Forma trigonométrica e operações com números complexos
A forma algébrica \(z=a+bi\) permite identificar as partes real e imaginária de um número complexo. Entretanto, quando precisamos multiplicar, dividir, elevar a potências ou determinar raízes, a representação por módulo e argumento pode tornar os cálculos mais organizados e revelar seu significado geométrico.
Nesta postagem, aprenderemos a converter números complexos para a forma trigonométrica e a utilizar essa representação nas principais operações. Veremos que multiplicar complexos corresponde a multiplicar seus módulos e adicionar seus argumentos, enquanto dividir corresponde a dividir os módulos e subtrair os argumentos.
Habilidades da BNCC
EM13MAT306 — resolver e elaborar problemas em contextos que envolvem fenômenos periódicos reais — ondas sonoras, fases da Lua, movimentos cíclicos, entre outros — e comparar suas representações com as funções seno e cosseno, no plano cartesiano, com ou sem apoio de aplicativos de Álgebra e Geometria.
EM13MAT315 — investigar e registrar, por meio de um fluxograma, quando possível, um algoritmo que resolve um problema.
Articulação curricular: números complexos não aparecem como objeto explícito nas habilidades da BNCC do Ensino Médio. O conteúdo é desenvolvido como base e complementação curricular, articulando seno, cosseno, periodicidade, representação geométrica e organização de procedimentos algébricos.
1. Forma trigonométrica de um número complexo
Considere o número complexo não nulo \(z=a+bi\), representado pelo ponto \(P(a,b)\) no plano de Argand-Gauss. Se \(r=|z|\) e \(\theta\) é um argumento de \(z\), então:
Das duas últimas relações, obtemos \(a=r\cos\theta\) e \(b=r\sin\theta\). Substituindo essas expressões em \(z=a+bi\), encontramos a forma trigonométrica ou forma polar:
\(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\)
A parte real e a parte imaginária são projeções do vetor de módulo \(r\).
1.1 Conversão da forma algébrica para a trigonométrica
Para escrever \(z=a+bi\) na forma trigonométrica, seguimos três etapas:
Calcular o módulo \(r=\sqrt{a^2+b^2}\).
Identificar o quadrante do afixo por meio dos sinais de \(a\) e \(b\).
Determinar um argumento \(\theta\) que satisfaça \(\cos\theta=\dfrac{a}{r}\) e \(\sin\theta=\dfrac{b}{r}\).
Exemplo resolvido 1 — Da forma algébrica para a trigonométrica
Escreva \(z=\sqrt3+i\) na forma trigonométrica.
Calculamos o módulo:
\(r=\sqrt{(\sqrt3)^2+1^2}=\sqrt4=2\)
Como as duas partes são positivas, o afixo está no 1º quadrante. Além disso:
Escreva \(z=-1-\sqrt3\,i\) na forma trigonométrica, adotando \(0\leq\theta<2\pi\).
O módulo é \(r=\sqrt{1+3}=2\). O afixo pertence ao 3º quadrante. Como o ângulo de referência é \(\dfrac{\pi}{3}\), o argumento principal é \(\theta=\pi+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{4\pi}{3}\).
Atenção: o módulo deve ser não negativo. Para \(z\neq0\), temos \(r>0\). Se surgir um fator negativo diante dos parênteses, é necessário reorganizar a expressão para que o módulo fique positivo e ajustar o argumento em \(\pi\) radianos.
Pratique 1 — Conversão entre as duas formas
1. Escreva \(z=1+i\) na forma trigonométrica.
2. Converta \(z=-\sqrt3+i\) para a forma trigonométrica, usando o argumento principal.
3. Escreva \(z=-2i\) na forma trigonométrica.
4. Converta \(z=4\left(\cos\dfrac{2\pi}{3}+i\sin\dfrac{2\pi}{3}\right)\) para a forma algébrica.
5. Determine a forma algébrica de \(z=10(\cos\pi+i\sin\pi)\).
Ver respostas do Pratique 1
1. \(r=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2\) e \(\theta=\dfrac{\pi}{4}\). Assim, \(z=\sqrt2\left(\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)\).
2. \(r=2\). Como o afixo está no 2º quadrante, \(\theta=\dfrac{5\pi}{6}\). Logo, \(z=2\left(\cos\dfrac{5\pi}{6}+i\sin\dfrac{5\pi}{6}\right)\).
3. O módulo é 2 e o argumento principal é \(\dfrac{3\pi}{2}\). Portanto, \(z=2\left(\cos\dfrac{3\pi}{2}+i\sin\dfrac{3\pi}{2}\right)\).
4. Como \(\cos\dfrac{2\pi}{3}=-\dfrac12\) e \(\sin\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{\sqrt3}{2}\), temos \(z=-2+2\sqrt3\,i\).
5. Como \(\cos\pi=-1\) e \(\sin\pi=0\), obtemos \(z=10(-1+0i)=-10\).
Geometricamente, o módulo do resultado é ampliado ou reduzido pelo produto \(r_1r_2\), enquanto sua direção sofre uma rotação correspondente à soma dos dois ângulos.
