Ângulo, distância e circunferência no plano cartesiano
Em projetos urbanos, sistemas de localização e áreas de segurança, não basta conhecer as equações das trajetórias. Muitas vezes, é necessário calcular o ângulo de um cruzamento, medir a menor distância entre um ponto e uma via ou determinar se uma rota atravessa, apenas toca ou permanece fora de uma região circular.
Nesta postagem, ampliaremos o estudo da Geometria Analítica. Relacionaremos equações e representações geométricas para calcular ângulos entre retas, distâncias entre pontos e retas, equações de circunferências e posições relativas entre pontos, retas e circunferências.
Conhecimentos de base
EM13MAT401 — conversão e análise de representações algébricas e geométricas de relações lineares no plano cartesiano.
Base e complementação curricular — ângulo entre retas, distância entre ponto e reta, equação da circunferência e posições relativas.
Serão utilizados conhecimentos de equação da reta, coeficiente angular, distância entre dois pontos, sistema de equações e teorema de Pitágoras.
1. Ângulo entre duas retas
Duas retas concorrentes determinam quatro ângulos. Os ângulos opostos pelo vértice possuem a mesma medida, e dois ângulos adjacentes são suplementares. Em geral, quando falamos em ângulo entre retas, consideramos o menor ângulo formado por elas.
Se duas retas não verticais possuem coeficientes angulares \(m_1\) e \(m_2\), a tangente do menor ângulo \(\theta\) entre elas é dada por:
O arco destaca o menor ângulo determinado pelas duas retas concorrentes.
Caso perpendicular: se \(m_1m_2=-1\), as retas são perpendiculares e o ângulo entre elas mede \(90^\circ\). Nesse caso, o denominador da fórmula é zero e não precisamos calcular a tangente.
Exemplo 1 — Ângulo em um entroncamento
Duas vias retilíneas de um complexo industrial são representadas por \(r:y=\frac12x+1\) e \(s:y=2x-4\). Para planejar a sinalização do entroncamento, deseja-se determinar o menor ângulo entre as vias.
Assim, \(\theta=\arctan\left(\frac34\right)\approx36{,}87^\circ\). O outro ângulo formado pelas vias mede aproximadamente \(143{,}13^\circ\).
2. Distância entre um ponto e uma reta
A distância de um ponto a uma reta é o comprimento do menor segmento que liga o ponto à reta. Esse segmento deve ser perpendicular à reta. Portanto, não se mede a distância escolhendo qualquer ponto do traçado.
Considere o ponto \(P(x_0,y_0)\) e a reta \(r:ax+by+c=0\). A distância entre \(P\) e \(r\) é:
\(d(P,r)=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
O ponto H é o pé da perpendicular; por isso, o segmento PH representa a menor distância.
Exemplo 2 — Distância até uma avenida
Em uma planta, um posto de atendimento está localizado em \(P(4,1)\), e uma avenida é representada por \(3x+4y-20=0\). Cada unidade corresponde a um quilômetro. Para estimar o menor trajeto de ligação entre o posto e a avenida, calculamos:
O menor trajeto mede \(0{,}8\) km, isto é, 800 metros.
Pratique 1
Questão 1. Determine o menor ângulo entre as retas \(r:y=x+2\) e \(s:y=-2x+5\).
Questão 2. Verifique, por meio dos coeficientes angulares, o ângulo formado pelas retas \(r:y=3x-1\) e \(s:y=-\frac13x+4\).
Questão 3. Em uma planta, um equipamento está em \(P(2,5)\), e um corredor técnico é representado por \(3x+4y-10=0\). Determine a menor distância entre o equipamento e o corredor.
Questão 4. Calcule a distância da origem à reta \(5x-12y+26=0\).
Questão 5. Determine os valores de \(k\) para que o ponto \(P(k,2)\) esteja a duas unidades da reta \(x-3=0\).
Ver respostas detalhadas
1. \(m_1=1\) e \(m_2=-2\). Logo, \(\tan\theta=\left|\frac{-2-1}{1+1\cdot(-2)}\right|=\left|\frac{-3}{-1}\right|=3\). Portanto, \(\theta=\arctan3\approx71{,}57^\circ\).
2. \(m_1=3\) e \(m_2=-\frac13\). Como \(m_1m_2=-1\), as retas são perpendiculares e formam um ângulo de \(90^\circ\).
4. A origem é \((0,0)\). Assim, \(d=\frac{|5\cdot0-12\cdot0+26|}{\sqrt{25+144}}=\frac{26}{13}=2\) unidades.
5. A reta é vertical e sua equação geral é \(x-3=0\). Então \(\frac{|k-3|}{1}=2\), isto é, \(|k-3|=2\). Portanto, \(k=1\) ou \(k=5\).
