Potências de i, plano de Argand-Gauss, módulo e argumento
Na forma algébrica, um número complexo reúne uma parte real e uma parte imaginária. Essa escrita permite realizar cálculos, mas ainda não revela toda a estrutura desses números. Ao representá-los geometricamente, cada complexo passa a ocupar uma posição no plano, e conceitos como distância, direção e rotação tornam-se visíveis.
Nesta postagem, estudaremos a regularidade das potências da unidade imaginária, a localização de números complexos no plano de Argand-Gauss e o cálculo do módulo e do argumento. Essas ideias estabelecem a ligação entre Álgebra e Geometria e preparam o estudo da forma trigonométrica.
Habilidades da BNCC
EM13MAT105 — utilizar as noções de transformações isométricas — translação, reflexão, rotação e composições destas — e transformações homotéticas para construir figuras e analisar elementos da natureza e diferentes produções humanas — fractais, construções civis, obras de arte, entre outras.
EM13MAT315 — investigar e registrar, por meio de um fluxograma, quando possível, um algoritmo que resolve um problema.
Articulação curricular: números complexos não aparecem como objeto explícito nas habilidades da BNCC do Ensino Médio. O conteúdo é desenvolvido como base e complementação curricular. As habilidades indicadas articulam a interpretação geométrica, a ideia de rotação e a organização de procedimentos para calcular potências, módulos e argumentos.
1. Potências da unidade imaginária
Como \(i^2=-1\), as primeiras potências de \(i\) podem ser obtidas por multiplicações sucessivas:
\(i^0=1\)resto 0
\(i^1=i\)resto 1
\(i^2=-1\)resto 2
\(i^3=-i\)resto 3
Na potência seguinte, \(i^4=i^2\cdot i^2=(-1)(-1)=1\). A partir daí, os resultados se repetem em ciclos de quatro termos:
\(1,\ i,\ -1,\ -i,\ 1,\ i,\ -1,\ -i,\ldots\)
Por isso, não é necessário multiplicar \(i\) muitas vezes para calcular uma potência de expoente elevado. Basta dividir o expoente por 4 e observar o resto.
Resto da divisão de \(n\) por 4
Forma do expoente
Valor de \(i^n\)
0
\(n=4k\)
\(i^n=1\)
1
\(n=4k+1\)
\(i^n=i\)
2
\(n=4k+2\)
\(i^n=-1\)
3
\(n=4k+3\)
\(i^n=-i\)
Exemplo resolvido 1 — Expoente elevado
Calcule \(i^{157}\).
Dividimos 157 por 4:
\(157=4\cdot39+1\)
O resto é 1. Portanto, \(i^{157}\) ocupa a mesma posição de \(i^1\) no ciclo:
\(i^{157}=i\)
Exemplo resolvido 2 — Expressão com potências
Simplifique \(i^{38}+i^{75}-i^{104}\).
Os restos das divisões dos expoentes por 4 são, respectivamente, 2, 3 e 0. Assim:
\(i^{38}+i^{75}-i^{104}=-1+(-i)-1=-2-i\)
Atenção: o resto usado no ciclo é o resto da divisão do expoente por 4. Se o expoente for múltiplo de 4, o resto será 0 e a potência valerá 1 — não \(-i\).
Pratique 1 — Potências da unidade imaginária
1. Calcule \(i^{26}\).
2. Determine o valor de \(i^{99}\).
3. Simplifique \(i^{40}+i^{41}+i^{42}+i^{43}\).
4. Calcule \(3i^{18}-2i^{31}\).
5. Um algoritmo recebe um expoente natural \(n\) e informa \(i^n\). Qual resultado ele deve apresentar para \(n=2026\)?
Ver respostas do Pratique 1
1. Como \(26=4\cdot6+2\), o resto é 2. Logo, \(i^{26}=i^2=-1\).
2. Como \(99=4\cdot24+3\), temos \(i^{99}=i^3=-i\).
3. As quatro potências formam um ciclo completo: \(1+i-1-i=0\).
4. \(18\) deixa resto 2 e \(31\) deixa resto 3. Portanto, \(3(-1)-2(-i)=-3+2i\).
5. \(2026=4\cdot506+2\). O algoritmo deve apresentar \(i^{2026}=-1\).
2. Plano de Argand-Gauss
O plano de Argand-Gauss é um sistema de coordenadas usado para representar números complexos. O eixo horizontal, chamado eixo real, registra a parte real; o eixo vertical, chamado eixo imaginário, registra o coeficiente da parte imaginária.
