Sistemas lineares: representação, escalonamento e classificação

O planejamento de uma compra, a distribuição de recursos, a comparação de tarifas e a determinação de quantidades desconhecidas podem envolver várias condições simultâneas. Quando essas condições são representadas por equações de primeiro grau, obtemos um sistema linear.

Resolver um sistema não significa apenas encontrar números que satisfaçam as equações. Também é necessário compreender se existe uma única solução, se há várias possibilidades ou se as condições apresentadas são incompatíveis. Nesta postagem, estudaremos essas situações por meio da representação matricial e do escalonamento.

Habilidades da BNCC e conhecimentos de base

EM13MAT301 — resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas que envolvam equações e sistemas de equações lineares.

EM13MAT405 — utilizar representações e procedimentos matemáticos para organizar, analisar e processar dados.

Base e complementação curricular — escalonamento, classificação e discussão de sistemas lineares.

1. Equação linear e sistema linear

Uma equação linear nas incógnitas \(x_1,x_2,\ldots,x_n\) pode ser escrita na forma:

\(a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=b\)

Os números \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) são os coeficientes, e \(b\) é o termo independente. Um sistema linear é formado por duas ou mais equações lineares que devem ser satisfeitas simultaneamente.

\(\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\\ \vdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=b_m \end{cases}\)

Uma solução do sistema é um conjunto ordenado de valores que torna verdadeiras todas as equações ao mesmo tempo.

Exemplo 1 — Ingressos de um evento escolar

Em um evento, foram vendidos 40 ingressos. O ingresso inteiro custava R$ 20,00 e o ingresso com desconto custava R$ 12,00. A arrecadação foi de R$ 640,00.

Se \(x\) representa os ingressos inteiros e \(y\), os ingressos com desconto:

\(\begin{cases}x+y=40\\20x+12y=640\end{cases}\)

Da primeira equação, \(y=40-x\). Substituindo na segunda:

\(20x+12(40-x)=640\)
\(20x+480-12x=640\)
\(8x=160\Rightarrow x=20\)

Assim, \(y=40-20=20\). Foram vendidos 20 ingressos de cada tipo. A resposta satisfaz simultaneamente a quantidade total e a arrecadação.

Verificação: substituir os valores encontrados nas equações originais ajuda a identificar erros de cálculo e confirma se a resposta respeita todas as condições do problema.

2. Representações de um sistema linear

Um mesmo sistema pode ser apresentado de formas diferentes. Cada representação destaca um aspecto do problema.

Forma algébrica

Apresenta diretamente as equações e as incógnitas.

Forma matricial

Organiza coeficientes, incógnitas e termos independentes.

Forma geométrica

Relaciona cada equação a uma reta, plano ou hiperplano.

Representação matricial

O sistema \(\begin{cases}2x+y=7\\x-y=2\end{cases}\) pode ser escrito como \(AX=B\):

\(\underbrace{\begin{bmatrix}2&1\\1&-1\end{bmatrix}}_{A} \underbrace{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}_{X} = \underbrace{\begin{bmatrix}7\\2\end{bmatrix}}_{B}\)

A matriz \(A\) reúne os coeficientes; \(X\) contém as incógnitas; e \(B\), os termos independentes.

Matriz aumentada

No escalonamento, utilizamos a matriz aumentada, que reúne os coeficientes e os termos independentes, separados visualmente por uma barra.

\(\left[\begin{array}{cc|c}2&1&7\\1&-1&2\end{array}\right]\)
Atenção: ao montar uma matriz aumentada, todas as equações devem apresentar as incógnitas na mesma ordem. Quando uma incógnita não aparece em uma equação, seu coeficiente é zero.

Interpretação geométrica

Em um sistema com duas incógnitas, cada equação representa uma reta no plano cartesiano. A quantidade de soluções depende da posição relativa dessas retas.

Posição das retasNúmero de soluçõesClassificação
ConcorrentesUma soluçãoSistema possível e determinado
CoincidentesInfinitas soluçõesSistema possível e indeterminado
Paralelas distintasNenhuma soluçãoSistema impossível

3. Métodos algébricos de resolução

Os métodos da substituição e da eliminação são úteis para sistemas pequenos. Eles também ajudam a compreender as operações que serão realizadas no escalonamento.

Método da substituição

Exemplo 2 — Isolando uma incógnita
\(\begin{cases}x+y=9\\2x-y=6\end{cases}\)

Da primeira equação, \(y=9-x\). Substituindo:

\(2x-(9-x)=6\Rightarrow3x=15\Rightarrow x=5\)
\(y=9-5=4\)

Portanto, a solução é \((5,4)\).

