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Introdução, forma algébrica e operações com números complexos

Durante muito tempo, algumas equações foram consideradas impossíveis porque não possuíam solução no conjunto dos números reais. É o caso de \(x^2+1=0\): qualquer número real elevado ao quadrado é não negativo e, portanto, nenhum deles apresenta quadrado igual a \(-1\).

A ampliação dos conjuntos numéricos levou à criação da unidade imaginária e do conjunto dos números complexos. Nesta postagem, compreenderemos por que esses números foram introduzidos, como são escritos na forma algébrica e como realizar adições, subtrações, multiplicações e divisões.

Habilidades da BNCC

EM13MAT315 — investigar e registrar, por meio de um fluxograma, quando possível, um algoritmo que resolve um problema.

Articulação curricular: números complexos não aparecem como objeto explícito nas habilidades da BNCC do Ensino Médio. O conteúdo é desenvolvido como base e complementação curricular, articulando raciocínio algébrico, organização de procedimentos e análise de diferentes conjuntos numéricos.

1. Por que surgiram os números complexos?

Os conjuntos numéricos foram ampliados à medida que surgiram operações que não podiam ser realizadas no conjunto conhecido. A subtração \(3-5\), por exemplo, exigiu os números negativos. A divisão \(1\div2\) exigiu os números racionais, e medidas como a diagonal de um quadrado de lado 1 levaram aos números irracionais.

Uma dificuldade diferente aparece quando buscamos soluções para equações como:

\(x^2+1=0\)

Isolando \(x^2\), obtemos \(x^2=-1\). Essa igualdade não pode ser satisfeita por um número real. Para superar essa limitação, definiu-se a unidade imaginária, representada pela letra \(i\).

\(i^2=-1\qquad\text{e, consequentemente,}\qquad i=\sqrt{-1}\)

Com essa definição, a equação \(x^2=-1\) passa a ter duas soluções: \(x=i\) e \(x=-i\), pois \(i^2=-1\) e \((-i)^2=i^2=-1\).

Exemplo resolvido 1 — Uma equação sem solução real

Resolva \(x^2+9=0\) no conjunto dos números complexos.

Isolamos o termo quadrático:

\(x^2=-9\)

Como \(-9=9(-1)\), podemos escrever:

\(x=\pm\sqrt{9}\sqrt{-1}=\pm3i\)

Logo, as soluções são \(x=3i\) e \(x=-3i\).

Atenção: a expressão \(i=\sqrt{-1}\) apresenta a ideia da unidade imaginária, mas as propriedades usuais dos radicais reais não podem ser aplicadas indiscriminadamente a números negativos. Por exemplo, escrever \(\sqrt{-4}\sqrt{-9}=\sqrt{36}\) produziria uma conclusão incorreta. O procedimento seguro é transformar cada radical separadamente: \(\sqrt{-4}=2i\) e \(\sqrt{-9}=3i\), de modo que \((2i)(3i)=6i^2=-6\).

1.1 O conjunto dos números complexos

O conjunto dos números complexos é representado por \(\mathbb{C}\). Todo número complexo pode ser escrito como \(a+bi\), em que \(a\) e \(b\) são números reais. Os números reais fazem parte dos complexos, pois qualquer real \(a\) pode ser escrito como \(a+0i\).

\(\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}\)

Pratique 1 — Unidade imaginária e conjunto dos complexos

1. Resolva, em \(\mathbb{C}\), a equação \(x^2+16=0\).

2. Determine as soluções complexas de \(4x^2+36=0\).

3. Escreva \(\sqrt{-25}\), \(\sqrt{-49}\) e \(\sqrt{-2}\) utilizando a unidade imaginária.

4. Explique por que todo número real também pode ser considerado um número complexo.

5. Um programa deve indicar as soluções da equação \(x^2+64=0\). Quais valores precisam ser apresentados?

Ver respostas do Pratique 1

1. \(x^2=-16\), portanto \(x=\pm\sqrt{16}\,i=\pm4i\). As soluções são \(4i\) e \(-4i\).

2. \(4x^2=-36\), então \(x^2=-9\). Logo, \(x=\pm3i\).

3. \(\sqrt{-25}=5i\), \(\sqrt{-49}=7i\) e \(\sqrt{-2}=i\sqrt2\).

4. Todo real \(a\) pode ser escrito como \(a+0i\). Por isso, \(\mathbb{R}\subset\mathbb{C}\).

5. \(x^2=-64\), logo \(x=\pm8i\). O programa deve apresentar \(8i\) e \(-8i\).

2. Forma algébrica dos números complexos

A forma algébrica de um número complexo é:

\(z=a+bi\)

Nessa representação, \(a\) é a parte real e \(b\) é o coeficiente da parte imaginária. Utilizamos as notações \(\operatorname{Re}(z)=a\) e \(\operatorname{Im}(z)=b\).

