreu | O espaço de análise é restrito a \(B\). | \(P(A\mid B)\) |
| A e B não podem ocorrer juntos | Os eventos são mutuamente exclusivos. | \(A\cap B=\varnothing\) |
Pratique 3 — Integração dos conteúdos
Questão 1. Em uma pesquisa com 120 pessoas, 68 utilizam o serviço A, 54 utilizam o serviço B e 26 utilizam os dois. Quantas utilizam pelo menos um dos serviços? Qual é a probabilidade de uma pessoa sorteada pertencer a esse grupo?
Questão 2. Na pesquisa anterior, escolhendo ao acaso uma pessoa entre as que utilizam o serviço A, qual é a probabilidade de ela também utilizar o serviço B?
Questão 3. Um número inteiro de 1 a 20 é escolhido ao acaso. Determine a probabilidade de ele ser múltiplo de 4 ou de 5 e, depois, calcule a probabilidade de ser múltiplo de 5 sabendo que é múltiplo de 4 ou de 5.
Questão 4. Em uma turma, 70% dos estudantes entregaram um projeto e 56% entregaram o projeto e participaram da apresentação. Sabendo que um estudante entregou o projeto, qual é a probabilidade de ele ter participado da apresentação?
Questão 5. Dois dados equilibrados de cores diferentes são lançados. Sabendo que pelo menos um dos dados apresenta o número 6, qual é a probabilidade de a soma ser 9?
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1. Pela inclusão-exclusão, \(n(A\cup B)=68+54-26=96\). Portanto, 96 pessoas utilizam pelo menos um serviço. A probabilidade é \(\dfrac{96}{120}=\dfrac45=80\%\).
2. A condição restringe o grupo aos 68 usuários do serviço A. Entre eles, 26 também utilizam B. Logo, \(P(B\mid A)=\dfrac{26}{68}=\dfrac{13}{34}\), aproximadamente \(38{,}2\%\).
3. Os múltiplos de 4 são \(\{4,8,12,16,20\}\), e os de 5 são \(\{5,10,15,20\}\). A união possui 8 números, pois 20 pertence aos dois conjuntos. Assim, \(P(A\cup B)=\dfrac8{20}=40\%\). Sabendo que o número pertence à união, os múltiplos de 5 são 5, 10, 15 e 20, isto é, 4 dos 8 resultados. Portanto, \(P(B\mid A\cup B)=\dfrac48=\dfrac12=50\%\).
4. Se \(E\) representa a entrega e \(A\) a apresentação, temos \(P(E)=0{,}70\) e \(P(E\cap A)=0{,}56\). Logo, \(P(A\mid E)=\dfrac{0{,}56}{0{,}70}=0{,}80=80\%\).
5. Os resultados com pelo menos um 6 são \((6,1),(6,2),\ldots,(6,6),(1,6),(2,6),\ldots,(5,6)\), totalizando 11 pares; \((6,6)\) não pode ser contado duas vezes. A soma 9 ocorre em \((6,3)\) e \((3,6)\). Assim, a probabilidade condicional é \(\dfrac2{11}\), aproximadamente \(18{,}2\%\).
9. Revisão e aprofundamento
Questão 1. No lançamento de um dado equilibrado, sejam \(A=\{1,2,3,4\}\) e \(B=\{3,4,5\}\). Determine \(A\cup B\) e \(A\cap B\).
Questão 2. Em uma turma de 45 estudantes, 28 gostam de Matemática, 25 gostam de Física e 14 gostam das duas disciplinas. Quantos gostam de pelo menos uma delas?
Questão 3. Na turma da questão anterior, qual é a probabilidade de um estudante sorteado gostar de Matemática ou de Física?
Questão 4. Um cartão numerado de 1 a 18 é retirado ao acaso. Determine a probabilidade de o número ser múltiplo de 3 ou múltiplo de 4.
Questão 5. Sabe-se que \(P(A)=0{,}52\), \(P(B)=0{,}41\) e \(P(A\cap B)=0{,}23\). Calcule \(P(A\cup B)\).
Questão 6. Dois eventos \(C\) e \(D\) são mutuamente exclusivos, com \(P(C)=0{,}28\) e \(P(D)=0{,}35\). Determine \(P(C\cup D)\).
Questão 7. Em um grupo de 100 pessoas, 62 leem notícias pelo celular, 48 leem pelo computador e 30 utilizam os dois meios. Quantas não utilizam nenhum desses dois meios?
Questão 8. Um cartão numerado de 1 a 24 é sorteado. Sabendo que o número é par, qual é a probabilidade de ele ser múltiplo de 6?
Questão 9. Uma urna possui 7 bolas vermelhas, das quais 3 são grandes, e 5 bolas azuis, das quais 2 são grandes. Uma bola é escolhida ao acaso. Sabendo que ela é vermelha, qual é a probabilidade de ser grande?