Assim, o número \(z=a+bi\) é associado ao ponto \(P(a,b)\). Esse ponto é chamado de afixo ou imagem geométrica de \(z\).
\(z=a+bi\quad\longleftrightarrow\quad P(a,b)\)
Cada número complexo é localizado pelas coordenadas formadas por sua parte real e sua parte imaginária.
Leitura dos eixos: em \(z=-2+3i\), a coordenada horizontal é \(-2\) e a vertical é 3. O símbolo \(i\) não é escrito na coordenada do ponto: representamos \(z\) por \((-2,3)\), e não por \((-2,3i)\).
2.1 Quadrantes, eixos e conjugados
A posição de \(z=a+bi\) depende dos sinais de \(a\) e \(b\). Se ambos são não nulos, o afixo está em um dos quatro quadrantes. Se \(b=0\), o número está no eixo real; se \(a=0\), está no eixo imaginário.
Condição
Localização
Exemplo
\(a>0\) e \(b>0\)
1º quadrante
\(2+3i\)
\(a<0\) e \(b>0\)
2º quadrante
\(-4+i\)
\(a<0\) e \(b<0\)
3º quadrante
\(-2-5i\)
\(a>0\) e \(b<0\)
4º quadrante
\(3-2i\)
Os afixos de \(z=a+bi\) e de seu conjugado \(\overline z=a-bi\) são simétricos em relação ao eixo real, pois mantêm a coordenada horizontal e apresentam coordenadas verticais opostas.
Exemplo resolvido 3 — Localização e simetria
Considere \(z=-3+2i\). Seu afixo é \(P(-3,2)\), localizado no 2º quadrante. O conjugado é \(\overline z=-3-2i\), associado ao ponto \(P'(-3,-2)\), no 3º quadrante. Os dois pontos estão à mesma distância do eixo real, em lados opostos.
Pratique 2 — Representação no plano complexo
1. Associe \(z=4-3i\) a um par ordenado e indique seu quadrante.
2. Escreva o número complexo representado pelo ponto \(A(-5,2)\).
3. Indique onde estão localizados os afixos de \(6\), \(-4i\) e \(0\).
4. Determine o conjugado de \(z=2+5i\) e descreva a relação geométrica entre os dois afixos.
5. Um ponto \(P(m-1,m+2)\) representa um complexo no 2º quadrante. Quais condições o número real \(m\) deve satisfazer?
Ver respostas do Pratique 2
1. O par é \((4,-3)\). Como a parte real é positiva e a imaginária é negativa, o afixo está no 4º quadrante.
2. A coordenada horizontal fornece a parte real e a vertical fornece a parte imaginária. Logo, \(z=-5+2i\).
3. \(6=6+0i\) está no eixo real positivo; \(-4i=0-4i\) está no eixo imaginário negativo; \(0\) está na origem.
4. \(\overline z=2-5i\). Os afixos \((2,5)\) e \((2,-5)\) são simétricos em relação ao eixo real.
5. No 2º quadrante, a parte real é negativa e a imaginária é positiva. Portanto, \(m-1<0\) e \(m+2>0\), isto é, \(-2<m<1\).
3. Módulo de um número complexo
O módulo de \(z=a+bi\), indicado por \(|z|\), é a distância entre o afixo \(P(a,b)\) e a origem do plano complexo. Como os segmentos de comprimentos \(|a|\) e \(|b|\) formam os catetos de um triângulo retângulo, aplicamos o Teorema de Pitágoras.
\(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\)
O vetor que liga a origem ao afixo é a hipotenusa do triângulo retângulo.
O sinal negativo da parte real não produz distância negativa, pois a coordenada é elevada ao quadrado.
3.1 Relação com o conjugado
O produto de um complexo pelo seu conjugado é \(a^2+b^2\). Como \(|z|^2=a^2+b^2\), temos:
\(z\overline z=|z|^2\)
Essa identidade explica por que o conjugado é usado na divisão de complexos: ele transforma o produto do denominador em um número real igual ao quadrado de seu módulo.
4. Argumento de um número complexo
Para um número complexo não nulo \(z=a+bi\), o argumento é o ângulo orientado \(\theta\) formado entre o semieixo real positivo e o vetor que liga a origem ao afixo de \(z\), medido no sentido anti-horário. Escrevemos \(\arg(z)=\theta\).