Exemplo resolvido 4 — Produto na forma trigonométrica
Ângulos equivalentes: se o argumento encontrado for negativo ou maior que \(2\pi\), podemos adicionar ou subtrair \(2\pi\) até obter um argumento principal no intervalo \(0\leq\theta<2\pi\).
Pratique 2 — Multiplicação e divisão
1. Calcule o produto de \(z_1=3(\cos30^\circ+i\sin30^\circ)\) e \(z_2=2(\cos45^\circ+i\sin45^\circ)\).
2. Determine \(z_1z_2\) para \(z_1=4(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3})\) e \(z_2=\frac12(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6})\).
3. Calcule \(\dfrac{z_1}{z_2}\), sabendo que \(z_1=12(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4})\) e \(z_2=3(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4})\).
4. Escreva na forma algébrica o resultado de \(2(\cos60^\circ+i\sin60^\circ)\cdot3(\cos30^\circ+i\sin30^\circ)\).
5. Um vetor complexo de módulo 5 e argumento \(20^\circ\) é multiplicado por um complexo de módulo 2 e argumento \(40^\circ\). Determine o módulo e o argumento principal do resultado.
Ver respostas do Pratique 2
1. O módulo é \(3\cdot2=6\) e o argumento é \(30^\circ+45^\circ=75^\circ\). Logo, \(z_1z_2=6(\cos75^\circ+i\sin75^\circ)\).
2. O módulo é \(4\cdot\dfrac12=2\) e o argumento é \(\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}\). Assim, \(z_1z_2=2(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2})=2i\).
3. O módulo é \(12\div3=4\) e o argumento é \(\dfrac{3\pi}{4}-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}\). Portanto, \(\dfrac{z_1}{z_2}=4i\).
4. O produto tem módulo 6 e argumento \(90^\circ\). Portanto, \(6(\cos90^\circ+i\sin90^\circ)=6i\).
5. Os módulos são multiplicados e os argumentos adicionados. O resultado apresenta módulo \(5\cdot2=10\) e argumento \(20^\circ+40^\circ=60^\circ\).
4. Potenciação: primeira fórmula de Moivre
Quando um número complexo na forma trigonométrica é elevado a um expoente natural \(n\), seu módulo é elevado a \(n\) e seu argumento é multiplicado por \(n\). Essa propriedade é conhecida como primeira fórmula de Moivre.
Determinar as raízes \(n\)-ésimas de um complexo \(z\) significa encontrar todos os números \(w\) tais que \(w^n=z\). Se \(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\), suas raízes são:
Existem exatamente \(n\) raízes \(n\)-ésimas distintas para todo complexo não nulo. No plano complexo, seus afixos têm o mesmo módulo e ficam igualmente espaçados sobre uma circunferência.
Exemplo resolvido 7 — Raízes quadradas de um complexo
Determine as raízes quadradas de \(z=4(\cos\pi+i\sin\pi)\).
Temos \(n=2\), \(r=4\) e \(\theta=\pi\). Portanto:
4. Escrevemos \(9=9(\cos0+i\sin0)\). As raízes têm módulo 3 e argumentos 0 e \(\pi\). Portanto, são \(3\) e \(-3\).
5. Os argumentos são \(\dfrac{0+2k\pi}{3}\), para \(k=0,1,2\). Logo, são \(0\), \(\dfrac{2\pi}{3}\) e \(\dfrac{4\pi}{3}\).
6. Síntese do conteúdo
Forma trigonométrica\(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\)
ProdutoMultiplicar módulos e somar argumentos
QuocienteDividir módulos e subtrair argumentos
PotênciaElevar o módulo e multiplicar o argumento
A forma trigonométrica utiliza o módulo e um argumento do número complexo.
A identificação do quadrante é indispensável na conversão da forma algébrica.
A multiplicação e a divisão ganham interpretações geométricas de escala e rotação.
A fórmula de Moivre simplifica potências de expoentes elevados.
As raízes \(n\)-ésimas de um complexo não nulo ficam igualmente espaçadas em uma circunferência.
7. Revisão e aprofundamento
1. Escreva \(z=3+3\sqrt3\,i\) na forma trigonométrica.
2. Converta \(z=-2+2i\) para a forma trigonométrica, adotando o argumento principal.
3. Escreva \(z=8\left(\cos\dfrac{7\pi}{6}+i\sin\dfrac{7\pi}{6}\right)\) na forma algébrica.
4. Determine a forma algébrica de \(z=5\left(\cos\dfrac{3\pi}{2}+i\sin\dfrac{3\pi}{2}\right)\).
5. Calcule o produto de \(z_1=2(\cos20^\circ+i\sin20^\circ)\) e \(z_2=5(\cos70^\circ+i\sin70^\circ)\).
6. Calcule \(\dfrac{z_1}{z_2}\), sendo \(z_1=15(\cos150^\circ+i\sin150^\circ)\) e \(z_2=3(\cos30^\circ+i\sin30^\circ)\).
7. Dados \(z_1=\sqrt2(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4})\) e \(z_2=2(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4})\), determine \(z_1z_2\) na forma algébrica.
