Probabilidade: eventos dependentes, independentes, regra da multiplicação e experimentos binomiais

Quando uma moeda é lançada várias vezes, o resultado de um lançamento não modifica fisicamente os seguintes. Em uma retirada de objetos sem reposição, porém, cada escolha altera a composição do conjunto e, consequentemente, as probabilidades das próximas retiradas. Essa diferença é essencial para analisar experimentos realizados em etapas.

Nesta postagem, compreenderemos como reconhecer eventos dependentes e independentes, aplicaremos a regra da multiplicação das probabilidades e estudaremos experimentos binomiais, nos quais uma mesma tentativa com dois resultados possíveis é repetida um número determinado de vezes.

Habilidade da BNCC

EM13MAT312 — resolver e elaborar problemas que envolvem o cálculo de probabilidade de eventos em experimentos aleatórios sucessivos.

Os conhecimentos desta postagem articulam probabilidade condicional, princípio multiplicativo, combinações e interpretação de expressões como “exatamente”, “pelo menos” e “no máximo”.

1. Experimentos realizados em etapas

Em um experimento composto, o resultado final depende de duas ou mais etapas. Para organizar a análise, é necessário perguntar se a primeira etapa modifica as possibilidades ou as probabilidades da etapa seguinte.

1. Identificar
Quais são as etapas?
→
2. Verificar
Há reposição ou alteração?
→
3. Atualizar
A probabilidade mudou?
→
4. Multiplicar
Calcular o caminho completo.
Exemplo 1 — Duas retiradas de uma urna

Uma urna contém 4 bolas azuis e 6 verdes. Duas bolas serão retiradas. Se a primeira bola for devolvida antes da segunda retirada, a urna continuará com 10 bolas. Se ela não for devolvida, a segunda retirada ocorrerá com apenas 9 bolas e com uma composição que dependerá da cor observada inicialmente.

Portanto, a presença ou ausência de reposição modifica o modelo probabilístico.

2. Eventos independentes

Dois eventos \(A\) e \(B\) são independentes quando a ocorrência de um deles não altera a probabilidade de ocorrência do outro. Nesse caso:

\(P(B\mid A)=P(B)\qquad\text{e}\qquad P(A\mid B)=P(A)\)

Uma consequência importante é a fórmula da probabilidade da interseção:

\(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\)
Exemplo 2 — Moeda e dado

Uma moeda equilibrada e um dado equilibrado são lançados. O resultado da moeda não interfere no resultado do dado. Qual é a probabilidade de ocorrer cara e número maior que 4?

\(P(C)=\dfrac12\)
\(P(M)=\dfrac26=\dfrac13\)
\(P(C\cap M)=\dfrac12\cdot\dfrac13=\dfrac16\)

O mesmo resultado poderia ser obtido contando os dois pares favoráveis, \((C,5)\) e \((C,6)\), entre os 12 pares equiprováveis.

Independência não significa exclusão

Eventos independentes podem ocorrer simultaneamente. Já eventos mutuamente exclusivos, quando possuem probabilidades positivas, não são independentes: se um ocorreu, o outro certamente não ocorreu.

Eventos independentes

A ocorrência de um não altera a chance do outro.

Podem ocorrer juntos.

Eventos mutuamente exclusivos

A ocorrência de um impede a ocorrência do outro.

A interseção é vazia.

3. Eventos dependentes

Dois eventos são dependentes quando a ocorrência de um altera a probabilidade do outro. Retiradas sem reposição são exemplos frequentes, pois o primeiro resultado modifica a quantidade e a composição dos objetos disponíveis.

Exemplo 3 — Duas bolas azuis sem reposição

Uma urna contém 4 bolas azuis e 6 verdes. Duas bolas são retiradas sucessivamente, sem reposição. Qual é a probabilidade de as duas serem azuis?

Na primeira retirada, há 4 bolas azuis entre 10. Se uma azul for retirada, restarão 3 azuis entre 9 bolas.

\(P(A_1)=\dfrac4{10}\)
\(P(A_2\mid A_1)=\dfrac39\)
\(P(A_1\cap A_2)=\dfrac4{10}\cdot\dfrac39=\dfrac{12}{90}=\dfrac2{15}\)

4. Regra geral da multiplicação

A regra da multiplicação vale para eventos independentes ou dependentes. A diferença está na probabilidade utilizada na etapa seguinte. Para dois eventos:

\(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A)\)

Para três eventos sucessivos:

\(P(A\cap B\cap C)=P(A)\cdot P(B\mid A)\cdot P(C\mid A\cap B)\)
Interpretação: para calcular a probabilidade de um caminho completo, multiplicamos a probabilidade de cada etapa considerando tudo o que já ocorreu naquele caminho.
Exemplo 4 — Três peças sem reposição

Uma caixa possui 7 peças adequadas e 3 defeituosas. Três peças são retiradas sem reposição. Qual é a probabilidade de todas serem adequadas?

