Equação da reta: coeficientes e posições relativas entre retas
Em mapas digitais, plantas urbanas e projetos de engenharia, uma trajetória retilínea não é representada apenas por um desenho. Ela também pode ser descrita por uma equação capaz de identificar todos os pontos pertencentes ao trajeto. Essa representação permite prever cruzamentos, reconhecer caminhos paralelos e verificar se duas direções são perpendiculares.
Nesta postagem, aprenderemos a construir e interpretar a equação de uma reta. Analisaremos os coeficientes angular e linear e utilizaremos essas informações para estudar as posições relativas entre duas retas no plano cartesiano.
Conhecimentos de base
EM13MAT401 — conversão entre representações algébricas e geométricas de relações lineares.
Base e complementação curricular — posições relativas entre duas retas no plano cartesiano.
Para acompanhar este conteúdo, é importante saber localizar pontos, calcular a distância entre dois pontos e interpretar pares ordenados.
1. A reta como um conjunto de pontos
Uma reta contém infinitos pontos. Quando ela é representada no plano cartesiano, as coordenadas desses pontos obedecem a uma mesma relação algébrica. Essa relação pode ser escrita na forma geral:
\(ax+by+c=0\)
Os números \(a\), \(b\) e \(c\) são reais, e \(a\) e \(b\) não podem ser simultaneamente iguais a zero. Cada par ordenado \((x,y)\) que satisfaz a equação representa um ponto da reta.
Exemplo 1 — Verificação de um ponto
Uma linha de transmissão é representada, em determinada região de um mapa, pela equação \(2x-y+1=0\). Um técnico precisa verificar se o ponto \(P(3,7)\), onde será instalada uma estrutura, pertence à linha planejada.
\(2x-y+1=0\)
\(2\cdot3-7+1=6-7+1=0\)
Como as coordenadas de \(P\) tornam a expressão igual a zero, o ponto pertence à reta. Se o resultado fosse diferente de zero, a estrutura estaria fora do alinhamento previsto.
2. Forma reduzida da equação da reta
Quando \(b\neq0\), podemos isolar \(y\) na equação geral e obter a forma reduzida:
\(y=mx+n\)
Nessa forma, \(m\) é o coeficiente angular, responsável pela direção e pela inclinação da reta, e \(n\) é o coeficiente linear, que indica o ponto em que a reta intercepta o eixo \(y\).
O coeficiente angular compara a variação vertical com a variação horizontal entre dois pontos da reta.
3. Determinação do coeficiente angular
Se conhecemos dois pontos distintos \(A(x_A,y_A)\) e \(B(x_B,y_B)\) de uma reta não vertical, o coeficiente angular pode ser calculado por:
\(m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\)
O numerador representa a variação vertical, enquanto o denominador representa a variação horizontal. Por isso, uma reta vertical não possui coeficiente angular definido: dois pontos dessa reta apresentam a mesma abscissa, tornando o denominador igual a zero.
Exemplo 2 — Trajeto de um veículo de inspeção
Em uma área industrial, um veículo percorre um trecho retilíneo que passa pelos pontos \(A(1,2)\) e \(B(5,6)\). Para inserir o trajeto no sistema de monitoramento, é necessário determinar sua inclinação e sua equação.
\(m=\dfrac{6-2}{5-1}=\dfrac{4}{4}=1\)
Utilizando o ponto \(A(1,2)\) na expressão \(y=mx+n\):
\(2=1\cdot1+n\)
\(n=1\)
Portanto, a equação do trajeto é \(y=x+1\). O valor \(m=1\) mostra que, a cada unidade avançada horizontalmente, ocorre um aumento de uma unidade na direção vertical.
4. Equação determinada por um ponto e pelo coeficiente angular
Quando conhecemos um ponto \(P(x_0,y_0)\) da reta e seu coeficiente angular \(m\), podemos utilizar a equação fundamental:
\(y-y_0=m(x-x_0)\)
Depois da substituição, a expressão pode ser organizada na forma reduzida \(y=mx+n\) ou na forma geral \(ax+by+c=0\).
Exemplo 3 — Canal de drenagem
O traçado de um canal de drenagem deve passar pelo marco \(P(4,3)\) e apresentar coeficiente angular \(m=-2\). O sinal negativo indica que, no sentido de crescimento de \(x\), o canal desce duas unidades para cada unidade avançada horizontalmente.
\(y-3=-2(x-4)\)
\(y-3=-2x+8\)
\(y=-2x+11\)
Na forma geral, a mesma reta pode ser escrita como \(2x+y-11=0\).