Se \(r=|z|\), as razões trigonométricas do triângulo associado fornecem:
Quando \(a\neq0\), também podemos usar \(\tan\theta=\dfrac{b}{a}\), mas essa razão, sozinha, não identifica o quadrante. Antes de escolher o ângulo, é indispensável observar os sinais de \(a\) e \(b\).
Exemplo resolvido 5 — Módulo e argumento no 1º quadrante
Determine o módulo e um argumento de \(z=1+\sqrt3\,i\).
Como o afixo está no 1º quadrante, um argumento é \(\theta=60^\circ\), ou \(\theta=\dfrac{\pi}{3}\) rad.
Exemplo resolvido 6 — O quadrante determina o argumento
Determine um argumento de \(z=-1+\sqrt3\,i\).
O módulo também é 2. Temos \(\cos\theta=-\dfrac12\) e \(\sin\theta=\dfrac{\sqrt3}{2}\). O afixo está no 2º quadrante, portanto:
\(\theta=120^\circ=\dfrac{2\pi}{3}\text{ rad}\)
Embora \(\left|\dfrac{b}{a}\right|=\sqrt3\) esteja associado ao ângulo de referência \(60^\circ\), o argumento correto precisa respeitar o 2º quadrante.
4.1 Argumentos congruentes e argumento principal
Uma volta completa não altera a direção do vetor. Assim, se \(\theta\) é um argumento de \(z\), então todos os ângulos \(\theta+2k\pi\), com \(k\in\mathbb Z\), também são argumentos de \(z\).
\(\arg(z)=\theta+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z\)
Quando se escolhe um único representante, costuma-se usar o argumento principal. Adotaremos \(0\leq\theta<2\pi\). Por essa convenção, o argumento principal de \(-i\) é \(\dfrac{3\pi}{2}\), e não \(-\dfrac{\pi}{2}\).
Importante: o número complexo \(z=0\) tem módulo zero, mas não possui argumento. Na origem, não existe uma direção definida para o vetor.
Pratique 3 — Módulo e argumento
1. Calcule o módulo de \(z=6-8i\).
2. Determine o módulo e o argumento principal de \(z=\sqrt3+i\).
3. Determine o módulo e o argumento principal de \(z=-\sqrt2-\sqrt2\,i\).
4. Um complexo \(z=a+bi\) tem afixo no eixo imaginário positivo e módulo 7. Determine \(z\) e seu argumento principal.
5. Verifique a relação \(z\overline z=|z|^2\) para \(z=4-3i\).
Ver respostas do Pratique 3
1. \(|z|=\sqrt{6^2+(-8)^2}=\sqrt{36+64}=10\).
2. \(r=\sqrt{3+1}=2\). Como \(\cos\theta=\dfrac{\sqrt3}{2}\), \(\sin\theta=\dfrac12\) e o afixo está no 1º quadrante, \(\theta=\dfrac{\pi}{6}\).
3. \(r=\sqrt{2+2}=2\). As duas coordenadas são negativas, portanto o afixo está no 3º quadrante. Como o ângulo de referência é \(45^\circ\), o argumento principal é \(225^\circ=\dfrac{5\pi}{4}\).
4. No eixo imaginário positivo, \(a=0\) e \(b>0\). Como o módulo é 7, \(z=7i\) e \(\theta=\dfrac{\pi}{2}\).
5. \(\overline z=4+3i\). Então \(z\overline z=(4-3i)(4+3i)=16+9=25\). Além disso, \(|z|^2=(\sqrt{16+9})^2=5^2=25\).
5. Síntese do conteúdo
Ciclo de \(i\)Período igual a 4
Afixo\(z=a+bi\leftrightarrow(a,b)\)
Módulo\(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\)
ArgumentoÂngulo a partir do eixo real positivo
As potências de \(i\) repetem-se a cada quatro expoentes.
No plano de Argand-Gauss, a parte real é a coordenada horizontal e a parte imaginária é a coordenada vertical.
O módulo representa a distância do afixo até a origem.
O argumento informa a direção do vetor associado ao número complexo.
O quadrante deve ser analisado antes da escolha do argumento.
O número zero não possui argumento.