\(P=\dfrac7{10}\cdot\dfrac69\cdot\dfrac58 =\dfrac{210}{720}=\dfrac7{24}\approx29{,}2\%\)

Os numeradores diminuem porque uma peça adequada foi retirada em cada etapa, e os denominadores diminuem porque não há reposição.

O efeito da reposição

Exemplo 5 — Comparando dois procedimentos

Em uma urna com 3 bolas vermelhas e 2 azuis, duas bolas serão retiradas.

Com reposição: a chance de vermelha permanece \(\dfrac35\) na segunda retirada.

\(P(VV)=\dfrac35\cdot\dfrac35=\dfrac9{25}=36\%\)

Sem reposição: após a retirada de uma vermelha, restam 2 vermelhas entre 4 bolas.

\(P(VV)=\dfrac35\cdot\dfrac24=\dfrac3{10}=30\%\)

Pratique 1 — Dependência e regra da multiplicação

Questão 1. Uma moeda equilibrada é lançada e, em seguida, um dado equilibrado é lançado. Qual é a probabilidade de ocorrer coroa e um número par? Os eventos são independentes?
Questão 2. Uma urna contém 5 bolas brancas e 3 pretas. Duas bolas são retiradas sem reposição. Determine a probabilidade de as duas serem brancas.
Questão 3. Na urna da questão anterior, calcule a probabilidade de retirar primeiro uma bola branca e depois uma preta, sem reposição.
Questão 4. Uma caixa contém 8 produtos aprovados e 2 reprovados. Dois produtos são escolhidos com reposição. Qual é a probabilidade de ambos serem aprovados?
Questão 5. Em um sistema, a probabilidade de uma solicitação passar pela primeira verificação é 0,90. Entre as que passam, 80% passam também pela segunda. Qual é a probabilidade de uma solicitação passar pelas duas verificações?
Ver respostas detalhadas
1. O resultado da moeda não altera o dado, portanto os eventos são independentes. A probabilidade de coroa é \(\dfrac12\), e a de número par é \(\dfrac36=\dfrac12\). Logo, \(P=\dfrac12\cdot\dfrac12=\dfrac14=25\%\).
2. Na primeira retirada, a chance de bola branca é \(\dfrac58\). Sem reposição, restam 4 brancas entre 7 bolas. Assim, \(P(BB)=\dfrac58\cdot\dfrac47=\dfrac{20}{56}=\dfrac5{14}\), aproximadamente \(35{,}7\%\).
3. A primeira bola deve ser branca, com probabilidade \(\dfrac58\). Em seguida, restam 3 bolas pretas entre 7. Portanto, \(P(BP)=\dfrac58\cdot\dfrac37=\dfrac{15}{56}\), aproximadamente \(26{,}8\%\).
4. Como há reposição, a probabilidade de aprovação permanece \(\dfrac8{10}\) em cada escolha. Assim, \(P=\dfrac8{10}\cdot\dfrac8{10}=\dfrac{64}{100}=64\%\).
5. A segunda probabilidade é condicional à passagem pela primeira verificação. Pela regra da multiplicação, \(P=0{,}90\cdot0{,}80=0{,}72=72\%\).

5. Diagrama de árvore

O diagrama de árvore organiza os caminhos possíveis de um experimento sucessivo. Em cada bifurcação, registramos as probabilidades condicionadas ao caminho já percorrido. Para determinar a probabilidade de um caminho, multiplicamos seus ramos. Para reunir caminhos alternativos, somamos seus resultados.

Duas retiradas: vermelha (V) ou azul (A)
Início→\(P(V_1)\)\(V_1\)→\(P(A_2\mid V_1)\)\(V_1A_2\)
Início→\(P(A_1)\)\(A_1\)→\(P(V_2\mid A_1)\)\(A_1V_2\)
Exemplo 6 — Uma bola de cada cor

Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 2 azuis. Duas bolas são retiradas sem reposição. Qual é a probabilidade de obter uma bola de cada cor?

Há dois caminhos possíveis: vermelha e depois azul, ou azul e depois vermelha.