8. Determine o módulo e o argumento principal de \(\dfrac{6(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6})}{2(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3})}\).
9. Calcule \([3(\cos40^\circ+i\sin40^\circ)]^3\).
10. Use a fórmula de Moivre para determinar \((\sqrt3+i)^6\).
11. Calcule \((-1+i)^8\).
12. Determine as raízes quadradas de \(16(\cos\pi+i\sin\pi)\).
13. Determine as três raízes cúbicas de \(8\) na forma trigonométrica.
14. Um sinal é representado por \(z=4(\cos15^\circ+i\sin15^\circ)\). Ele passa por uma transformação representada por \(w=3(\cos45^\circ+i\sin45^\circ)\). Determine o módulo e o argumento do produto \(zw\).
15. Um complexo \(z\) tem módulo 2 e argumento principal \(\dfrac{\pi}{3}\). Determine \(z^5\) nas formas trigonométrica e algébrica.
Ver gabarito comentado da revisão
1. O módulo é \(r=\sqrt{3^2+(3\sqrt3)^2}=\sqrt{9+27}=6\). Como o afixo está no 1º quadrante e \(\cos\theta=\frac12\), \(\sin\theta=\frac{\sqrt3}{2}\), temos \(\theta=\frac{\pi}{3}\). Logo, \(z=6(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3})\).
2. \(r=\sqrt{(-2)^2+2^2}=2\sqrt2\). O afixo está no 2º quadrante e seu ângulo de referência é \(\frac{\pi}{4}\). Portanto, \(\theta=\frac{3\pi}{4}\) e \(z=2\sqrt2(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4})\).
3. \(\cos\frac{7\pi}{6}=-\frac{\sqrt3}{2}\) e \(\sin\frac{7\pi}{6}=-\frac12\). Assim, \(z=8(-\frac{\sqrt3}{2}-\frac12i)=-4\sqrt3-4i\).
4. Como \(\cos\frac{3\pi}{2}=0\) e \(\sin\frac{3\pi}{2}=-1\), temos \(z=5(0-i)=-5i\).
5. O módulo é \(2\cdot5=10\), e o argumento é \(20^\circ+70^\circ=90^\circ\). Logo, \(z_1z_2=10(\cos90^\circ+i\sin90^\circ)=10i\).
6. Dividimos os módulos e subtraímos os argumentos: \(\frac{15}{3}=5\) e \(150^\circ-30^\circ=120^\circ\). Portanto, \(\frac{z_1}{z_2}=5(\cos120^\circ+i\sin120^\circ)\).
7. O produto tem módulo \(\sqrt2\cdot2=2\sqrt2\) e argumento \(\frac{\pi}{4}+\frac{3\pi}{4}=\pi\). Logo, \(z_1z_2=2\sqrt2(\cos\pi+i\sin\pi)=-2\sqrt2\).
8. O módulo é \(6\div2=3\). O argumento é \(\frac{\pi}{6}-\frac{2\pi}{3}=-\frac{\pi}{2}\). Somando \(2\pi\), obtemos o argumento principal \(\frac{3\pi}{2}\).
9. Pela fórmula de Moivre, o módulo é \(3^3=27\), e o argumento é \(3\cdot40^\circ=120^\circ\). Assim, o resultado é \(27(\cos120^\circ+i\sin120^\circ)\).
11. \(-1+i=\sqrt2(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4})\). Então \((-1+i)^8=(\sqrt2)^8[\cos(6\pi)+i\sin(6\pi)]=16\).
12. As raízes têm módulo \(\sqrt{16}=4\). Seus argumentos são \(\frac{\pi}{2}\) e \(\frac{3\pi}{2}\). Portanto, as raízes são \(4i\) e \(-4i\).
13. Escrevemos \(8=8(\cos0+i\sin0)\). As raízes têm módulo 2 e argumentos \(0\), \(\frac{2\pi}{3}\) e \(\frac{4\pi}{3}\). Assim, \(w_0=2(\cos0+i\sin0)\), \(w_1=2(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3})\) e \(w_2=2(\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3})\).
14. No produto, os módulos são multiplicados e os argumentos adicionados. Portanto, \(|zw|=4\cdot3=12\) e \(\arg(zw)=15^\circ+45^\circ=60^\circ\).
15. \(z=2(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3})\). Pela fórmula de Moivre, \(z^5=32(\cos\frac{5\pi}{3}+i\sin\frac{5\pi}{3})\). Como \(\cos\frac{5\pi}{3}=\frac12\) e \(\sin\frac{5\pi}{3}=-\frac{\sqrt3}{2}\), a forma algébrica é \(z^5=16-16\sqrt3\,i\).
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