Método da eliminação

Exemplo 3 — Eliminando uma incógnita
\(\begin{cases}2x+3y=13\\2x-y=5\end{cases}\)

Subtraindo a segunda equação da primeira:

\(4y=8\Rightarrow y=2\)
\(2x-2=5\Rightarrow2x=7\Rightarrow x=\dfrac72\)

A solução é \(\left(\dfrac72,2\right)\).

4. Escalonamento de sistemas lineares

Escalonar um sistema significa transformá-lo em outro sistema equivalente, com a mesma solução, mas organizado de modo que cada equação sucessiva apresente menos incógnitas.

As operações elementares permitidas são:

  • trocar a posição de duas linhas;
  • multiplicar uma linha por um número diferente de zero;
  • substituir uma linha pela soma dela com um múltiplo de outra linha.
Sistema original
equações simultâneas
→
Matriz aumentada
coeficientes organizados
→
Forma escalonada
substituição retroativa
Exemplo 4 — Escalonamento de um sistema com três incógnitas

Considere:

\(\begin{cases} x+y+z=6\\ 2x-y+z=3\\ x+2y-z=2 \end{cases}\)

A matriz aumentada é:

\(\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\2&-1&1&3\\1&2&-1&2\end{array}\right]\)

Realizamos \(L_2\leftarrow L_2-2L_1\) e \(L_3\leftarrow L_3-L_1\):

\(\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\0&-3&-1&-9\\0&1&-2&-4\end{array}\right]\)

Trocamos \(L_2\) com \(L_3\) para facilitar os cálculos:

\(\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\0&1&-2&-4\\0&-3&-1&-9\end{array}\right]\)

Agora fazemos \(L_3\leftarrow L_3+3L_2\):

\(\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\0&1&-2&-4\\0&0&-7&-21\end{array}\right]\)

Da última linha, \(-7z=-21\Rightarrow z=3\). Substituindo na segunda, \(y-2\cdot3=-4\Rightarrow y=2\). Na primeira, \(x+2+3=6\Rightarrow x=1\).

\(S=\{(1,2,3)\}\)

5. Classificação dos sistemas lineares

Depois do escalonamento, a forma das últimas linhas revela quantas soluções o sistema possui.

SPD

Sistema possível e determinado.

Possui uma única solução.

SPI

Sistema possível e indeterminado.

Possui infinitas soluções.

SI

Sistema impossível.

Não possui solução.

Sistema possível e determinado — SPD

No Exemplo 4, cada incógnita foi determinada de maneira única. Não apareceu contradição nem variável livre. Portanto, o sistema é SPD.

Sistema possível e indeterminado — SPI

Exemplo 5 — Equações equivalentes
\(\begin{cases}x+y=4\\2x+2y=8\end{cases}\)

Na matriz aumentada, fazemos \(L_2\leftarrow L_2-2L_1\):

\(\left[\begin{array}{cc|c}1&1&4\\0&0&0\end{array}\right]\)

A segunda linha não acrescenta uma nova condição. Podemos escolher \(y=t\) e escrever \(x=4-t\). Logo:

\(S=\{(4-t,t)\mid t\in\mathbb{R}\}\)

O sistema possui infinitas soluções e é classificado como SPI.

Sistema impossível — SI

Exemplo 6 — Condições incompatíveis
\(\begin{cases}x+y=4\\2x+2y=10\end{cases}\)

Aplicando \(L_2\leftarrow L_2-2L_1\), obtemos:

\(\left[\begin{array}{cc|c}1&1&4\\0&0&2\end{array}\right]\)

A última linha representa \(0x+0y=2\), isto é, \(0=2\), uma contradição. Portanto, o sistema não possui solução e é SI.

6. Discussão de um sistema com parâmetro

Em alguns sistemas, um coeficiente ou termo independente é representado por um parâmetro. O objetivo é descobrir para quais valores o sistema é SPD, SPI ou SI.

Exemplo 7 — O parâmetro altera a classificação
\(\begin{cases}x+y=3\\2x+2y=k\end{cases}\)

Multiplicando a primeira equação por 2, obtemos \(2x+2y=6\). Assim:

  • se \(k=6\), as equações são equivalentes e o sistema é SPI;
  • se \(k\neq6\), as partes esquerdas são iguais, mas os termos independentes são diferentes; o sistema é SI.

