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Análise combinatória: princípio da contagem, fatorial e permutação simples

Organizar uma escala de trabalho, montar um cardápio, definir uma senha, ordenar apresentações ou posicionar pessoas para uma fotografia são situações que podem produzir muitas possibilidades. Quando o número de opções cresce, listar uma a uma deixa de ser um procedimento eficiente e aumenta a chance de repetições ou esquecimentos.

A análise combinatória reúne estratégias para contar possibilidades de forma organizada. Nesta postagem, começaremos identificando as etapas de uma decisão, avançaremos para o princípio fundamental da contagem e compreenderemos como o fatorial aparece na ordenação de elementos distintos.

Habilidade e conhecimentos de base

EM13MAT310 — resolver e elaborar problemas de contagem envolvendo agrupamentos ordenáveis ou não ordenáveis, utilizando os princípios multiplicativo e aditivo, diagramas de árvore e estratégias diversas.

Base para contagem — significado e cálculo do fatorial de um número natural.

Nesta etapa, estudaremos o princípio fundamental da contagem e a permutação simples. Permutações com repetição, arranjos e combinações serão desenvolvidos na próxima postagem.

1. Contar sem listar todas as possibilidades

Em problemas de contagem, a primeira tarefa não é procurar imediatamente uma fórmula. É necessário compreender quais escolhas serão realizadas, quantas etapas existem e se uma escolha modifica as possibilidades das etapas seguintes.

1. Compreender
O que está sendo formado?

→

2. Separar
Quais são as etapas?

→

3. Verificar
Há repetição ou restrição?

→

4. Contar
Somar ou multiplicar?

Exemplo 1 — Combinações de um uniforme

Uma escola disponibiliza 3 modelos de camiseta e 2 modelos de calça para uma apresentação. Um uniforme é formado escolhendo uma camiseta e uma calça.

Podemos representar as escolhas por pares:

\((C_1,P_1)\), \((C_1,P_2)\), \((C_2,P_1)\), \((C_2,P_2)\), \((C_3,P_1)\), \((C_3,P_2)\)

Há 6 uniformes possíveis. A listagem funciona porque os números são pequenos, mas o raciocínio utilizado poderá ser generalizado.

2. Princípio fundamental da contagem

O princípio fundamental da contagem, também chamado de princípio multiplicativo, é utilizado quando uma ação ocorre em etapas sucessivas. Se a primeira etapa pode ser realizada de \(n_1\) maneiras, a segunda de \(n_2\) maneiras e assim sucessivamente, o número total de resultados é o produto das quantidades de possibilidades de cada etapa.

\(N=n_1\cdot n_2\cdot n_3\cdots n_k\)

Camiseta C₁ C₂ C₃

× Calça P₁ P₂

= Total 3 × 2 = 6

Exemplo 2 — Cardápio de um restaurante

Em um almoço, o cliente escolhe uma entre 4 opções de prato principal, um entre 3 acompanhamentos e uma entre 2 bebidas. Quantos pedidos diferentes podem ser formados com um item de cada categoria?

O pedido é construído em três etapas sucessivas:

\(4\text{ pratos}\times3\text{ acompanhamentos}\times2\text{ bebidas}=24\)

Portanto, o restaurante oferece 24 pedidos diferentes nessas condições.

Quando uma escolha altera a etapa seguinte

Nem sempre a quantidade de opções permanece constante. Quando não é permitida repetição, cada escolha reduz o número de possibilidades disponíveis para as etapas seguintes.

Exemplo 3 — Código sem repetição

Um código será formado por três letras distintas escolhidas entre A, B, C, D, E e F. Como nenhuma letra pode ser repetida, há 6 possibilidades para a primeira posição, 5 para a segunda e 4 para a terceira.

\(6\cdot5\cdot4=120\)

Assim, podem ser formados 120 códigos. O fator 5 aparece porque uma letra já foi utilizada; o fator 4 aparece porque duas letras já foram utilizadas.

Princípio aditivo: situações alternativas

O princípio multiplicativo é usado quando as etapas acontecem em sequência: escolhemos isto e aquilo. O princípio aditivo é usado quando contamos alternativas que não acontecem ao mesmo tempo: escolhemos isto ou aquilo.

