Plano cartesiano: coordenadas, distância, ponto médio, alinhamento e área de triângulos
Aplicativos de localização, sistemas de navegação, projetos de engenharia e mapas digitais precisam transformar posições reais em informações numéricas. Para isso, é possível associar cada local a um par de coordenadas e representar deslocamentos, distâncias e regiões em um plano.
Nesta postagem, construiremos a base da Geometria Analítica. Começaremos pela localização de pontos no plano cartesiano e avançaremos para o cálculo da distância e do ponto médio de um segmento. Depois, aprenderemos a verificar se três pontos estão alinhados e a determinar a área de um triângulo utilizando apenas as coordenadas de seus vértices.
Conhecimentos de base
EM13MAT401 e EM13MAT402 — leitura e conversão entre representações algébricas e geométricas no plano cartesiano.
Base e complementação curricular — distância entre pontos, ponto médio, condição de alinhamento e área de triângulos por coordenadas.
Esses conhecimentos serão utilizados nas próximas postagens para estudar equações de retas, coeficientes, distâncias, ângulos e circunferências.
1. O plano cartesiano e as coordenadas
O plano cartesiano é formado por dois eixos numéricos perpendiculares. O eixo horizontal é chamado de eixo das abscissas e costuma ser representado por \(x\). O eixo vertical é chamado de eixo das ordenadas e costuma ser representado por \(y\). O ponto de encontro dos eixos é a origem, indicada por \(O(0,0)\).
Cada ponto do plano é identificado por um par ordenado \(P(x,y)\). A primeira coordenada informa o deslocamento horizontal; a segunda, o deslocamento vertical. A ordem é essencial: em geral, \(P(2,5)\) e \(Q(5,2)\) representam posições diferentes.
A posição de cada ponto é determinada pela leitura da coordenada horizontal e, depois, da coordenada vertical.
Região
Sinal de \(x\)
Sinal de \(y\)
Exemplo
1º quadrante
positivo
positivo
\((4,3)\)
2º quadrante
negativo
positivo
\((-3,2)\)
3º quadrante
negativo
negativo
\((-3,-2)\)
4º quadrante
positivo
negativo
\((2,-2)\)
Atenção: um ponto localizado sobre um dos eixos não pertence a nenhum quadrante. Se \(x=0\), o ponto está no eixo \(y\); se \(y=0\), está no eixo \(x\).
Exemplo 1 — Localização de um equipamento
Em uma planta técnica, a origem representa o centro de um galpão. Um sensor foi instalado no ponto \(S(-4,3)\). Isso significa que, a partir da origem, sua posição está quatro unidades à esquerda e três unidades acima. Como \(x<0\) e \(y>0\), o sensor está representado no segundo quadrante.
2. Distância entre dois pontos
Considere os pontos \(A(x_A,y_A)\) e \(B(x_B,y_B)\). As diferenças \(x_B-x_A\) e \(y_B-y_A\) representam, respectivamente, as variações horizontal e vertical entre as duas posições. Essas variações formam os catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é o segmento \(\overline{AB}\).
Aplicando o teorema de Pitágoras, obtemos:
\(d(A,B)=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\)
As projeções horizontal e vertical formam um triângulo retângulo auxiliar.
Exemplo 2 — Inspeção de uma tubulação
Em uma planta cartesiana, dois pontos de inspeção de uma tubulação são \(A(-2,1)\) e \(B(4,5)\). Cada unidade do desenho corresponde a um metro. A distância em linha reta entre os pontos é:
Observe que as diferenças podem ser calculadas em qualquer sentido. A troca da ordem apenas altera os sinais antes da potenciação; como os valores são elevados ao quadrado, a distância permanece a mesma.
3. Ponto médio de um segmento
O ponto médio divide um segmento em duas partes de mesmo comprimento. Se \(M\) é o ponto médio de \(\overline{AB}\), sua abscissa é a média das abscissas de \(A\) e \(B\), e sua ordenada é a média das ordenadas desses pontos.
Duas unidades de atendimento estão representadas por \(A(-4,2)\) e \(B(6,8)\). Para instalar um ponto de apoio exatamente no centro do segmento que liga as unidades, calculamos:
O ponto \(M(1,5)\) fica à mesma distância das duas unidades porque divide o segmento \(\overline{AB}\) ao meio.
Problema inverso: se uma extremidade e o ponto médio forem conhecidos, a outra extremidade pode ser obtida pelas relações \(x_B=2x_M-x_A\) e \(y_B=2y_M-y_A\).
Pratique 1
Questão 1. Em um mapa de um parque, um visitante está no ponto \(P(-2,3)\). Ele caminha cinco unidades para a direita e quatro unidades para baixo. Determine as coordenadas da nova posição e identifique o quadrante em que ela se encontra.