\(P(VA)=\dfrac35\cdot\dfrac24=\dfrac3{10}\)
\(P(AV)=\dfrac25\cdot\dfrac34=\dfrac3{10}\)
\(P(\text{uma de cada})=\dfrac3{10}+\dfrac3{10}=\dfrac35=60\%\)

6. Experimentos binomiais

Um experimento binomial é formado por repetições de uma tentativa que possui somente dois resultados de interesse, tradicionalmente chamados de sucesso e fracasso. Esses nomes não indicam algo necessariamente positivo ou negativo; apenas distinguem o resultado que está sendo contado de seu complementar.

Número fixo de tentativas
O experimento é repetido \(n\) vezes.
Dois resultados
Cada tentativa produz sucesso ou fracasso.
Independência
Uma tentativa não altera as demais.
Probabilidade constante
A chance \(p\) de sucesso permanece igual.
Exemplo 7 — Situação binomial

Uma moeda equilibrada é lançada 5 vezes, e conta-se o número de caras. Há um número fixo de tentativas, cada lançamento produz cara ou coroa, os lançamentos são independentes e a probabilidade de cara permanece \(\dfrac12\). Portanto, o experimento é binomial.

Exemplo 8 — Situação que não é binomial

De uma urna com bolas vermelhas e azuis, retiram-se 4 bolas sem reposição e conta-se o número de vermelhas. Embora existam dois resultados de interesse, a probabilidade de retirar uma bola vermelha muda após cada retirada. Portanto, as tentativas não são independentes e a probabilidade não permanece constante. Esse experimento não segue o modelo binomial.

7. Probabilidade binomial

Considere \(n\) tentativas independentes, com probabilidade \(p\) de sucesso e \(q=1-p\) de fracasso. A probabilidade de uma sequência específica com \(k\) sucessos e \(n-k\) fracassos é:

\(p^kq^{\,n-k}\)

Entretanto, os \(k\) sucessos podem ocupar diferentes posições entre as \(n\) tentativas. A quantidade dessas organizações é \(\binom nk\). Assim:

\(P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{\,n-k}\)
SímboloSignificado
\(n\)Número total de tentativas.
\(k\)Número de sucessos desejados.
\(p\)Probabilidade de sucesso em cada tentativa.
\(1-p\)Probabilidade de fracasso em cada tentativa.
\(\binom nk\)Número de maneiras de posicionar os \(k\) sucessos.
Exemplo 9 — Exatamente três caras

Uma moeda equilibrada é lançada 5 vezes. Qual é a probabilidade de obter exatamente 3 caras?

Temos \(n=5\), \(k=3\), \(p=\dfrac12\) e \(1-p=\dfrac12\).

\(P(X=3)=\binom53\left(\dfrac12\right)^3\left(\dfrac12\right)^2\)
\(P(X=3)=10\cdot\dfrac1{32}=\dfrac{10}{32}=\dfrac5{16}=31{,}25\%\)

O fator \(\binom53=10\) conta as dez posições possíveis para as três caras entre os cinco lançamentos.

C C K C K
Exemplo 10 — Exatamente um produto defeituoso

Uma linha de produção apresenta probabilidade de 0,04 de defeito em cada peça, com resultados considerados independentes. Cinco peças são examinadas. Qual é a probabilidade de exatamente uma ser defeituosa?

Considerando “defeito” como sucesso no modelo, temos \(n=5\), \(k=1\), \(p=0{,}04\) e \(q=0{,}96\).

\(P(X=1)=\binom51(0{,}04)^1(0{,}96)^4\)
\(P(X=1)=5\cdot0{,}04\cdot0{,}84934656\approx0{,}1699\)
\(P(X=1)\approx16{,}99\%\)