5. Interpretação dos coeficientes angular e linear
Na equação \(y=mx+n\), os coeficientes permitem antecipar características do gráfico sem que seja necessário construir vários pontos.
Coeficiente angular positivo
Se \(m>0\), a reta é crescente: ao avançarmos da esquerda para a direita, os valores de \(y\) aumentam.
Coeficiente angular negativo
Se \(m<0\), a reta é decrescente: ao avançarmos da esquerda para a direita, os valores de \(y\) diminuem.
Coeficiente angular nulo
Se \(m=0\), a reta é horizontal e sua equação tem a forma \(y=n\).
Coeficiente linear
O valor de \(n\) determina a ordenada do ponto \((0,n)\), onde a reta intercepta o eixo \(y\).
A direção da reta pode ser identificada pelo coeficiente angular ou por sua forma particular.
Reta vertical: sua equação tem a forma \(x=k\). Ela não pode ser escrita como \(y=mx+n\), pois seu coeficiente angular não é definido.
6. Inclinação da reta
O coeficiente angular também está relacionado ao ângulo \(\theta\) formado pela reta com o sentido positivo do eixo \(x\). Para uma reta não vertical:
\(m=\tan\theta\)
O ângulo de inclinação é medido no sentido anti-horário e satisfaz \(0^\circ\leq\theta<180^\circ\). Retas crescentes apresentam \(0^\circ<\theta<90^\circ\), enquanto retas decrescentes apresentam \(90^\circ<\theta<180^\circ\).
Exemplo 4 — Direção de uma via de acesso
Em uma representação simplificada, o eixo \(x\) indica a direção leste-oeste de uma área, e uma via retilínea apresenta coeficiente angular \(m=\sqrt3\). Para determinar sua direção, o projetista utiliza a relação entre inclinação e coeficiente angular.
\(\tan\theta=\sqrt3\)
\(\theta=60^\circ\)
Assim, a via forma um ângulo de \(60^\circ\) com o sentido positivo do eixo horizontal.
Pratique 1
Questão 1. Uma tubulação está representada pela equação \(3x-y-4=0\). Verifique se os pontos \(A(2,2)\) e \(B(1,1)\) pertencem ao traçado.
Questão 2. Uma rota retilínea passa pelos pontos \(P(2,1)\) e \(Q(6,9)\). Determine o coeficiente angular e a equação reduzida da reta.
Questão 3. Em um projeto de drenagem, um canal passa pelo ponto \(A(3,5)\) e tem coeficiente angular \(-1\). Determine sua equação reduzida.
Questão 4. Analise a reta \(y=-3x+7\). Informe se ela é crescente ou decrescente e determine os pontos em que intercepta os eixos coordenados.
Questão 5. Uma reta forma um ângulo de \(45^\circ\) com o sentido positivo do eixo \(x\) e passa pelo ponto \(P(2,4)\). Determine sua equação.
Ver respostas detalhadas
1. Para \(A(2,2)\): \(3\cdot2-2-4=0\), portanto \(A\) pertence à reta. Para \(B(1,1)\): \(3\cdot1-1-4=-2\), resultado diferente de zero. Logo, \(B\) não pertence ao traçado.
2. \(m=\frac{9-1}{6-2}=\frac84=2\). Substituindo \(P(2,1)\) em \(y=2x+n\): \(1=4+n\), então \(n=-3\). A equação é \(y=2x-3\).
3. Usando \(y-y_A=m(x-x_A)\): \(y-5=-1(x-3)\). Assim, \(y-5=-x+3\) e \(y=-x+8\).
4. Como \(m=-3<0\), a reta é decrescente. No eixo \(y\), fazemos \(x=0\), obtendo \((0,7)\). No eixo \(x\), fazemos \(y=0\): \(0=-3x+7\), logo \(x=\frac73\). A interseção é \(\left(\frac73,0\right)\).
5. \(m=\tan45^\circ=1\). Pela equação fundamental, \(y-4=1(x-2)\). Portanto, \(y=x+2\).
7. Posições relativas entre duas retas
Duas retas de um mesmo plano podem não possuir ponto comum, possuir exatamente um ponto comum ou compartilhar todos os seus pontos. A comparação entre as equações permite reconhecer cada situação.
Posição
Característica geométrica
Condição na forma reduzida
Paralelas distintas
Não possuem ponto comum.
\(m_1=m_2\) e \(n_1\neq n_2\)
Coincidentes
Compartilham todos os pontos.
\(m_1=m_2\) e \(n_1=n_2\)
Concorrentes
Possuem exatamente um ponto comum.
