Cilindros, cones e esferas: elementos, áreas e volumes

Latas, reservatórios, silos, funis, casquinhas, bolas e cúpulas apresentam formas que podem ser modeladas por corpos redondos. O estudo dessas formas permite calcular capacidade, revestimento e quantidade de material em situações domésticas, industriais e arquitetônicas.

Nesta postagem, relacionaremos cada fórmula aos elementos do sólido. Os resultados serão mantidos em função de π sempre que não houver indicação de aproximação.

Conhecimentos de base

BNCC: EM13MAT309 — resolver e elaborar problemas que envolvam áreas totais e volumes de prismas, pirâmides e corpos redondos em situações reais.

BNCC: EM13MAT504 — investigar processos de obtenção de medidas de volume, incluindo o princípio de Cavalieri.

É importante reconhecer círculo e circunferência, calcular πr², aplicar o Teorema de Pitágoras e converter unidades de volume e capacidade.

1. Corpos redondos

Cilindro, cone e esfera são chamados corpos redondos porque possuem superfícies curvas. O cilindro e o cone podem ser obtidos pela rotação de figuras planas em torno de um eixo; a esfera pode ser obtida pela rotação de um semicírculo em torno de seu diâmetro.

cilindroconeesfera

2. Cilindro: elementos, áreas e volume

O cilindro circular reto possui duas bases circulares paralelas e congruentes. A distância perpendicular entre elas é a altura h. O segmento que vai do centro até a circunferência da base é o raio r.

rh
O raio está na base; a altura é medida perpendicularmente entre as bases.

Área lateral

Al=2πrh

Área total

At=2πr²+2πrh

Volume

V=πr²h

Ao abrir a superfície lateral, obtemos um retângulo de comprimento 2πr e altura h. Isso explica a fórmula da área lateral.

2πrhbasebase
Exemplo 1 — Reservatório cilíndrico

Um reservatório fechado possui raio interno de 2 m e altura de 5 m.

Al=2π·2·5=20π m²
At=2π·2²+20π=28π m²
V=π·2²·5=20π m³

Com π≈3,14, o volume é aproximadamente 62,8 m³, ou 62.800 litros.

Pratique 1

Questão 1. Uma lata fechada tem raio de 4 cm e altura de 10 cm. Determine as áreas lateral e total e o volume.
Questão 2. Um tanque cilíndrico aberto possui raio de 2 m e altura de 3 m. Qual é a área interna formada pela base e pela superfície lateral?
Questão 3. Um silo tem diâmetro interno de 6 m e altura de 10 m. Determine sua capacidade em m³, em função de π.
Questão 4. Um recipiente cilíndrico tem raio de 1,5 m e altura de 2 m. Usando π≈3,14, determine a capacidade em litros.
Ver respostas

1. Al=80π cm², At=112π cm² e V=160π cm³.

2. πr²+2πrh=4π+12π=16π m².

3. r=3 m; V=π·3²·10=90π m³.

4. V=π·1,5²·2=4,5π≈14,13 m³=14.130 L.

3. Cone: elementos, áreas e volume

O cone circular reto possui uma base circular e um vértice. A altura h liga perpendicularmente o vértice ao centro da base. A geratriz g liga o vértice a um ponto da circunferência. No cone reto, r, h e g formam um triângulo retângulo.

rhg
No cone reto: g²=h²+r².

Área lateral

Al=πrg

Área total

At=πr²+πrg

Volume

V=πr²h÷3

A planificação da superfície lateral do cone é um setor circular. O arco desse setor tem o mesmo comprimento da circunferência da base.

grsetor lateralbase
Exemplo 2 — Cobertura cônica

Uma cobertura tem raio de 3 m e altura de 4 m. Pelo Teorema de Pitágoras, g=5 m.

Al=π·3·5=15π m²
At=9π+15π=24π m²
V=π·3²·4÷3=12π m³

4. Esfera e hemisfério

A esfera é o conjunto dos pontos do espaço cuja distância ao centro é menor ou igual ao raio. Sua superfície não possui bases, arestas ou vértices. Qualquer seção plana que passe pelo centro forma um círculo máximo.

rOcírculo máximo

Área da esfera

A=4πr²

Volume da esfera

V=4πr³÷3

Volume do hemisfério

V=2πr³÷3
Hemisfério: a área curva é 2πr². Quando a base circular também é incluída, a área total é 3πr².
Exemplo 3 — Bola esférica

Uma bola possui raio de 6 cm.

A=4π·6²=144π cm²
V=4π·6³÷3=288π cm³

Pratique 2

Questão 1. Um cone reto possui raio 5 cm e altura 12 cm. Determine a geratriz, a área total e o volume.
Questão 2. Um copo cônico tem raio interno 4 cm e altura 9 cm. Determine sua capacidade em função de π.
Questão 3. Uma esfera possui raio 3 cm. Determine sua área e seu volume.
Questão 4. Uma cúpula hemisférica tem raio 6 m. Determine a área curva e o volume.
Ver respostas

1. g=13 cm, At=90π cm² e V=100π cm³.

2. V=π·4²·9÷3=48π cm³.

3. A=36π cm² e V=36π cm³.

4. Área curva=72π m² e V=144π m³.

5. Relações de volume e princípio de Cavalieri

Um cone com a mesma base e a mesma altura de um cilindro ocupa a terça parte do volume do cilindro. A fórmula da esfera também pode ser investigada comparando seções de uma esfera com as de outros sólidos, conforme o princípio de Cavalieri.