Etapas sucessivas

Escolher uma camiseta e uma calça.

As quantidades são multiplicadas.

Casos alternativos

Escolher uma oficina pela manhã ou uma oficina à tarde.

Se os casos não se sobrepõem, as quantidades são somadas.

Exemplo 4 — Escolha de uma única oficina

Um evento oferece 5 oficinas exclusivas no turno da manhã e 4 oficinas exclusivas no turno da tarde. Um visitante participará de apenas uma oficina.

\(5+4=9\)

Como a escolha será de uma oficina da manhã ou de uma oficina da tarde, existem 9 possibilidades.

Atenção: palavras como “e” e “ou” ajudam a interpretar, mas não substituem a análise. O mais importante é verificar se o resultado exige etapas sucessivas ou se reúne casos alternativos sem sobreposição.

3. Restrições em problemas de contagem

Uma restrição modifica o conjunto de possibilidades e deve ser considerada antes da multiplicação. Entre as restrições mais comuns estão a proibição de repetição, a exigência de começar ou terminar com determinado tipo de elemento e a necessidade de manter elementos juntos.

Exemplo 5 — Números pares de três algarismos

Quantos números pares de três algarismos distintos podem ser formados com 1, 2, 3, 4 e 5?

Como o número precisa ser par, a unidade deve ser 2 ou 4. É vantajoso começar pela posição mais restrita.

Unidade: \(2\) possibilidades.
Centena: \(4\) possibilidades, pois um algarismo já foi utilizado.
Dezena: \(3\) possibilidades.

Total: \(2\cdot4\cdot3=24\).

Podem ser formados 24 números.

Pratique 1 — Princípio fundamental da contagem

Questão 1. Uma loja apresenta 3 modelos de camiseta e 4 modelos de calça. Quantos conjuntos diferentes podem ser formados escolhendo uma camiseta e uma calça?

Questão 2. Para chegar a um centro de eventos, uma pessoa pode escolher uma entre 4 linhas de ônibus e, depois, um entre 3 trajetos de transporte interno. Quantos percursos completos são possíveis?

Questão 3. Um código é formado por duas letras distintas escolhidas entre A, B, C, D e E, seguidas de um algarismo escolhido entre 1, 2, 3 e 4. Quantos códigos podem ser formados?

Questão 4. Quantos números pares de três algarismos distintos podem ser formados com 0, 1, 2, 3 e 4?

Questão 5. Para realizar uma viagem, uma pessoa escolherá apenas uma entre 7 linhas de ônibus ou uma entre 3 linhas ferroviárias. Quantas escolhas estão disponíveis?

Ver respostas detalhadas

1. A formação do conjunto possui duas etapas sucessivas. Para cada uma das 3 camisetas existem 4 escolhas de calça. Logo, \(3\cdot4=12\) conjuntos.

2. É necessário escolher uma linha de ônibus e um trajeto interno. Pelo princípio multiplicativo, \(4\cdot3=12\) percursos completos.

3. Há 5 opções para a primeira letra, 4 para a segunda, pois não pode haver repetição, e 4 para o algarismo. Assim, \(5\cdot4\cdot4=80\) códigos.

4. Se a unidade for 0, há 4 escolhas para a centena e 3 para a dezena: \(4\cdot3=12\). Se a unidade for 2 ou 4, há 2 escolhas para ela, 3 escolhas não nulas para a centena e 3 para a dezena: \(2\cdot3\cdot3=18\). Somando os casos, \(12+18=30\) números.

5. A pessoa utilizará uma linha de ônibus ou uma linha ferroviária. Como são casos alternativos, aplicamos o princípio aditivo: \(7+3=10\) escolhas.

4. Fatorial de um número natural

Em muitos problemas, aparece o produto de números naturais consecutivos em ordem decrescente. Para representar esse produto de forma compacta, utilizamos o fatorial.

\(n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots3\cdot2\cdot1\)

Por definição, \(0!=1\) e \(1!=1\). A definição de \(0!\) preserva as propriedades das fórmulas de contagem e corresponde ao fato de existir uma maneira de organizar nenhum objeto: a organização vazia.