\(a\) parte real
\(\operatorname{Re}(z)=a\)

+

\(bi\) parte imaginária
\(\operatorname{Im}(z)=b\)

Número complexo	Parte real	Parte imaginária	Classificação
\(z=4+3i\)	4	3	Complexo com as duas partes não nulas
\(z=-2-5i\)	\(-2\)	\(-5\)	Complexo com as duas partes não nulas
\(z=7\)	7	0	Número real
\(z=-6i\)	0	\(-6\)	Imaginário puro

2.1 Igualdade de números complexos

Dois números complexos são iguais quando apresentam a mesma parte real e a mesma parte imaginária:

\(a+bi=c+di\quad\Longleftrightarrow\quad a=c\text{ e }b=d\)

Exemplo resolvido 2 — Determinação de valores desconhecidos

Determine \(x\) e \(y\) sabendo que \((2x-1)+(y+3)i=7-2i\).

Comparamos separadamente as partes reais e imaginárias:

\(2x-1=7\qquad\text{e}\qquad y+3=-2\)

Assim, \(2x=8\), portanto \(x=4\); e \(y=-5\).

2.2 O conjugado de um número complexo

O conjugado de \(z=a+bi\) é obtido pela troca do sinal da parte imaginária e é representado por \(\overline z\).

\(z=a+bi\qquad\Longrightarrow\qquad\overline z=a-bi\)

O produto de um número complexo pelo seu conjugado é sempre real:

\((a+bi)(a-bi)=a^2+b^2\)

Exemplo resolvido 3 — Produto pelo conjugado

Para \(z=3+4i\), temos \(\overline z=3-4i\). Então:

\(z\overline z=(3+4i)(3-4i)=3^2+4^2=25\)

Pratique 2 — Forma algébrica, igualdade e conjugado

1. Em \(z=-7+5i\), identifique \(\operatorname{Re}(z)\) e \(\operatorname{Im}(z)\).

2. Classifique \(4\), \(-3i\), \(2+i\) e \(0\) como real, imaginário puro ou complexo com as duas partes não nulas.

3. Determine \(x\) e \(y\) em \((x+2)+(3y-1)i=8+5i\).

4. Escreva os conjugados de \(5-2i\), \(-3+7i\) e \(4i\).

5. Calcule \((2-5i)(2+5i)\).

Ver respostas do Pratique 2

1. \(\operatorname{Re}(z)=-7\) e \(\operatorname{Im}(z)=5\). A parte imaginária é o coeficiente de \(i\).

2. \(4\) e \(0\) são reais; \(-3i\) é imaginário puro; \(2+i\) apresenta as duas partes não nulas.

3. \(x+2=8\), logo \(x=6\). Além disso, \(3y-1=5\), então \(3y=6\) e \(y=2\).

4. Os conjugados são \(5+2i\), \(-3-7i\) e \(-4i\), respectivamente.

5. Os fatores são conjugados. Portanto, \((2-5i)(2+5i)=2^2+5^2=29\).

3. Operações com números complexos

3.1 Adição e subtração

Na adição e na subtração, operamos separadamente as partes reais e as partes imaginárias.

\((a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\)

\((a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i\)

Exemplo resolvido 4 — Composição de sinais

Em um modelo de processamento de sinais, duas contribuições são representadas por \(z_1=4-3i\) e \(z_2=-2+5i\). Determine a soma e a diferença \(z_1-z_2\).

\(z_1+z_2=(4-2)+(-3+5)i=2+2i\)

\(z_1-z_2=[4-(-2)]+(-3-5)i=6-8i\)

3.2 Multiplicação

Na multiplicação, aplicamos a propriedade distributiva e substituímos \(i^2\) por \(-1\).

Exemplo resolvido 5 — Produto de números complexos

Calcule \((3+2i)(1-4i)\).

\((3+2i)(1-4i)=3-12i+2i-8i^2\)

Como \(i^2=-1\), o termo \(-8i^2\) é igual a 8:

\(3-10i+8=11-10i\)

3.3 Divisão

Para dividir dois números complexos, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Dessa forma, o denominador torna-se um número real.

Exemplo resolvido 6 — Divisão com racionalização

Calcule \(\dfrac{4+2i}{1-i}\).

1. O conjugado do denominador \(1-i\) é \(1+i\).
2. Multiplicamos numerador e denominador por \(1+i\).

\(\dfrac{4+2i}{1-i}\cdot\dfrac{1+i}{1+i}=\dfrac{(4+2i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}\)

No numerador:

\((4+2i)(1+i)=4+4i+2i+2i^2=2+6i\)

No denominador:

\((1-i)(1+i)=1^2+1^2=2\)

Portanto:

\(\dfrac{2+6i}{2}=1+3i\)

Operação	Procedimento	Resultado geral
Adição	Somar partes reais e partes imaginárias.	\((a+c)+(b+d)i\)
Subtração	Subtrair partes reais e partes imaginárias.	\((a-c)+(b-d)i\)
Multiplicação	Aplicar a distributiva e usar \(i^2=-1\).	\((ac-bd)+(ad+bc)i\)
Divisão	Multiplicar pelo conjugado do denominador.	\(\dfrac{ac+bd}{c^2+d^2}+\dfrac{bc-ad}{c^2+d^2}i\)

Pratique 3 — Operações com números complexos

1. Calcule \((5+3i)+(-2+7i)\).

2. Determine \((4-6i)-(1+2i)\).

3. Efetue \((2+3i)(4-i)\).

4. Escreva \(\dfrac{3+i}{1+2i}\) na forma \(a+bi\).

5. Um sistema combina os valores \(z_1=3-2i\) e \(z_2=1+i\) pela expressão \(2z_1-z_2\). Determine o resultado.

Ver respostas do Pratique 3

1. \((5-2)+(3+7)i=3+10i\).

