Prismas e pirâmides: elementos, áreas e volumes
Caixas de transporte, reservatórios, edifícios, embalagens e peças industriais frequentemente apresentam formas que podem ser modeladas por prismas. Telhados, monumentos e determinadas estruturas de sustentação podem ser associados a pirâmides. Reconhecer esses sólidos permite estimar materiais, capacidade e espaço ocupado.
Nesta postagem, estudaremos os elementos, as planificações, as áreas e os volumes de prismas e pirâmides. As fórmulas serão relacionadas à geometria das bases e das faces, evitando que sejam usadas apenas como regras isoladas.
BNCC: EM13MAT309 — resolver e elaborar problemas que envolvem áreas totais e volumes de prismas, pirâmides e outros sólidos em situações reais.
BNCC: EM13MAT504 — investigar processos de obtenção de medidas de área e volume, incluindo o princípio de Cavalieri.
Para acompanhar o conteúdo, é importante calcular áreas de polígonos, aplicar o Teorema de Pitágoras e realizar conversões entre unidades de volume e capacidade.
1. O que é um prisma?
Prisma é um poliedro que possui duas bases poligonais paralelas e congruentes. As demais faces, chamadas faces laterais, são paralelogramos. O nome do prisma depende do polígono da base: triangular, quadrangular, pentagonal, hexagonal e assim por diante.
Se as arestas laterais são perpendiculares às bases, o prisma é reto. Caso contrário, ele é oblíquo. Em um prisma reto, as faces laterais são retângulos.
| Base | Vértices | Arestas | Faces |
|---|---|---|---|
| Triangular | 6 | 9 | 5 |
| Quadrangular | 8 | 12 | 6 |
| Pentagonal | 10 | 15 | 7 |
| Polígono de n lados | 2n | 3n | n+2 |
2. Planificação e áreas de um prisma reto
Ao planificar um prisma reto, separamos suas duas bases e suas faces laterais retangulares. A soma das áreas das faces laterais é a área lateral. Ao acrescentar as duas bases, obtemos a área total.
Para um prisma reto cuja base tem área Ab, perímetro Pb e altura h:
Área lateral
Área total
Volume
Um reservatório fechado tem base retangular de 8 m por 5 m e altura de 3 m. A área da base é 40 m² e seu perímetro é 26 m.
At=2·40+78=158 m²
V=40·3=120 m³
A área total pode orientar a estimativa de revestimento. O volume representa a capacidade geométrica do reservatório.
3. Volume e princípio de Cavalieri
Dois sólidos compreendidos entre planos paralelos possuem o mesmo volume quando têm a mesma altura e apresentam áreas iguais em todas as seções feitas por planos paralelos às bases. Essa ideia é conhecida como princípio de Cavalieri.
Um prisma reto possui base triangular retângula com lados 6 m, 8 m e 10 m e altura de 12 m.
Pb=6+8+10=24 m
Al=24·12=288 m²
At=2·24+288=336 m²
V=24·12=288 m³
Pratique 1
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Questão 1. Prisma pentagonal.
Questão 2. A área total é 6·5²=150 cm² e o volume é 5³=125 cm³.
Questão 3. V=18·7=126 cm³.
Questão 4. A base é um triângulo retângulo: Ab=3·4÷2=6 cm² e Pb=12 cm. Assim, Al=12·10=120 cm², At=120+2·6=132 cm² e V=6·10=60 cm³.
4. O que é uma pirâmide?
Pirâmide é um poliedro formado por uma base poligonal e faces laterais triangulares que possuem um vértice comum. Esse ponto é o vértice da pirâmide. Assim como nos prismas, o nome depende do polígono da base.
Em uma pirâmide reta, o pé da altura encontra a região central da base. Em uma pirâmide regular, a base é um polígono regular e as faces laterais são triângulos isósceles congruentes.
| Base | Vértices | Arestas | Faces |
|---|---|---|---|
| Triangular | 4 | 6 | 4 |
| Quadrangular | 5 | 8 | 5 |
| Hexagonal | 7 | 12 | 7 |
| Polígono de n lados | n+1 | 2n | n+1 |
5. Planificação e área de uma pirâmide regular
A planificação mostra a base e os triângulos que formam as faces laterais. A área lateral é a soma das áreas desses triângulos. Em uma pirâmide regular, podemos usar o perímetro da base Pb e o apótema lateral g.
Área lateral
Área total
Em uma pirâmide regular, a altura h, o apótema da base a e o apótema lateral g formam um triângulo retângulo:
Uma pirâmide regular possui base quadrada de lado 6 m e altura de 4 m. O apótema da base mede 3 m. Pelo Teorema de Pitágoras:
g=5 m
O perímetro da base é 24 m. Portanto:
Ab=6²=36 m²
At=36+60=96 m²
6. Volume de uma pirâmide
Uma pirâmide ocupa a terça parte do volume de um prisma que possui base de mesma área e a mesma altura. Por isso:
Retomando a pirâmide de base quadrada com lado 6 m e altura 4 m:
Pratique 2
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Questão 1. V=8²·3÷3=64 cm³.
Questão 2. Pb=24 cm. Logo, Al=24·5÷2=60 cm². Como Ab=36 cm², At=96 cm².
Questão 3. V=90·12÷3=360 m³.
Questão 4. V=7, A=12 e F=7.
7. Comparando prismas e pirâmides
| Característica | Prisma | Pirâmide |
|---|---|---|
| Bases | Duas bases paralelas e congruentes | Uma base |
| Faces laterais | Paralelogramos | Triângulos com vértice comum |
| Volume | Ab·h | Ab·h÷3 |
| Com mesma base e altura | Três vezes o volume da pirâmide | Um terço do volume do prisma |
Um recipiente prismático e outro em forma de pirâmide possuem bases de área 30 cm² e altura de 9 cm.
Vpirâmide=30·9÷3=90 cm³
São necessárias três pirâmides cheias para completar o prisma, desconsiderando perdas.
8. Aplicações e unidades
Áreas são expressas em unidades quadradas e volumes em unidades cúbicas. Em problemas de capacidade, é comum usar as equivalências:
Uma caixa-d'água possui dimensões internas de 2,5 m, 1,8 m e 1,2 m. Seu volume é:
5,4 m³=5.400 L
Uma cobertura tem forma de pirâmide regular de base quadrada com lado 10 m. Cada face lateral tem altura 6 m. Como a cobertura não possui base, a quantidade de material corresponde somente à área lateral:
Pratique 3
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Questão 1. Prisma: 40·6=240 cm³. Pirâmide: 40·6÷3=80 cm³.
Questão 2. 2,5·1,8·1,2=5,4 m³=5.400 L.
Questão 3. V=20²·30÷3=4.000 cm³.
Questão 4. Al=4·(10·6÷2)=120 m².
9. Estratégia para resolver problemas
- identifique o sólido e o polígono da base;
- separe área da base, perímetro da base, altura e apótema lateral;
- verifique se a questão pede área lateral, área total, volume ou capacidade;
- use unidades compatíveis antes de calcular;
- interprete se a base deve ou não ser incluída na área pedida;
- confira se o volume da pirâmide foi dividido por 3.