3. Circunferência no plano cartesiano
Uma circunferência é o conjunto de todos os pontos do plano que estão a uma mesma distância de um ponto fixo. O ponto fixo é o centro, e a distância constante é o raio.
Se o centro é \(C(a,b)\), o raio é \(r\) e \(P(x,y)\) é um ponto qualquer da circunferência, então \(CP=r\). Aplicando a fórmula da distância e elevando os dois lados ao quadrado, obtemos:
\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)
Todo ponto P da circunferência está à distância r do centro C.
Exemplo 3 — Área de alcance de um equipamento
O limite de alcance de um equipamento está representado por uma circunferência de centro \(C(2,-1)\) e raio 5. Sua equação é:
\((x-2)^2+[y-(-1)]^2=5^2\)
\((x-2)^2+(y+1)^2=25\)
A equação descreve somente a linha de contorno. A região interna corresponde ao conjunto de pontos cuja distância ao centro é menor que 5.
4. Forma geral da equação da circunferência
Ao desenvolver os quadrados da equação reduzida e organizar os termos, obtemos a forma geral:
\(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\)
Os coeficientes de \(x^2\) e \(y^2\) devem ser iguais e não pode existir termo \(xy\). O centro e o raio podem ser recuperados por:
Portanto, a forma reduzida é \((x-3)^2+(y+2)^2=25\).
Completando quadrados: também é possível transformar a forma geral em reduzida agrupando os termos em \(x\) e em \(y\). Esse procedimento é especialmente útil quando os coeficientes não permitem uma leitura imediata.
5. Posição de um ponto em relação à circunferência
Para classificar a posição de um ponto \(P\), comparamos a distância \(d(C,P)\) com o raio \(r\):
Ponto interior
Se \(d(C,P)<r\), o ponto está dentro da circunferência.
Ponto pertencente
Se \(d(C,P)=r\), o ponto está sobre a circunferência.
Ponto exterior
Se \(d(C,P)>r\), o ponto está fora da circunferência.
Também podemos substituir as coordenadas do ponto no lado esquerdo de \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\) e comparar o resultado com \(r^2\). Isso evita calcular uma raiz quadrada.
Exemplo 5 — Controle de acesso
Uma área de acesso controlado possui centro \(C(1,2)\) e raio 5. Um leitor foi instalado no ponto \(P(4,6)\). Calculando o quadrado da distância:
\(CP^2=(4-1)^2+(6-2)^2=3^2+4^2=25\)
Como \(CP^2=r^2=25\), o leitor está exatamente sobre o limite da área.
6. Posição de uma reta em relação à circunferência
Para classificar uma reta, calculamos a distância \(d\) do centro da circunferência à reta e comparamos esse valor com o raio.
Comparação
Posição da reta
Pontos comuns
\(d<r\)
Secante
Dois pontos
\(d=r\)
Tangente
Um ponto
\(d>r\)
Exterior
Nenhum ponto
A quantidade de pontos comuns depende da distância entre o centro e a reta.
Exemplo 6 — Trajeto próximo a uma área circular
Uma praça circular tem centro \(C(2,1)\) e raio 3. Uma linha de transporte é representada por \(x-5=0\). A distância do centro à linha vertical \(x=5\) é:
\(d=|2-5|=3\)
Como \(d=r\), a linha é tangente à circunferência da praça e possui apenas um ponto comum com ela.
Pratique 2
Questão 1. Determine a equação da circunferência de centro \(C(3,-2)\) e raio 4.
Questão 2. Identifique o centro e o raio da circunferência \(x^2+y^2+4x-6y-12=0\).
Questão 3. Classifique o ponto \(P(5,4)\) em relação à circunferência \((x-1)^2+(y-1)^2=25\).
Questão 4. Classifique a reta \(3x+4y-25=0\) em relação à circunferência de centro \(C(3,4)\) e raio 4.
Questão 5. Determine os pontos de interseção entre a circunferência \(x^2+y^2=25\) e a reta \(y=4\).
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1. Substituindo centro e raio em \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\), obtemos \((x-3)^2+(y+2)^2=16\).
2. \(D=4\), \(E=-6\) e \(F=-12\). Assim, \(C(-2,3)\) e \(r=\sqrt{2^2+(-3)^2-(-12)}=\sqrt{25}=5\). A forma reduzida é \((x+2)^2+(y-3)^2=25\).
3. \(CP^2=(5-1)^2+(4-1)^2=16+9=25\). Como esse valor é igual a \(r^2\), o ponto pertence à circunferência.
4. \(d=\frac{|3\cdot3+4\cdot4-25|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|9+16-25|}{5}=0\). Como \(0<4\), a reta passa pelo centro e é secante.
5. Substituindo \(y=4\): \(x^2+4^2=25\Rightarrow x^2=9\Rightarrow x=3\) ou \(x=-3\). Os pontos são \((3,4)\) e \((-3,4)\).