V=πr²hV=πr²h÷3

6. Sólidos compostos e aplicações

Objetos reais podem combinar corpos redondos. Nesses casos, dividimos a figura em sólidos conhecidos, calculamos cada parte e somamos ou subtraímos os resultados. Nas áreas, contamos apenas as superfícies expostas.

Exemplo 4 — Casquinha com uma porção hemisférica

Uma casquinha é modelada por um cone de raio 3 cm e altura 4 cm, preenchido e encimado por um hemisfério de mesmo raio.

Vcone=π·3²·4÷3=12π cm³
Vhemisfério=2π·3³÷3=18π cm³
Vtotal=30π cm³

Pratique 3

Questão 1. Compare os volumes de um cilindro e de um cone com raio 4 cm e altura 9 cm.
Questão 2. Uma semiesfera de raio 5 cm será pintada por fora, sem incluir a base. Determine a área pintada.
Questão 3. Uma peça é formada por um cilindro de raio 3 cm e altura 8 cm, encimado por um cone de mesmo raio e altura 4 cm. Determine o volume total.
Questão 4. Uma esfera de raio 10 cm será colocada em uma caixa cúbica de aresta 20 cm. Determine o volume vazio da caixa.
Ver respostas

1. Cilindro: 144π cm³; cone: 48π cm³.

2. 2π·5²=50π cm².

3. 72π+12π=84π cm³.

4. 8.000−4π·10³÷3=8.000−4.000π÷3 cm³.

7. Unidades e estratégia de resolução

1 dm³=1 L    1 m³=1.000 L    1 cm³=1 mL
  1. identifique o sólido e os elementos fornecidos;
  2. verifique se a medida informada é raio ou diâmetro;
  3. determine a geratriz do cone quando necessário;
  4. separe área lateral, área total, volume e capacidade;
  5. em sólidos compostos, conte apenas superfícies externas;
  6. mantenha π no resultado ou use a aproximação solicitada.
Erros frequentes: usar o diâmetro como raio; esquecer as duas bases do cilindro fechado; incluir a base em recipientes abertos; confundir altura e geratriz; e não dividir por 3 no volume do cone.

8. Revisão e aprofundamento

Questão 1. Uma lata fechada tem raio 4 cm e altura 12 cm. Determine a área total e o volume.
Questão 2. Um tanque cilíndrico aberto tem raio 2 m e altura 3 m. Determine a área revestida internamente.
Questão 3. Um silo de diâmetro 6 m e altura 10 m será preenchido. Determine seu volume.
Questão 4. Uma cobertura cônica tem raio 3 m e altura 4 m. Determine a área de lona, sem incluir a base.
Questão 5. Um copo cônico tem raio 4 cm e altura 9 cm. Determine sua capacidade.
Questão 6. Uma bola de raio 5 cm será revestida. Determine a área e o volume.
Questão 7. Um globo tem diâmetro 24 cm. Determine sua área.
Questão 8. Uma casquinha combina um cone de raio 3 cm e altura 4 cm com um hemisfério de mesmo raio. Determine o volume total.
Questão 9. Calcule as áreas lateral e total e o volume de um cilindro com r=6 cm e h=8 cm.
Questão 10. Calcule g, At e V de um cone com r=5 cm e h=12 cm.
Questão 11. Uma esfera tem volume 288π cm³. Determine o raio e a área.
Questão 12. Compare um cilindro e um cone de mesma base e mesma altura.
Questão 13. Um hemisfério tem raio 6 cm. Determine a área curva, a área total com a base e o volume.
Questão 14. Uma cápsula é formada por um cilindro de raio 2 cm e comprimento 10 cm e duas semiesferas de mesmo raio. Determine a área externa e o volume.
Questão 15. Um reservatório é formado por um cilindro de raio 3 m e altura 8 m, encimado por um cone de raio 3 m e altura 4 m. Determine o volume total e a área externa, incluindo a base inferior.
Gabarito detalhado
1.
At=2π·4²+2π·4·12=128π cm²
V=π·4²·12=192π cm³
2.
A=π·2²+2π·2·3=16π m²
3.
r=3 m; V=π·3²·10=90π m³
4.
g=√(3²+4²)=5 m; Al=π·3·5=15π m²
5.
V=π·4²·9÷3=48π cm³
6.
A=4π·5²=100π cm²
V=4π·5³÷3=500π÷3 cm³
7.
r=12 cm; A=4π·12²=576π cm²
8.
V=12π+18π=30π cm³
9.
Al=2π·6·8=96π cm²
At=96π+72π=168π cm²
V=π·6²·8=288π cm³
10.
g=13 cm
At=25π+65π=90π cm²
V=π·25·12÷3=100π cm³
11.

4πr³÷3=288π, então r³=216 e r=6 cm.

A=4π·6²=144π cm²
12.

Com a mesma base e a mesma altura, o volume do cilindro é três vezes o volume do cone.

13.
Acurva=2π·6²=72π cm²
Atotal=3π·6²=108π cm²
V=2π·6³÷3=144π cm³
14.

As duas semiesferas formam uma esfera.

A=2π·2·10+4π·2²=56π cm²
V=π·2²·10+4π·2³÷3=152π÷3 cm³
15.

No cone, g=√(3²+4²)=5 m.

V=π·3²·8+π·3²·4÷3=84π m³
A=2π·3·8+π·3·5+π·3²=72π m²
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