Questão 2. Dois pontos de acesso a uma rede subterrânea são representados por \(A(-3,2)\) e \(B(5,-4)\). Cada unidade corresponde a um metro. Determine a extensão do trecho retilíneo que liga os dois acessos.
Questão 3. Uma passarela liga os pontos \(C(2,-5)\) e \(D(8,7)\). Uma luminária será instalada exatamente no ponto médio da passarela. Determine as coordenadas de sua posição.
Questão 4. Uma rota retilínea tem uma extremidade em \(A(-4,6)\) e ponto médio em \(M(1,2)\). Determine as coordenadas da outra extremidade \(B\).
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1. Deslocar cinco unidades para a direita significa somar 5 à abscissa: \(-2+5=3\). Deslocar quatro unidades para baixo significa subtrair 4 da ordenada: \(3-4=-1\). Portanto, a nova posição é \((3,-1)\). Como \(x>0\) e \(y<0\), o ponto está no quarto quadrante.
2. As variações são \(5-(-3)=8\) e \(-4-2=-6\). Assim, \(d=\sqrt{8^2+(-6)^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10\). A extensão do trecho é 10 metros.
3. Calculamos a média de cada par de coordenadas: \(M\left(\frac{2+8}{2},\frac{-5+7}{2}\right)=M(5,1)\). A luminária deve ser instalada no ponto \((5,1)\).
4. Como \(x_B=2x_M-x_A\), temos \(x_B=2\cdot1-(-4)=6\). Para a ordenada, \(y_B=2y_M-y_A=2\cdot2-6=-2\). Logo, a outra extremidade é \(B(6,-2)\). A média entre \(A\) e \(B\) confirma o ponto \(M(1,2)\).
4. Condição de alinhamento de três pontos
Três pontos estão alinhados quando pertencem à mesma reta. Geometricamente, isso significa que não formam um triângulo com região interna. Algebricamente, podemos verificar o alinhamento por um determinante.
Para \(A(x_A,y_A)\), \(B(x_B,y_B)\) e \(C(x_C,y_C)\), os pontos estarão alinhados se:
Uma forma equivalente, que evita montar a tabela do determinante, é:
\((x_B-x_A)(y_C-y_A)-(y_B-y_A)(x_C-x_A)=0\)
Exemplo 4 — Traçado de uma ciclovia
Uma ciclovia retilínea deve passar pelos pontos \(A(1,2)\), \(B(3,5)\) e \(C(5,8)\). Antes da execução, o projetista precisa verificar se as três marcações estão alinhadas.
Como o resultado é zero, os três pontos estão alinhados. Assim, uma única reta pode representar o traçado previsto para a ciclovia.
Cuidado: comparar razões como \(\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\) pode causar divisão por zero quando a reta é vertical. A forma do determinante funciona também nesse caso.
5. Área de um triângulo no plano cartesiano
Quando as coordenadas dos três vértices são conhecidas, a área do triângulo pode ser obtida pelo mesmo determinante utilizado no teste de alinhamento. A diferença é que tomamos o valor absoluto do resultado e o dividimos por 2.
A região triangular pode ser medida diretamente pelas coordenadas dos três vértices.
Exemplo 5 — Área destinada a um jardim
Em um projeto paisagístico, um jardim triangular tem vértices \(A(1,1)\), \(B(6,1)\) e \(C(3,4)\). Cada unidade do plano corresponde a um metro. Aplicando a forma desenvolvida:
Nesse caso, o segmento \(\overline{AB}\) é horizontal, por isso também seria possível identificar base \(5\) e altura \(3\). A fórmula por coordenadas, porém, continua válida mesmo quando nenhum lado é horizontal ou vertical.
Relação importante: se o determinante for zero, a área também será zero. Isso confirma que os três pontos estão alinhados e, portanto, não determinam um triângulo.
6. Integração dos conceitos
Em muitos problemas, uma única situação exige mais de uma ferramenta. Um projeto pode pedir a distância entre duas posições, o ponto central de um trajeto, a verificação de que três marcos pertencem a uma mesma linha ou a área de uma região demarcada.
Deslocamento
Use a fórmula da distância quando o objetivo for medir o comprimento do segmento que liga duas posições.
Divisão ao meio
Use o ponto médio para encontrar uma posição equidistante das extremidades de um segmento.
Trajeto retilíneo
Use a condição de alinhamento para verificar se três pontos podem pertencer à mesma reta.
Região triangular
Use o valor absoluto do determinante dividido por 2 para calcular a área delimitada por três pontos.