Nesse caso, não há valor de \(k\) que torne o sistema SPD, pois os coeficientes das duas equações permanecem proporcionais.

7. Síntese para análise de sistemas

Forma encontradaInterpretaçãoClassificação
Uma solução para cada incógnitaAs condições determinam um único resultado.SPD
Linha do tipo \(0=0\) e variável livreHá várias soluções compatíveis.SPI
Linha do tipo \(0=c\), com \(c\neq0\)Existe uma contradição.SI

Pratique — 10 questões

Situações de aplicação

Questão 1. Durante uma atividade escolar, foram vendidos 50 lanches de dois tipos. O primeiro custava R$ 8,00 e o segundo, R$ 5,00. A arrecadação total foi de R$ 310,00. Determine quantos lanches de cada tipo foram vendidos.
Questão 2. Em um estacionamento há carros e motocicletas, totalizando 35 veículos e 110 rodas. Considerando 4 rodas por carro e 2 por motocicleta, determine a quantidade de cada veículo.
Questão 3. Duas regras de um processo foram representadas por \(x+2y=6\) e \(2x+4y=12\). Classifique o sistema e explique o significado da classificação.
Questão 4. Um planejamento combina dois tipos de caixas. O total é de 10 caixas, e a soma das capacidades, considerando 2 unidades para o primeiro tipo e 3 para o segundo, é 26. Determine a quantidade de caixas de cada tipo.
Questão 5. Um relatório apresenta as condições \(x+y=7\) e \(2x+2y=k\). Determine o valor de \(k\) para que existam infinitas soluções e explique o que acontece quando \(k\) assume qualquer outro valor.

Questões diretas

Questão 6. Resolva \(\begin{cases}2x+y=8\\x-y=1\end{cases}\).
Questão 7. Resolva \(\begin{cases}3x+2y=12\\x+y=5\end{cases}\).
Questão 8. Classifique \(\begin{cases}x-2y=1\\2x-4y=2\end{cases}\).
Questão 9. Classifique \(\begin{cases}3x+y=4\\6x+2y=9\end{cases}\).
Questão 10. Resolva o sistema escalonado \(\begin{cases}x+y+z=6\\y+z=5\\z=3\end{cases}\).
Ver respostas detalhadas
1. Se \(x\) e \(y\) são as quantidades vendidas, então \(\begin{cases}x+y=50\\8x+5y=310\end{cases}\). Da primeira equação, \(y=50-x\). Substituindo: \(8x+5(50-x)=310\Rightarrow3x=60\Rightarrow x=20\). Logo, \(y=30\). Foram vendidos 20 lanches de R$ 8,00 e 30 de R$ 5,00.
2. Se \(x\) é o número de carros e \(y\), o de motocicletas, temos \(\begin{cases}x+y=35\\4x+2y=110\end{cases}\). Multiplicando a primeira por 2 e subtraindo, \(2x=40\Rightarrow x=20\). Assim, \(y=15\). Há 20 carros e 15 motocicletas.
3. A segunda equação é o dobro da primeira. As duas representam a mesma condição e, geometricamente, a mesma reta. Há infinitas soluções, portanto o sistema é SPI.
4. O sistema é \(\begin{cases}x+y=10\\2x+3y=26\end{cases}\). Da primeira, \(x=10-y\). Substituindo: \(2(10-y)+3y=26\Rightarrow y=6\). Logo, \(x=4\). São 4 caixas do primeiro tipo e 6 do segundo.
5. Multiplicando \(x+y=7\) por 2, obtemos \(2x+2y=14\). Assim, para \(k=14\), as equações são equivalentes e o sistema é SPI. Para \(k\neq14\), aparece uma contradição e o sistema é SI.
6. Somando as equações, \(3x=9\Rightarrow x=3\). Na segunda equação, \(3-y=1\Rightarrow y=2\). Logo, \(S=\{(3,2)\}\).
7. Da segunda equação, \(x=5-y\). Substituindo na primeira: \(3(5-y)+2y=12\Rightarrow15-y=12\Rightarrow y=3\). Portanto, \(x=2\) e \(S=\{(2,3)\}\).
8. A segunda equação é o dobro da primeira. O escalonamento produz uma linha \(0=0\), com uma variável livre. O sistema é SPI.
9. O dobro da primeira parte esquerda seria \(6x+2y\), mas o dobro de 4 seria 8, não 9. O escalonamento produz \(0=1\), uma contradição. O sistema é SI.
10. Da última equação, \(z=3\). Na segunda, \(y+3=5\Rightarrow y=2\). Na primeira, \(x+2+3=6\Rightarrow x=1\). Logo, \(S=\{(1,2,3)\}\).