\(3!\)

\(3\cdot2\cdot1=6\)

\(5!\)

\(5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120\)

\(7!\)

\(7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=5040\)

Simplificação de expressões com fatoriais

Não é necessário desenvolver completamente fatoriais grandes quando existem fatores comuns no numerador e no denominador.

Exemplo 6 — Simplificação

\(\dfrac{8!}{6!}=\dfrac{8\cdot7\cdot6!}{6!}=8\cdot7=56\)

O desenvolvimento foi interrompido em \(6!\), pois esse fator aparece no numerador e no denominador.

Exemplo 7 — Resolução de uma equação

Determine o número natural \(n\) que satisfaz \(\dfrac{n!}{(n-2)!}=20\).

\(\dfrac{n(n-1)(n-2)!}{(n-2)!}=20\Rightarrow n(n-1)=20\)

Como \(5\cdot4=20\), temos \(n=5\).

Pratique 2 — Fatorial

Questão 1. Uma sorveteria oferece 4 sabores, 3 tipos de cobertura e 2 tipos de recipiente. Quantas escolhas podem ser feitas utilizando um item de cada categoria?

Questão 2. Uma senha possui duas letras seguidas de um algarismo. Considerando 5 letras disponíveis, 4 algarismos disponíveis e permitindo repetição, quantas senhas podem ser formadas?

Questão 3. Calcule \(6!\).

Questão 4. Simplifique \(\dfrac{9!}{7!}\).

Questão 5. Determine o natural \(n\) sabendo que \(n!=120\).

Ver respostas detalhadas

1. A escolha ocorre em três etapas sucessivas. Pelo princípio multiplicativo, \(4\cdot3\cdot2=24\). Existem 24 escolhas.

2. Como a repetição é permitida, há 5 opções para cada uma das duas posições de letras e 4 opções para o algarismo: \(5\cdot5\cdot4=100\) senhas.

3. \(6!=6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=720\).

4. \(\dfrac{9!}{7!}=\dfrac{9\cdot8\cdot7!}{7!}=9\cdot8=72\).

5. Como \(5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120\), temos \(n=5\).

5. Permutação simples

Uma permutação simples é uma ordenação de todos os elementos de um conjunto formado por elementos distintos. Se existem \(n\) elementos, há \(n\) possibilidades para a primeira posição, \(n-1\) para a segunda, \(n-2\) para a terceira e assim por diante.

\(P_n=n!\)

A expressão decorre diretamente do princípio fundamental da contagem:

\(n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots2\cdot1=n!\)

Exemplo 8 — Organização das apresentações

Cinco equipes apresentarão seus projetos em sequência. Como todas as equipes são distintas e todas ocuparão uma posição, o número de ordens possíveis é:

\(P_5=5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120\)

Existem 120 programações possíveis para as apresentações.

Permutação com posição previamente definida

Exemplo 9 — Palestrante na primeira posição

Seis palestrantes participarão de um evento, mas Ana deverá realizar a abertura. Com a primeira posição já ocupada, restam cinco palestrantes para as cinco posições seguintes.

\(P_5=5!=120\)

Há 120 programações que mantêm Ana na abertura.

Elementos que devem permanecer juntos

Quando dois elementos precisam ficar juntos, podemos tratá-los temporariamente como um único bloco. Depois, verificamos de quantas formas os elementos podem trocar de posição dentro do bloco.

Exemplo 10 — Dois livros da mesma coleção juntos

Cinco livros distintos serão organizados em uma prateleira. Dois deles, A e B, devem permanecer juntos.

O bloco AB e os outros três livros formam quatro unidades, que podem ser ordenadas de \(4!\) maneiras. Dentro do bloco, A e B podem aparecer como AB ou BA.

\(4!\cdot2!=24\cdot2=48\)

Existem 48 organizações em que os dois livros permanecem juntos.

Elementos que não podem permanecer juntos

Em muitos casos, é mais simples contar todas as organizações e retirar aquelas que não atendem à condição.

Exemplo 11 — Os livros A e B separados

Sem restrição, os cinco livros podem ser organizados de \(5!=120\) maneiras. No exemplo anterior, calculamos 48 organizações com A e B juntos.

\(120-48=72\)

Logo, existem 72 organizações em que A e B não ficam juntos.