Exemplo 6 — Planejamento de uma área de monitoramento
Três câmeras estão instaladas em \(A(0,0)\), \(B(6,0)\) e \(C(2,4)\). A distância entre \(A\) e \(B\) é 6 unidades, e o ponto médio desse segmento é \(M(3,0)\). Como o ponto \(C\) não está sobre o eixo \(x\), os três pontos não estão alinhados e delimitam uma região triangular.
A leitura conjunta das informações permite compreender tanto o posicionamento dos equipamentos quanto a extensão da região monitorada.
Pratique 2
Questão 1. Três postes de iluminação foram marcados nos pontos \(A(-1,0)\), \(B(2,6)\) e \(C(4,10)\). Verifique se uma única tubulação retilínea pode passar pelas três bases.
Questão 2. Em uma planta urbana, três estações estão nos pontos \(P(1,2)\), \(Q(3,6)\) e \(R(5,9)\). Um técnico afirmou que elas pertencem à mesma reta porque as coordenadas aumentam. Analise a afirmação por meio da condição de alinhamento.
Questão 3. Uma placa triangular será produzida a partir dos vértices \(A(1,1)\), \(B(7,1)\) e \(C(4,5)\), medidos em centímetros. Determine a área de material necessária para uma placa.
Questão 4. Um terreno é representado pelo paralelogramo de vértices \(A(-2,-1)\), \(B(4,-1)\), \(C(5,3)\) e \(D(-1,3)\). A diagonal \(\overline{AC}\) divide o terreno em dois triângulos. Determine a área total do terreno utilizando as coordenadas.
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1. Usando \(A\) como referência: \((2-(-1))(10-0)-(6-0)(4-(-1))=3\cdot10-6\cdot5=30-30=0\). Como o resultado é zero, os três postes estão alinhados. Portanto, uma única tubulação retilínea pode passar pelas três bases.
2. Calculamos \((3-1)(9-2)-(6-2)(5-1)=2\cdot7-4\cdot4=14-16=-2\). O resultado não é zero; logo, os pontos não estão alinhados. O simples crescimento das coordenadas não garante que os pontos pertençam à mesma reta.
3. Aplicando a fórmula: \(A=\frac12|(7-1)(5-1)-(1-1)(4-1)|=\frac12|6\cdot4|=12\). Cada placa exige 12 cm² de material, desconsiderando perdas no corte.
4. Para o triângulo \(ABC\): \(A_1=\frac12|(4+2)(3+1)-(-1+1)(5+2)|=\frac12|6\cdot4|=12\). Para o triângulo \(ACD\), o cálculo também resulta em \(12\). Portanto, a área total do paralelogramo é \(12+12=\mathbf{24}\) unidades quadradas.
7. Estratégia para resolver problemas
Antes de escolher uma fórmula, identifique o que a situação está pedindo. Uma sequência segura é:
registrar os pontos respeitando a ordem \((x,y)\);
representar mentalmente ou desenhar a posição aproximada dos pontos;
identificar se o problema envolve comprimento, centro, alinhamento ou área;
substituir as coordenadas na fórmula adequada, mantendo os parênteses;
verificar o sinal, a unidade de medida e a coerência geométrica do resultado.
Verificação rápida: distâncias e áreas nunca são negativas. No cálculo de área, o valor absoluto elimina o sinal que depende da ordem em que os vértices foram escritos.
8. Revisão e aprofundamento
Questão 1. Um ponto \(P(-4,3)\) representa a posição de um equipamento em uma planta. Em qual quadrante ele está localizado e quais deslocamentos, a partir da origem, descrevem sua posição?
Questão 2. Em um campus, os prédios de Ciências e Tecnologia estão representados por \(A(-2,1)\) e \(B(4,9)\). Considerando cada unidade equivalente a 100 metros, determine a distância em linha reta entre os prédios.
Questão 3. Os extremos de uma passarela são \(C(-6,4)\) e \(D(2,-8)\). Determine o ponto médio da estrutura.
Questão 4. Uma rota tem uma extremidade em \(A(-2,5)\) e ponto médio em \(M(3,-1)\). Determine a outra extremidade \(B\).
Questão 5. Verifique se os pontos \(A(0,1)\), \(B(2,5)\) e \(C(4,9)\) estão alinhados.
Questão 6. Em um projeto viário, três marcos foram colocados em \(P(1,2)\), \(Q(3,6)\) e \(R(5,9)\). Determine se os três marcos pertencem ao mesmo trecho retilíneo.
Questão 7. Calcule a área do triângulo de vértices \(A(0,0)\), \(B(6,0)\) e \(C(2,4)\).
Questão 8. Uma área triangular de lazer tem vértices \(A(-2,1)\), \(B(4,1)\) e \(C(1,5)\). Cada unidade representa um metro. Determine sua área.
Questão 9. Explique por que três pontos alinhados produzem área igual a zero quando são inseridos na fórmula da área do triângulo.