Pratique 2 — Experimentos binomiais

Questão 1. Uma moeda equilibrada é lançada 4 vezes. Qual é a probabilidade de ocorrer exatamente 2 caras?
Questão 2. Um dado equilibrado é lançado 3 vezes. Considerando sucesso “obter o número 6”, determine a probabilidade de ocorrer exatamente um sucesso.
Questão 3. A probabilidade de uma semente germinar é 0,80. Considerando germinações independentes, qual é a probabilidade de exatamente 3 entre 4 sementes germinarem?
Questão 4. Em uma prova com 5 questões de verdadeiro ou falso, um estudante responde todas ao acaso. Qual é a probabilidade de acertar exatamente 4 questões?
Questão 5. Uma urna contém bolas de duas cores. São feitas 5 retiradas com reposição, e a probabilidade de obter uma bola verde em cada retirada é 0,30. Explique por que o experimento é binomial e calcule a probabilidade de exatamente 2 bolas verdes.
Ver respostas detalhadas
1. Temos \(n=4\), \(k=2\) e \(p=\dfrac12\). Logo, \(P(X=2)=\binom42\left(\dfrac12\right)^2\left(\dfrac12\right)^2=6\cdot\dfrac1{16}=\dfrac38=37{,}5\%\).
2. Em cada lançamento, \(p=\dfrac16\) para obter 6 e \(q=\dfrac56\). Assim, \(P(X=1)=\binom31\dfrac16\left(\dfrac56\right)^2=3\cdot\dfrac16\cdot\dfrac{25}{36}=\dfrac{75}{216}=\dfrac{25}{72}\), aproximadamente \(34{,}7\%\).
3. Temos \(n=4\), \(k=3\), \(p=0{,}80\) e \(q=0{,}20\). Portanto, \(P(X=3)=\binom43(0{,}8)^3(0{,}2)=4\cdot0{,}512\cdot0{,}2=0{,}4096=40{,}96\%\).
4. Cada questão tem probabilidade \(\dfrac12\) de acerto. Logo, \(P(X=4)=\binom54\left(\dfrac12\right)^4\left(\dfrac12\right)=5\cdot\dfrac1{32}=\dfrac5{32}=15{,}625\%\).
5. Há 5 tentativas, dois resultados de interesse em cada uma, reposição, independência e probabilidade constante de verde. Portanto, o modelo é binomial. \(P(X=2)=\binom52(0{,}3)^2(0{,}7)^3=10\cdot0{,}09\cdot0{,}343=0{,}3087=30{,}87\%\).

8. “Pelo menos”, “no máximo” e evento complementar

Em problemas binomiais, a interpretação do número de sucessos determina quais parcelas devem ser somadas.

Exatamente \(k\)

Somente \(X=k\).

No máximo \(k\)

\(X\leq k\): de 0 até \(k\).

Pelo menos \(k\)

\(X\geq k\): de \(k\) até \(n\).

Quando o evento complementar possui poucas possibilidades, seu uso reduz o número de cálculos. Por exemplo:

\(P(X\geq1)=1-P(X=0)\)
Exemplo 11 — Pelo menos um acerto

Um jogador realiza 4 tentativas independentes, com probabilidade de 0,30 de acerto em cada uma. Qual é a probabilidade de conseguir pelo menos um acerto?

O evento complementar é não obter nenhum acerto. A probabilidade de erro em cada tentativa é 0,70.

\(P(X\geq1)=1-P(X=0)\)
\(P(X\geq1)=1-(0{,}7)^4=1-0{,}2401=0{,}7599\)
\(P(X\geq1)=75{,}99\%\)
Exemplo 12 — No máximo um defeito

Uma peça possui probabilidade de 0,10 de defeito. Em uma amostra de 3 peças independentes, qual é a probabilidade de haver no máximo uma defeituosa?

“No máximo uma” significa zero ou uma peça defeituosa.

\(P(X\leq1)=P(X=0)+P(X=1)\)
\(P(X\leq1)=(0{,}9)^3+\binom31(0{,}1)(0{,}9)^2\)
\(P(X\leq1)=0{,}729+0{,}243=0{,}972=97{,}2\%\)

9. Valor esperado em um experimento binomial

Em muitas repetições de um experimento binomial, o número médio esperado de sucessos por grupo de \(n\) tentativas é dado por:

\(E(X)=n\cdot p\)
Exemplo 13 — Interpretação do valor esperado

Se a probabilidade de sucesso em cada tentativa é 0,25 e são realizadas 40 tentativas independentes, então:

\(E(X)=40\cdot0{,}25=10\)

Isso não significa que todo grupo de 40 tentativas produzirá exatamente 10 sucessos. O valor 10 representa a média esperada quando muitos grupos semelhantes são observados.