\(m_1\neq m_2\)
Perpendiculares
São concorrentes e formam quatro ângulos retos.
\(m_1m_2=-1\), quando os coeficientes existem
A posição relativa é determinada pela quantidade de pontos compartilhados e pela direção das retas.
Casos vertical e horizontal: duas retas verticais distintas são paralelas. Uma reta vertical e uma horizontal são perpendiculares, mesmo que a reta vertical não possua coeficiente angular definido.
8. Retas paralelas e coincidentes na forma geral
Quando as equações estão na forma geral, podemos comparar seus coeficientes. Para as retas \(r:a_1x+b_1y+c_1=0\) e \(s:a_2x+b_2y+c_2=0\):
se \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}\), as retas são paralelas distintas;
se \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\), as equações representam a mesma reta e, portanto, são coincidentes.
Exemplo 5 — Duas rotas de serviço
As rotas \(r:2x-y+4=0\) e \(s:4x-2y-6=0\) foram inseridas em um mapa operacional. Comparando os coeficientes:
\(\dfrac24=\dfrac{-1}{-2}=\dfrac12\), mas \(\dfrac4{-6}\neq\dfrac12\)
As direções são iguais, mas as equações não representam o mesmo conjunto de pontos. Logo, as rotas são paralelas distintas.
Exemplo 6 — Registros duplicados
Um sistema apresenta as equações \(r:3x+2y-6=0\) e \(s:6x+4y-12=0\). A segunda equação é obtida multiplicando todos os termos da primeira por 2. Portanto, elas descrevem exatamente a mesma reta e são coincidentes.
9. Ponto de interseção de duas retas
Quando duas retas são concorrentes, as coordenadas do ponto comum satisfazem as duas equações simultaneamente. Por isso, o ponto de interseção pode ser determinado pela resolução de um sistema linear.
Exemplo 7 — Encontro de duas vias
Em uma planta urbana, duas vias são representadas por \(r:y=2x+1\) e \(s:y=-x+7\). Para localizar o cruzamento, igualamos as expressões de \(y\):
\(2x+1=-x+7\)
\(3x=6\)
\(x=2\)
Substituindo \(x=2\) em uma das equações:
\(y=2\cdot2+1=5\)
Assim, o cruzamento está representado pelo ponto \((2,5)\).
Pratique 2
Questão 1. Duas ciclovias são representadas por \(r:y=3x-2\) e \(s:y=3x+5\). Classifique a posição relativa entre elas.
Questão 2. Compare as retas \(r:2x+4y-8=0\) e \(s:x+2y-4=0\). Determine se elas são paralelas distintas ou coincidentes.
Questão 3. As trajetórias \(r:y=\frac12x+3\) e \(s:y=-2x+4\) cruzam-se formando qual tipo de ângulo? Justifique por meio dos coeficientes angulares.
Questão 4. Determine o ponto de encontro das retas \(r:y=x+2\) e \(s:y=-2x+8\).
Questão 5. Uma rua é representada por \(r:2x-y+5=0\). Determine a equação reduzida da reta \(s\), paralela a \(r\), que passa pelo ponto \(P(3,1)\).
Ver respostas detalhadas
1. As duas equações possuem o mesmo coeficiente angular, \(m=3\), e coeficientes lineares diferentes. Portanto, representam retas paralelas distintas.
2. Multiplicando a equação de \(s\) por 2, obtemos \(2x+4y-8=0\), exatamente a equação de \(r\). Logo, as retas são coincidentes.
3. Os coeficientes são \(m_r=\frac12\) e \(m_s=-2\). Como \(m_rm_s=\frac12\cdot(-2)=-1\), as retas são perpendiculares e formam ângulos de \(90^\circ\).
4. Igualando as expressões: \(x+2=-2x+8\). Assim, \(3x=6\) e \(x=2\). Substituindo, \(y=2+2=4\). O ponto de encontro é \((2,4)\).
5. A reta \(r\) pode ser escrita como \(y=2x+5\), então uma paralela terá \(m=2\). Usando \(P(3,1)\): \(1=2\cdot3+n\), portanto \(n=-5\). Logo, \(s:y=2x-5\).
10. Síntese para escolha do procedimento
Situação apresentada
Procedimento principal
Dois pontos conhecidos
Calcular \(m\) e substituir um ponto em \(y=mx+n\).
Um ponto e o coeficiente angular
Usar \(y-y_0=m(x-x_0)\).
Equação reduzida conhecida
Identificar diretamente \(m\) e \(n\).
Comparação entre duas retas
Comparar os coeficientes angulares e lineares.
Retas na forma geral
Verificar a proporcionalidade entre os coeficientes.