7. Estratégia para analisar uma situação
identifique as equações e os elementos geométricos envolvidos;
coloque a equação da reta na forma necessária para obter o coeficiente angular ou aplicar a fórmula da distância;
na circunferência, identifique corretamente o centro e o raio;
compare distâncias com o raio antes de tentar resolver sistemas;
quando forem solicitados os pontos comuns, resolva o sistema formado pelas equações;
verifique se o resultado obtido é coerente com a representação geométrica.
Interpretação antes do cálculo: a comparação entre a distância e o raio informa quantas soluções o sistema terá. Uma reta secante produz duas soluções, uma tangente produz uma solução e uma reta exterior não produz solução real.
8. Revisão e aprofundamento
Questão 1. Calcule o menor ângulo entre as retas \(r:y=2x+1\) e \(s:y=-x+4\).
Questão 2. Determine o ângulo entre \(r:y=\frac12x-3\) e \(s:y=-2x+5\).
Questão 3. Calcule a distância do ponto \(P(3,4)\) à reta \(4x+3y-12=0\).
Questão 4. Uma unidade de atendimento está em \(P(1,5)\), e uma avenida é representada por \(x-2y+7=0\). Determine a menor distância entre a unidade e a avenida.
Questão 5. Escreva a equação da circunferência de centro \(C(-4,3)\) e raio 6.
Questão 6. Determine o centro e o raio da circunferência \(x^2+y^2-8x+2y-8=0\).
Questão 7. Transforme \((x-2)^2+(y+3)^2=16\) na forma geral.
Questão 8. Verifique se o ponto \(P(6,1)\) pertence à circunferência \((x-2)^2+(y-1)^2=16\).
Questão 9. Classifique o ponto \(Q(1,2)\) em relação à circunferência \(x^2+y^2=9\).
Questão 10. Classifique a reta \(x-6=0\) em relação à circunferência \((x-2)^2+(y-1)^2=9\).
Questão 11. Classifique a reta \(3x+4y-24=0\) em relação à circunferência de centro \(C(0,0)\) e raio 5.
Questão 12. Determine os pontos comuns entre a reta \(x=3\) e a circunferência \(x^2+y^2=25\).
Questão 13. Determine a equação da circunferência cujo diâmetro possui extremidades \(A(0,0)\) e \(B(6,8)\).
Questão 14. Encontre os valores de \(k\) para que a reta \(x=k\) seja tangente à circunferência \((x-2)^2+(y+1)^2=16\).
Questão 15. Uma zona circular de proteção tem equação \((x-3)^2+(y-2)^2=25\), e uma rota é representada por \(3x+4y-37=0\). Determine a posição da rota em relação à zona e interprete o resultado.
Gabarito detalhado
1. \(m_1=2\) e \(m_2=-1\). Assim, \(\tan\theta=\left|\frac{-1-2}{1+2(-1)}\right|=3\). Logo, \(\theta=\arctan3\approx71{,}57^\circ\).
2. \(m_1=\frac12\) e \(m_2=-2\). Como \(m_1m_2=-1\), as retas são perpendiculares e o ângulo mede \(90^\circ\).
8. \((6-2)^2+(1-1)^2=16\). Como o resultado é igual a \(r^2\), o ponto pertence à circunferência.
9. \(CQ^2=1^2+2^2=5\), enquanto \(r^2=9\). Como \(5<9\), o ponto é interior.
10. O centro é \(C(2,1)\) e \(r=3\). A distância do centro à reta \(x=6\) é \(|2-6|=4\). Como \(4>3\), a reta é exterior.
11. \(d=\frac{|3\cdot0+4\cdot0-24|}{5}=\frac{24}{5}=4{,}8\). Como \(4{,}8<5\), a reta é secante.
12. Substituindo \(x=3\): \(9+y^2=25\Rightarrow y^2=16\Rightarrow y=4\) ou \(y=-4\). Os pontos são \((3,4)\) e \((3,-4)\).
13. O centro é o ponto médio do diâmetro: \(C(3,4)\). O comprimento \(AB=\sqrt{6^2+8^2}=10\), então o raio é 5. A equação é \((x-3)^2+(y-4)^2=25\).
14. O centro é \(C(2,-1)\) e o raio é 4. Para a vertical \(x=k\) ser tangente, \(|k-2|=4\). Portanto, \(k=6\) ou \(k=-2\).
15. O centro é \(C(3,2)\) e o raio é 5. A distância à rota é \(d=\frac{|3\cdot3+4\cdot2-37|}{5}=\frac{20}{5}=4\). Como \(4<5\), a rota é secante: ela atravessa o limite circular em dois pontos e passa pelo interior da zona de proteção.
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