Pratique 3 — Integração dos conteúdos

Questão 1. Uma moeda equilibrada é lançada 6 vezes. Qual é a probabilidade de ocorrer pelo menos uma cara?
Questão 2. Um equipamento conclui uma operação corretamente com probabilidade 0,90. Em 4 operações independentes, qual é a probabilidade de todas serem concluídas corretamente?
Questão 3. Nas condições da questão anterior, qual é a probabilidade de pelo menos uma operação não ser concluída corretamente?
Questão 4. A probabilidade de um estudante responder corretamente a determinada questão é 0,60. Em 5 questões independentes de mesma dificuldade, qual é a probabilidade de ele acertar no máximo uma?
Questão 5. Uma campanha obtém resposta positiva de 8% das pessoas contatadas. Se 250 contatos independentes forem realizados, qual é o número esperado de respostas positivas? Explique o significado do resultado.
Ver respostas detalhadas
1. É mais simples utilizar o evento complementar. A probabilidade de nenhuma cara, isto é, seis coroas, é \(\left(\dfrac12\right)^6=\dfrac1{64}\). Logo, \(P(X\geq1)=1-\dfrac1{64}=\dfrac{63}{64}\), aproximadamente \(98{,}44\%\).
2. As operações são independentes e todas devem ser concluídas corretamente. Assim, \(P=(0{,}9)^4=0{,}6561=65{,}61\%\).
3. “Pelo menos uma incorreta” é o complementar de “todas corretas”. Portanto, \(P=1-0{,}6561=0{,}3439=34{,}39\%\).
4. “No máximo um acerto” significa zero ou um acerto. Assim, \(P(X\leq1)=\binom50(0{,}6)^0(0{,}4)^5+\binom51(0{,}6)(0{,}4)^4\). Logo, \(P=0{,}01024+0{,}0768=0{,}08704=8{,}704\%\).
5. O valor esperado é \(E(X)=250\cdot0{,}08=20\). Isso significa que, em muitas campanhas semelhantes com 250 contatos, a média tenderá a aproximadamente 20 respostas positivas por campanha; não é garantia de exatamente 20 em uma campanha específica.

10. Como escolher o procedimento

SituaçãoPergunta orientadoraProcedimento
Eventos sucessivosA primeira etapa altera a seguinte?Usar probabilidades condicionais quando necessário.
Caminho completoTodos os eventos do caminho devem ocorrer?Multiplicar as probabilidades dos ramos.
Caminhos alternativosO resultado pode ocorrer por rotas diferentes?Calcular cada caminho e somar.
Repetições com dois resultadosHá \(n\) tentativas independentes e \(p\) constante?Verificar se o modelo é binomial.
Exatamente \(k\) sucessosEm quantas posições os sucessos podem ocorrer?Usar \(\binom nkp^k(1-p)^{n-k}\).
Pelo menos um sucessoÉ mais simples excluir o caso de nenhum?Usar \(1-P(X=0)\).