Ponto de cruzamento
Resolver o sistema formado pelas duas equações.
11. Revisão e aprofundamento
Questão 1. Verifique se o ponto \(P(4,3)\) pertence à reta \(2x+y-11=0\).
Questão 2. Escreva a equação \(3x+2y-12=0\) na forma reduzida e identifique os coeficientes angular e linear.
Questão 3. Determine a equação da reta que passa pelos pontos \(A(1,3)\) e \(B(5,11)\).
Questão 4. Uma rota passa pelo ponto \(P(-2,5)\) e possui coeficiente angular \(3\). Determine sua equação reduzida.
Questão 5. Determine as interseções da reta \(y=-2x+6\) com os eixos coordenados.
Questão 6. Determine a equação da reta horizontal que passa por \(A(4,-3)\) e da reta vertical que passa pelo mesmo ponto.
Questão 7. Uma reta possui coeficiente angular \(1\). Determine seu ângulo de inclinação.
Questão 8. Classifique as retas \(r:y=-4x+2\) e \(s:y=-4x-7\).
Questão 9. Classifique as retas \(r:2x-y+1=0\) e \(s:4x-2y+2=0\).
Questão 10. Verifique se as retas \(r:y=3x-1\) e \(s:y=-\frac13x+6\) são perpendiculares.
Questão 11. Determine o ponto de interseção entre \(r:y=2x-3\) e \(s:y=-x+6\).
Questão 12. Determine a equação da reta paralela a \(y=-2x+5\) que passa pelo ponto \(P(1,4)\).
Questão 13. Determine a equação da reta perpendicular a \(y=\frac14x-2\) que passa pela origem.
Questão 14. Encontre o valor de \(k\) para que as retas \(r:y=(k-1)x+3\) e \(s:y=4x-5\) sejam paralelas.
Questão 15. Duas linhas de transporte são representadas por \(r:2x+y=8\) e \(s:x-y=1\). Determine o ponto em que elas se encontram e explique por que esse ponto pertence simultaneamente às duas linhas.
Gabarito detalhado
1. Substituindo \(x=4\) e \(y=3\): \(2\cdot4+3-11=8+3-11=0\). Portanto, \(P(4,3)\) pertence à reta.
2. \(3x+2y-12=0\Rightarrow2y=-3x+12\Rightarrow y=-\frac32x+6\). Logo, \(m=-\frac32\) e \(n=6\).
3. \(m=\frac{11-3}{5-1}=\frac84=2\). Usando \(A(1,3)\): \(3=2\cdot1+n\), então \(n=1\). A equação é \(y=2x+1\).
5. No eixo \(y\), \(x=0\), logo \(y=6\): ponto \((0,6)\). No eixo \(x\), \(y=0\): \(0=-2x+6\Rightarrow x=3\), produzindo \((3,0)\).
6. Todos os pontos da horizontal possuem ordenada \(-3\), então sua equação é \(y=-3\). Todos os pontos da vertical possuem abscissa \(4\), então sua equação é \(x=4\).
7. Como \(m=\tan\theta\), temos \(\tan\theta=1\). No intervalo de inclinação, isso ocorre em \(\theta=45^\circ\).
8. As retas têm o mesmo coeficiente angular \(-4\) e coeficientes lineares diferentes, 2 e \(-7\). Portanto, são paralelas distintas.
9. Multiplicando a primeira equação por 2, obtemos \(4x-2y+2=0\), que coincide com a segunda. Logo, as retas são coincidentes.
10. \(m_r=3\) e \(m_s=-\frac13\). Como \(3\cdot(-\frac13)=-1\), as retas são perpendiculares.
11. Igualando: \(2x-3=-x+6\Rightarrow3x=9\Rightarrow x=3\). Substituindo, \(y=2\cdot3-3=3\). O ponto de interseção é \((3,3)\).
13. O coeficiente perpendicular a \(\frac14\) é \(-4\), pois \(\frac14\cdot(-4)=-1\). Como a reta passa pela origem, \(n=0\). Portanto, \(y=-4x\).
14. Para serem paralelas, os coeficientes angulares devem ser iguais: \(k-1=4\). Logo, \(k=5\).
15. Da segunda equação, \(x-y=1\Rightarrow y=x-1\). Substituindo na primeira: \(2x+(x-1)=8\Rightarrow3x=9\Rightarrow x=3\). Então \(y=2\). O encontro ocorre em \((3,2)\). Esse ponto pertence às duas linhas porque suas coordenadas satisfazem simultaneamente as duas equações: \(2\cdot3+2=8\) e \(3-2=1\).
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