Questão 10. Na urna da questão anterior, sabendo que a bola escolhida é grande, qual é a probabilidade de ela ser vermelha?
Questão 11. Dois dados equilibrados de cores diferentes são lançados. Sabendo que a soma é 7, qual é a probabilidade de o primeiro dado apresentar um número par?
Questão 12. Em uma escola, 55% dos estudantes participam de alguma atividade extracurricular, e 22% participam de atividade extracurricular e de monitoria. Determine a probabilidade de participação na monitoria sabendo que o estudante participa de atividade extracurricular.
Questão 13. Em uma pesquisa, \(P(A)=0{,}60\), \(P(B)=0{,}50\) e \(P(A\cup B)=0{,}82\). Determine \(P(A\cap B)\) e \(P(A\mid B)\).
Questão 14. Uma comissão com dois representantes é sorteada entre cinco mulheres e três homens. Sabendo que a comissão possui pelo menos uma mulher, qual é a probabilidade de ela ser formada por duas mulheres?
Questão 15. Em um sistema, 30% das solicitações são classificadas como urgentes. Entre as solicitações urgentes, 80% são atendidas no mesmo dia. Determine a probabilidade de uma solicitação escolhida ao acaso ser urgente e atendida no mesmo dia.
Gabarito detalhado
1. A união reúne todos os resultados pertencentes a pelo menos um dos eventos: \(A\cup B=\{1,2,3,4,5\}\). A interseção reúne os resultados comuns: \(A\cap B=\{3,4\}\).
2. Os 14 estudantes que gostam das duas disciplinas aparecem nos dois totais. Portanto, \(n(M\cup F)=28+25-14=39\). Assim, 39 estudantes gostam de pelo menos uma das disciplinas.
3. Como 39 dos 45 estudantes pertencem à união, \(P(M\cup F)=\dfrac{39}{45}=\dfrac{13}{15}\), aproximadamente \(86{,}7\%\).
4. Os múltiplos de 3 até 18 são 3, 6, 9, 12, 15 e 18; os múltiplos de 4 são 4, 8, 12 e 16. A interseção contém apenas o 12. Logo, a união possui \(6+4-1=9\) resultados. Portanto, \(P=\dfrac9{18}=\dfrac12=50\%\).
5. \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0{,}52+0{,}41-0{,}23=0{,}70\). Portanto, a probabilidade é 70%.
6. Como os eventos são mutuamente exclusivos, \(P(C\cap D)=0\). Assim, \(P(C\cup D)=0{,}28+0{,}35=0{,}63=63\%\).
7. A quantidade que utiliza pelo menos um meio é \(62+48-30=80\). Como o grupo possui 100 pessoas, \(100-80=20\) não utilizam nenhum dos dois meios.
8. Entre 1 e 24 existem 12 números pares. Os múltiplos de 6 são 6, 12, 18 e 24, todos pares. Logo, \(P=\dfrac4{12}=\dfrac13\), aproximadamente \(33{,}3\%\).
9. A condição restringe a escolha às 7 bolas vermelhas. Dentre elas, 3 são grandes. Assim, \(P(G\mid V)=\dfrac37\), aproximadamente \(42{,}9\%\).
10. Há 3 bolas vermelhas grandes e 2 bolas azuis grandes, totalizando 5 bolas grandes. Sabendo que a bola é grande, a probabilidade de ser vermelha é \(P(V\mid G)=\dfrac35=60\%\).
11. Os pares ordenados cuja soma é 7 são \((1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)\). O primeiro dado é par em \((2,5),(4,3)\) e \((6,1)\), isto é, em 3 dos 6 resultados. Logo, \(P=\dfrac36=\dfrac12=50\%\).
12. Se \(E\) representa a atividade extracurricular e \(M\) a monitoria, então \(P(E)=0{,}55\) e \(P(E\cap M)=0{,}22\). Assim, \(P(M\mid E)=\dfrac{0{,}22}{0{,}55}=0{,}40=40\%\).
13. Pela fórmula da união, \(0{,}82=0{,}60+0{,}50-P(A\cap B)\). Portanto, \(P(A\cap B)=0{,}28\). Em seguida, \(P(A\mid B)=\dfrac{0{,}28}{0{,}50}=0{,}56=56\%\).
14. Há \(\binom82=28\) comissões possíveis. As comissões formadas por dois homens são \(\binom32=3\), portanto 25 comissões possuem pelo menos uma mulher. As comissões com duas mulheres são \(\binom52=10\). Logo, \(P(\text{duas mulheres}\mid\text{pelo menos uma})=\dfrac{10}{25}=\dfrac25=40\%\).
15. A probabilidade de urgência é 0,30, e a probabilidade de atendimento no mesmo dia, condicionada à urgência, é 0,80. Assim, \(P(U\cap A)=P(U)\cdot P(A\mid U)=0{,}30\cdot0{,}80=0{,}24=24\%\).
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