11. Revisão e aprofundamento

Questão 1. Explique por que os resultados de dois lançamentos de uma moeda equilibrada podem ser considerados independentes.
Questão 2. Uma moeda equilibrada e um dado equilibrado são lançados. Determine a probabilidade de ocorrer cara e número primo.
Questão 3. Uma urna possui 6 bolas amarelas e 4 roxas. Duas bolas são retiradas sem reposição. Qual é a probabilidade de ambas serem roxas?
Questão 4. Na urna da questão anterior, qual é a probabilidade de a primeira bola ser amarela e a segunda ser roxa?
Questão 5. Três cartões são retirados sem reposição de uma caixa com 8 cartões, dos quais 5 possuem a letra A. Determine a probabilidade de os três cartões apresentarem a letra A.
Questão 6. Em determinado processo, \(P(A)=0{,}70\) e \(P(B\mid A)=0{,}40\). Calcule \(P(A\cap B)\).
Questão 7. Uma caixa contém 4 bolas verdes e 6 laranjas. Duas retiradas são feitas com reposição. Qual é a probabilidade de sair uma bola de cada cor, em qualquer ordem?
Questão 8. Verifique se retirar três cartas sucessivamente, sem reposição, e contar quantos ases foram obtidos constitui um experimento binomial. Justifique.
Questão 9. Uma moeda equilibrada é lançada 6 vezes. Determine a probabilidade de ocorrer exatamente 4 caras.
Questão 10. Um jogador acerta um alvo com probabilidade 0,70 em cada tentativa independente. Em 5 tentativas, qual é a probabilidade de exatamente 3 acertos?
Questão 11. Um teste possui 8 questões com quatro alternativas cada e uma única correta. Um estudante responde tudo ao acaso. Qual é a probabilidade de acertar exatamente 2 questões?
Questão 12. A probabilidade de falha de um componente é 0,05. Em um conjunto de 6 componentes independentes, qual é a probabilidade de nenhum falhar?
Questão 13. Nas condições da questão anterior, determine a probabilidade de pelo menos um componente falhar.
Questão 14. Uma pesquisa tem probabilidade de 0,40 de resposta positiva por participante. Entre 4 respostas independentes, qual é a probabilidade de obter no máximo uma positiva?
Questão 15. Em uma produção, 2% das unidades apresentam determinada característica. Em lotes com 500 unidades independentes, qual é o número esperado de unidades com essa característica? Interprete o resultado.
Gabarito detalhado
1. Cada lançamento é uma nova realização do experimento nas mesmas condições. O resultado anterior não modifica a moeda nem a probabilidade de cara ou coroa no lançamento seguinte. Assim, por exemplo, \(P(C_2\mid C_1)=P(C_2)=\dfrac12\).
2. A probabilidade de cara é \(\dfrac12\). No dado, os números primos são 2, 3 e 5, portanto a probabilidade é \(\dfrac36=\dfrac12\). Como os eventos são independentes, \(P=\dfrac12\cdot\dfrac12=\dfrac14=25\%\).
3. Na primeira retirada, a probabilidade de roxa é \(\dfrac4{10}\). Sem reposição, restam 3 roxas entre 9 bolas. Logo, \(P(RR)=\dfrac4{10}\cdot\dfrac39=\dfrac{12}{90}=\dfrac2{15}\), aproximadamente \(13{,}3\%\).
4. A probabilidade de amarela na primeira retirada é \(\dfrac6{10}\). Depois de uma amarela, restam 4 roxas entre 9 bolas. Portanto, \(P(AR)=\dfrac6{10}\cdot\dfrac49=\dfrac{24}{90}=\dfrac4{15}\), aproximadamente \(26{,}7\%\).
5. Sem reposição, as probabilidades são atualizadas a cada retirada: \(P=\dfrac58\cdot\dfrac47\cdot\dfrac36=\dfrac{60}{336}=\dfrac5{28}\), aproximadamente \(17{,}9\%\).
6. Pela regra geral da multiplicação, \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A)=0{,}70\cdot0{,}40=0{,}28=28\%\).
7. Há dois caminhos. Verde e depois laranja: \(\dfrac4{10}\cdot\dfrac6{10}=\dfrac{24}{100}\). Laranja e depois verde: \(\dfrac6{10}\cdot\dfrac4{10}=\dfrac{24}{100}\). Somando, \(P=\dfrac{48}{100}=48\%\).
8. Não é binomial. Embora haja número fixo de retiradas e dois resultados de interesse, “ás” ou “não ás”, não há reposição. A composição do baralho muda, as retiradas são dependentes e a probabilidade de obter um ás não permanece constante.
9. Temos \(n=6\), \(k=4\) e \(p=\dfrac12\). Assim, \(P(X=4)=\binom64\left(\dfrac12\right)^4\left(\dfrac12\right)^2=15\cdot\dfrac1{64}=\dfrac{15}{64}\), aproximadamente \(23{,}44\%\).
10. Temos \(n=5\), \(k=3\), \(p=0{,}70\) e \(q=0{,}30\). Logo, \(P(X=3)=\binom53(0{,}7)^3(0{,}3)^2=10\cdot0{,}343\cdot0{,}09=0{,}3087=30{,}87\%\).
11. A probabilidade de acerto é \(p=\dfrac14\), e a de erro é \(q=\dfrac34\). Assim, \(P(X=2)=\binom82\left(\dfrac14\right)^2\left(\dfrac34\right)^6=28\cdot\dfrac1{16}\cdot\dfrac{729}{4096}=\dfrac{20412}{65536}\), aproximadamente \(31{,}15\%\).
12. A probabilidade de não falhar é \(1-0{,}05=0{,}95\). Para que nenhum dos seis componentes falhe, \(P=(0{,}95)^6\approx0{,}7351=73{,}51\%\).
13. “Pelo menos uma falha” é o evento complementar de “nenhuma falha”. Portanto, \(P=1-(0{,}95)^6\approx1-0{,}7351=0{,}2649=26{,}49\%\).
14. “No máximo uma” significa zero ou uma resposta positiva. \(P(X\leq1)=(0{,}6)^4+\binom41(0{,}4)(0{,}6)^3=0{,}1296+0{,}3456=0{,}4752=47{,}52\%\).
15. O valor esperado é \(E(X)=n\cdot p=500\cdot0{,}02=10\). Isso indica média de aproximadamente 10 unidades com a característica por lote em uma grande quantidade de lotes semelhantes, e não a garantia de exatamente 10 em cada lote.
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