Importante: a fórmula \(P_n=n!\) vale para a ordenação de todos os \(n\) elementos distintos. Se apenas parte dos elementos for escolhida ou se houver elementos repetidos, o modelo de contagem será diferente.

Pratique 3 — Permutação simples

Questão 1. De quantas maneiras 6 livros distintos podem ser organizados em uma prateleira?

Questão 2. Sete estudantes formarão uma fila. Se Beatriz deve ocupar a primeira posição, quantas filas podem ser formadas?

Questão 3. Quantos anagramas podem ser formados com todas as letras da palavra ROMA?

Questão 4. Cinco pessoas formarão uma fila. De quantas maneiras isso pode ocorrer se Carlos e Diana devem ficar juntos?

Questão 5. Nas condições da questão anterior, quantas filas podem ser formadas se Carlos e Diana não puderem ficar juntos?

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1. Todos os 6 livros são distintos e serão ordenados. Logo, \(P_6=6!=720\).

2. Com Beatriz fixa na primeira posição, os outros 6 estudantes podem ocupar as posições restantes de \(6!=720\) maneiras.

3. ROMA possui 4 letras distintas. Assim, \(P_4=4!=24\) anagramas.

4. Considerando Carlos e Diana como um bloco, temos 4 unidades. Elas podem ser ordenadas de \(4!\) maneiras, e a dupla pode aparecer em 2 ordens: \(4!\cdot2=48\).

5. Há \(5!=120\) filas sem restrição e 48 com a dupla junta. Portanto, \(120-48=72\) filas mantêm Carlos e Diana separados.

6. Como reconhecer o procedimento adequado

Situação	Pergunta orientadora	Procedimento
Decisão realizada em etapas	É necessário escolher um item de cada etapa?	Multiplicar as possibilidades.
Casos alternativos sem sobreposição	O resultado pertence a um caso ou a outro?	Somar as possibilidades.
Escolha sem repetição	Cada escolha reduz as opções seguintes?	Atualizar a quantidade em cada etapa.
Ordenação de todos os elementos distintos	Todos serão utilizados e a ordem importa?	Usar \(P_n=n!\).
Dois elementos juntos	Eles podem ser tratados como um bloco?	Permutar os blocos e a ordem interna.
Dois elementos separados	É mais simples retirar os casos juntos?	Total menos casos não permitidos.

Pratique 4 — Integração dos conteúdos

Questão 1. Uma identificação é formada por uma letra escolhida entre 8 disponíveis e três algarismos distintos escolhidos entre 0 e 9. Quantas identificações podem ser formadas?

Questão 2. Simplifique \(\dfrac{7!}{5!}\).

Questão 3. Cinco palestrantes distintos apresentarão seus trabalhos, um após o outro. Quantas programações diferentes podem ser elaboradas?

Questão 4. Sete pessoas formarão uma fila. Ana deve ocupar a primeira posição e Bruno, a última. Quantas filas atendem às duas condições?

Questão 5. Seis livros distintos serão colocados em uma prateleira. Quantas organizações mantêm dois livros específicos separados?

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1. Há 8 possibilidades para a letra. Para os algarismos, existem 10 possibilidades para a primeira posição, 9 para a segunda e 8 para a terceira. Portanto, \(8\cdot10\cdot9\cdot8=5760\) identificações.

2. \(\dfrac{7!}{5!}=\dfrac{7\cdot6\cdot5!}{5!}=7\cdot6=42\).

3. Todos os 5 palestrantes são distintos e serão ordenados. Logo, \(P_5=5!=120\) programações.

4. Com Ana e Bruno em posições fixas, restam 5 pessoas para as cinco posições intermediárias. Assim, podem ser formadas \(5!=120\) filas.

5. Sem restrição, existem \(6!=720\) organizações. Tratando os dois livros como um bloco, temos 5 unidades, com \(5!\) ordens externas e 2 ordens internas: \(5!\cdot2=240\). Portanto, \(720-240=480\) organizações mantêm os livros separados.

7. Revisão e aprofundamento

Questão 1. Uma plataforma oferece 5 modelos de fundo, 4 tipos de fonte e 3 esquemas de cores. Quantas apresentações podem ser personalizadas escolhendo uma opção de cada categoria?