2. \((4-1)+(-6-2)i=3-8i\).

3. \(8-2i+12i-3i^2=8+10i+3=11+10i\).

4. Multiplicando por \(1-2i\): \(\dfrac{(3+i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}=\dfrac{5-5i}{5}=1-i\).

5. \(2(3-2i)-(1+i)=6-4i-1-i=5-5i\).

4. Síntese do conteúdo

Unidade imaginária \(i^2=-1\)

Forma algébrica \(z=a+bi\)

Igualdade Partes correspondentes iguais

Conjugado \(\overline z=a-bi\)

• Os números complexos ampliam os reais e permitem resolver equações como \(x^2+1=0\).
• Em \(z=a+bi\), \(a\) é a parte real e \(b\) é a parte imaginária.
• Adição e subtração são feitas reunindo partes semelhantes.
• Na multiplicação, utiliza-se \(i^2=-1\).
• Na divisão, o conjugado transforma o denominador em um número real.

5. Revisão e aprofundamento

1. Resolva \(x^2+81=0\) em \(\mathbb{C}\).

2. Escreva \(\sqrt{-72}\) utilizando \(i\) e simplifique o radical.

3. Em \(z=6-11i\), determine \(\operatorname{Re}(z)\), \(\operatorname{Im}(z)\) e \(\overline z\).

4. Determine \(a\) e \(b\) sabendo que \((3a-2)+(2b+1)i=10-7i\).

5. Calcule \((7-4i)+(2+9i)\).

6. Calcule \((5+2i)-(8-3i)\).

7. Efetue \((3-2i)(4+5i)\).

8. Determine o valor de \((6+i)(6-i)\).

9. Escreva \(\dfrac{5+i}{2-i}\) na forma algébrica.

10. Simplifique \(\dfrac{4-3i}{1+i}\).

11. Dados \(z_1=2+5i\) e \(z_2=-1+3i\), determine \(3z_1+2z_2\).

12. Encontre \(z\) na equação \(z+(3-2i)=8+5i\).

13. Um circuito é modelado pelas grandezas complexas \(Z_1=4+3i\) e \(Z_2=2-i\). Determine \(Z_1Z_2\).

14. Mostre que o produto de \(z=-5+2i\) pelo seu conjugado é real.

15. Determine \(z\) sabendo que \((1+i)z=4+2i\).

Ver gabarito comentado da revisão

1. \(x^2=-81\). Portanto, \(x=\pm\sqrt{81}\,i=\pm9i\).

2. \(\sqrt{-72}=i\sqrt{72}=i\sqrt{36\cdot2}=6i\sqrt2\).

3. \(\operatorname{Re}(z)=6\), \(\operatorname{Im}(z)=-11\) e \(\overline z=6+11i\).

4. Pela igualdade das partes reais, \(3a-2=10\), então \(3a=12\) e \(a=4\). Pela igualdade das partes imaginárias, \(2b+1=-7\), então \(2b=-8\) e \(b=-4\).

5. \((7+2)+(-4+9)i=9+5i\).

6. \(5+2i-8+3i=-3+5i\).

7. \((3-2i)(4+5i)=12+15i-8i-10i^2=12+7i+10=22+7i\).

8. Os fatores são conjugados: \((6+i)(6-i)=6^2+1^2=37\).

9. Multiplicamos pelo conjugado \(2+i\): \(\dfrac{(5+i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}=\dfrac{9+7i}{5}=\dfrac95+\dfrac75i\).

10. Multiplicamos por \(1-i\): \(\dfrac{(4-3i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\dfrac{1-7i}{2}=\dfrac12-\dfrac72i\).

11. \(3z_1+2z_2=3(2+5i)+2(-1+3i)=6+15i-2+6i=4+21i\).

12. \(z=8+5i-(3-2i)=8+5i-3+2i=5+7i\).

13. \((4+3i)(2-i)=8-4i+6i-3i^2=8+2i+3=11+2i\).

14. O conjugado é \(\overline z=-5-2i\). Então \(z\overline z=(-5+2i)(-5-2i)=(-5)^2+2^2=29\), que é real.

15. \(z=\dfrac{4+2i}{1+i}\). Multiplicando por \(1-i\), obtemos \(z=\dfrac{(4+2i)(1-i)}{2}=\dfrac{6-2i}{2}=3-i\).

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