Questão 10. Duas torres de comunicação estão em \(A(-5,-2)\) e \(B(1,6)\). Determine a distância entre elas e as coordenadas do ponto médio do segmento que as liga.
Questão 11. Os pontos \(A(0,0)\), \(B(4,0)\) e \(C(4,3)\) formam um triângulo. Calcule os três lados e a área. Depois, classifique o triângulo quanto aos ângulos.
Questão 12. Três vértices consecutivos de um paralelogramo são \(A(1,1)\), \(B(5,1)\) e \(C(7,4)\). Determine o quarto vértice \(D\), sabendo que as diagonais de um paralelogramo possuem o mesmo ponto médio.
Questão 13. Determine o valor de \(k\) para que os pontos \(A(1,2)\), \(B(3,6)\) e \(C(k,10)\) estejam alinhados.
Questão 14. A base de uma região triangular tem extremidades \(A(0,0)\) e \(B(8,0)\). O terceiro vértice é \(C(3,h)\), com \(h>0\). Sabendo que a área é \(24\) unidades quadradas, determine \(h\).
Questão 15. Um centro de distribuição está em \(A(-3,-2)\), e duas unidades consumidoras estão em \(B(5,4)\) e \(C(2,8)\). Compare as distâncias \(AB\) e \(AC\), determine qual unidade está mais próxima e localize o ponto médio do trajeto até essa unidade.
Gabarito detalhado
1. Como a abscissa é negativa e a ordenada é positiva, \(P\) pertence ao segundo quadrante. A partir da origem, sua posição é descrita por quatro unidades à esquerda e três unidades acima.
2. \(d=\sqrt{[4-(-2)]^2+(9-1)^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10\) unidades. Como cada unidade representa 100 m, a distância real é \(10\cdot100=\mathbf{1.000\text{ m}}\), ou 1 km.
3. \(M\left(\frac{-6+2}{2},\frac{4+(-8)}{2}\right)=M(-2,-2)\). Esse ponto divide a passarela em dois segmentos de mesmo comprimento.
4. \(x_B=2\cdot3-(-2)=8\) e \(y_B=2\cdot(-1)-5=-7\). Portanto, \(B(8,-7)\). Conferindo: a média entre \(-2\) e \(8\) é \(3\), e a média entre \(5\) e \(-7\) é \(-1\).
5. \((2-0)(9-1)-(5-1)(4-0)=2\cdot8-4\cdot4=16-16=0\). Portanto, os pontos estão alinhados.
6. \((3-1)(9-2)-(6-2)(5-1)=2\cdot7-4\cdot4=14-16=-2\). Como o resultado é diferente de zero, os marcos não pertencem à mesma reta.
9. Pontos alinhados não delimitam uma região bidimensional: a figura fica reduzida a um segmento de reta. Algebricamente, as variações entre as coordenadas são proporcionais, o determinante é zero e, consequentemente, \(A=\frac12|0|=0\).
10. \(d=\sqrt{[1-(-5)]^2+[6-(-2)]^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\). O ponto médio é \(M\left(\frac{-5+1}{2},\frac{-2+6}{2}\right)=M(-2,2)\).
11. \(AB=4\), \(BC=3\) e \(AC=\sqrt{4^2+3^2}=5\). A área é \(\frac{4\cdot3}{2}=6\). Como \(3^2+4^2=5^2\), o triângulo é retângulo, com ângulo reto no vértice \(B\).
12. O ponto médio de \(AC\) é \(M\left(\frac{1+7}{2},\frac{1+4}{2}\right)=M\left(4,\frac52\right)\). Esse também deve ser o ponto médio de \(BD\). Logo, \(x_D=2\cdot4-5=3\) e \(y_D=2\cdot\frac52-1=4\). Portanto, \(D(3,4)\).
13. Aplicando o alinhamento: \((3-1)(10-2)-(6-2)(k-1)=0\). Assim, \(2\cdot8-4(k-1)=0\), então \(16-4k+4=0\), \(20-4k=0\) e \(\mathbf{k=5}\).
14. Como a base \(AB\) mede 8 e a altura é \(h\), \(24=\frac{8h}{2}=4h\). Portanto, \(h=6\). Pela fórmula das coordenadas, \(24=\frac12|8h|\), produzindo o mesmo resultado.
15. \(AB=\sqrt{[5-(-3)]^2+[4-(-2)]^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10\). Já \(AC=\sqrt{[2-(-3)]^2+[8-(-2)]^2}=\sqrt{5^2+10^2}=5\sqrt5\approx11{,}18\). Portanto, \(B\) está mais próxima. O ponto médio de \(AB\) é \(M\left(\frac{-3+5}{2},\frac{-2+4}{2}\right)=M(1,1)\).
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