Questão 2. Um estudante pode participar de uma entre 6 oficinas de Ciências ou uma entre 4 oficinas de Matemática, mas participará de apenas uma. Quantas escolhas estão disponíveis?

Questão 3. Uma identificação possui duas letras e dois algarismos. Há 7 letras e 5 algarismos disponíveis, e a repetição é permitida. Quantas identificações podem ser formadas?

Questão 4. Refazendo a questão anterior sem permitir repetição de letras nem de algarismos, quantas identificações podem ser formadas?

Questão 5. Quantos números ímpares de três algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6?

Questão 6. Calcule \(8!\).

Questão 7. Simplifique \(\dfrac{10!}{8!}\).

Questão 8. Simplifique \(\dfrac{9!}{2!\,7!}\).

Questão 9. Determine o natural \(n\) que satisfaz \(\dfrac{n!}{(n-1)!}=8\).

Questão 10. Oito relatórios distintos serão colocados em uma pasta, um após o outro. Quantas ordens diferentes são possíveis?

Questão 11. De quantas maneiras 6 atletas distintos podem formar uma fila se um atleta específico deve ocupar a última posição?

Questão 12. Quantos anagramas podem ser formados com todas as letras da palavra LIVRO?

Questão 13. Seis pessoas formarão uma fila. De quantas maneiras André e Bruno podem permanecer juntos?

Questão 14. Nas condições da questão anterior, de quantas maneiras André e Bruno podem ficar separados?

Questão 15. Sete livros distintos serão organizados em uma prateleira. Três livros específicos devem ocupar, em qualquer ordem, as três primeiras posições. Quantas organizações atendem à condição?

Gabarito detalhado

1. A personalização possui três etapas: fundo, fonte e cores. Pelo princípio multiplicativo, \(5\cdot4\cdot3=60\). Portanto, existem 60 apresentações.

2. A participação ocorrerá em uma oficina de Ciências ou em uma de Matemática. Como são casos alternativos sem sobreposição, aplicamos o princípio aditivo: \(6+4=10\) escolhas.

3. Com repetição permitida, as quatro posições possuem, respectivamente, 7, 7, 5 e 5 possibilidades. Assim, \(7\cdot7\cdot5\cdot5=1225\) identificações.

4. Sem repetição, a primeira letra possui 7 opções e a segunda, 6. O primeiro algarismo possui 5 opções e o segundo, 4. Logo, \(7\cdot6\cdot5\cdot4=840\).

5. A unidade precisa ser ímpar: 1, 3 ou 5, produzindo 3 possibilidades. Escolhido o último algarismo, restam 5 possibilidades para a centena e 4 para a dezena. Portanto, \(3\cdot5\cdot4=60\) números.

6. \(8!=8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=40320\).

7. \(\dfrac{10!}{8!}=\dfrac{10\cdot9\cdot8!}{8!}=10\cdot9=90\).

8. \(\dfrac{9!}{2!\,7!}=\dfrac{9\cdot8\cdot7!}{2\cdot7!}=\dfrac{72}{2}=36\).

9. Como \(n!=n(n-1)!\), temos \(\dfrac{n!}{(n-1)!}=n\). Assim, \(n=8\).

10. Os 8 relatórios são distintos e todos serão ordenados. Logo, \(P_8=8!=40320\).

11. Com um atleta fixo na última posição, os outros 5 atletas podem ocupar as posições restantes de \(5!=120\) maneiras.

12. LIVRO possui 5 letras distintas. Portanto, \(P_5=5!=120\) anagramas.

13. Tratando André e Bruno como um bloco, temos 5 unidades para ordenar: o bloco e as outras quatro pessoas. São \(5!\) ordens externas e 2 ordens internas para a dupla. Logo, \(5!\cdot2=240\).

14. Sem restrição, existem \(6!=720\) filas. Dessas, 240 mantêm André e Bruno juntos. Portanto, \(720-240=480\) filas os mantêm separados.

15. Os três livros específicos podem ocupar as três primeiras posições de \(3!\) formas. Os outros quatro livros podem ocupar as posições restantes de \(4!\) formas. Pelo princípio multiplicativo, \(3!\cdot4!=6\cdot24=144\).

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