6. Revisão e aprofundamento
1. Calcule \(i^{2027}\).
2. Simplifique \(i^{51}+i^{84}-i^{126}\).
3. Determine o menor número natural positivo \(n\) para o qual \(i^n=1\).
4. Escreva o número complexo associado ao ponto \(P(-4,-7)\) e indique seu quadrante.
5. Determine o par ordenado e a localização de \(z=-6i\) no plano complexo.
6. O afixo de \(z=(2m-6)+(m+1)i\) pertence ao eixo imaginário positivo. Determine \(m\) e o número \(z\).
7. Determine o conjugado de \(z=-3-4i\) e descreva a simetria entre seus afixos.
8. Calcule o módulo de \(z=-8+15i\).
9. Sabendo que \(z=a+12i\), \(a>0\) e \(|z|=13\), determine \(a\).
10. Determine o módulo e o argumento principal de \(z=1+i\).
11. Determine o módulo e o argumento principal de \(z=-\sqrt3+i\).
12. Determine o módulo e o argumento principal de \(z=-2i\).
13. Um radar representa um deslocamento pelo complexo \(z=6+6\sqrt3\,i\). Determine o comprimento do deslocamento e o ângulo que ele forma com o semieixo real positivo.
14. Um número complexo tem módulo 10, argumento principal \(\pi\) e afixo sobre um dos eixos. Determine esse número na forma algébrica.
15. Determine os valores reais de \(x\) para os quais o complexo \(z=(x-2)+(x+1)i\) possui módulo \(\sqrt{13}\).
Ver gabarito comentado da revisão
1. Dividindo 2027 por 4, obtemos \(2027=4\cdot506+3\). Como o resto é 3, \(i^{2027}=i^3=-i\).
2. Os restos das divisões de 51, 84 e 126 por 4 são 3, 0 e 2. Logo, \(i^{51}+i^{84}-i^{126}=-i+1-(-1)=2-i\).
3. As potências positivas começam com \(i\), \(-1\), \(-i\) e 1. Portanto, o menor natural positivo procurado é \(n=4\).
4. A coordenada horizontal é a parte real e a vertical é a parte imaginária. Assim, \(z=-4-7i\). Como as duas coordenadas são negativas, o afixo está no 3º quadrante.
5. Como \(z=0-6i\), o par ordenado é \((0,-6)\). O afixo está no semieixo imaginário negativo e não pertence a nenhum quadrante.
6. Para o afixo pertencer ao eixo imaginário, a parte real deve ser zero: \(2m-6=0\), logo \(m=3\). A parte imaginária vale \(m+1=4>0\), confirmando o semieixo positivo. Portanto, \(z=4i\).
7. O conjugado é \(\overline z=-3+4i\). Os afixos \((-3,-4)\) e \((-3,4)\) apresentam a mesma coordenada real e coordenadas imaginárias opostas; portanto, são simétricos em relação ao eixo real.
9. Pela fórmula do módulo, \(\sqrt{a^2+12^2}=13\). Elevando ao quadrado: \(a^2+144=169\), então \(a^2=25\). Como \(a>0\), concluímos que \(a=5\).
10. O módulo é \(r=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2\). O afixo está no 1º quadrante e forma um ângulo de \(45^\circ\) com o eixo real positivo. Assim, o argumento principal é \(\theta=\dfrac{\pi}{4}\).
11. O módulo é \(r=\sqrt{(-\sqrt3)^2+1^2}=2\). Temos \(\cos\theta=-\dfrac{\sqrt3}{2}\) e \(\sin\theta=\dfrac12\). Como o afixo está no 2º quadrante, \(\theta=\dfrac{5\pi}{6}\).
12. O afixo é \((0,-2)\), portanto o módulo é 2 e o vetor aponta para o semieixo imaginário negativo. Na convenção \(0\leq\theta<2\pi\), o argumento principal é \(\theta=\dfrac{3\pi}{2}\).
13. O comprimento é o módulo: \(|z|=\sqrt{6^2+(6\sqrt3)^2}=\sqrt{36+108}=12\). Além disso, \(\cos\theta=\dfrac6{12}=\dfrac12\) e \(\sin\theta=\dfrac{6\sqrt3}{12}=\dfrac{\sqrt3}{2}\). Como o afixo está no 1º quadrante, \(\theta=\dfrac{\pi}{3}=60^\circ\).
14. O argumento \(\pi\) aponta para o semieixo real negativo. A uma distância 10 da origem, o afixo é \((-10,0)\). Portanto, \(z=-10+0i=-10\).
15. Aplicando a fórmula do módulo: \((x-2)^2+(x+1)^2=13\). Desenvolvendo, \(x^2-4x+4+x^2+2x+1=13\), então \(2x^2-2x-8=0\). Dividindo por 2, \(x^2-x-4=0\). Pela fórmula quadrática, \(x=\dfrac{1\pm\sqrt{17}}2\).
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