8. Revisão e aprofundamento

Situações de aplicação

Questão 1. Uma papelaria vendeu 25 itens entre cadernos e canetas. Cada caderno custava R$ 12,00 e cada caneta, R$ 4,00. A arrecadação foi de R$ 172,00. Determine quantos itens de cada tipo foram vendidos.
Questão 2. Em uma criação há galinhas e coelhos. Ao todo, são 30 animais e 84 patas. Determine o número de galinhas e de coelhos.
Questão 3. Uma pessoa aplicou R$ 10.000,00 em dois investimentos. Um deles rende 8% ao ano e o outro, 5%. Após um ano, o rendimento total foi de R$ 650,00. Determine quanto foi aplicado em cada investimento.
Questão 4. Um teatro vendeu 90 ingressos. O ingresso adulto custava R$ 15,00 e o estudantil, R$ 9,00. A arrecadação total foi de R$ 1.110,00. Determine a quantidade de ingressos de cada categoria.
Questão 5. Uma produção diária de três itens, \(x\), \(y\) e \(z\), satisfaz as condições \(x+y+z=120\), \(y+z=70\) e \(z=30\). Determine a produção de cada item.
Questão 6. Dois setores apresentaram os modelos \(2x+3y=12\) e \(4x+6y=24\). Explique quantas soluções o sistema possui e o que isso indica sobre as duas condições.
Questão 7. Um planejamento exige simultaneamente \(x+y=20\) e \(2x+2y=50\). Analise se as duas condições podem ser atendidas ao mesmo tempo e classifique o sistema.
Questão 8. Uma empresa utiliza as condições \(x+y=15\) e \(3x+3y=p\). Determine o valor de \(p\) para que o sistema possua infinitas soluções e classifique-o para os demais valores.
Questão 9. Um laboratório precisa preparar 20 litros de uma solução a 25%, misturando soluções a 40% e a 10%. Determine quantos litros de cada solução devem ser utilizados.
Questão 10. Em uma montagem foram usadas 18 peças de dois tipos. Cada peça do primeiro tipo exige 2 unidades de material e cada peça do segundo, 3 unidades. O consumo total foi de 48 unidades. Determine quantas peças de cada tipo foram utilizadas.

Questões diretas

Questão 11. Resolva \(\begin{cases}x+y=11\\x-y=3\end{cases}\).
Questão 12. Resolva \(\begin{cases}2x+3y=13\\x+y=5\end{cases}\).
Questão 13. Resolva \(\begin{cases}x+y+z=9\\y+z=7\\z=4\end{cases}\).
Questão 14. Classifique \(\begin{cases}2x-y=5\\4x-2y=10\end{cases}\).
Questão 15. Classifique \(\begin{cases}x+3y=4\\2x+6y=11\end{cases}\).
Questão 16. Discuta o sistema \(\begin{cases}x-y=2\\2x-2y=m\end{cases}\) em função do parâmetro \(m\).
Questão 17. Escreva na forma matricial \(AX=B\) o sistema \(\begin{cases}3x-2y=7\\x+4y=5\end{cases}\).
Questão 18. Na matriz aumentada \(\left[\begin{array}{cc|c}1&2&5\\3&1&4\end{array}\right]\), realize a operação \(L_2\leftarrow L_2-3L_1\).
Questão 19. Classifique o sistema cuja forma escalonada é \(\left[\begin{array}{ccc|c}1&0&2&5\\0&1&-1&3\\0&0&0&0\end{array}\right]\).
Questão 20. Discuta, em função de \(a\), o sistema \(\begin{cases}ax+y=2\\2x+2y=4\end{cases}\).
Gabarito detalhado
1. Se \(x\) é a quantidade de cadernos e \(y\), a de canetas, então \(\begin{cases}x+y=25\\12x+4y=172\end{cases}\). Substituindo \(y=25-x\): \(12x+4(25-x)=172\Rightarrow8x=72\Rightarrow x=9\). Logo, \(y=16\). Foram vendidos 9 cadernos e 16 canetas.
2. Se \(x\) representa os coelhos e \(y\), as galinhas, temos \(\begin{cases}x+y=30\\4x+2y=84\end{cases}\). Subtraindo o dobro da primeira equação da segunda, \(2x=24\Rightarrow x=12\). Assim, \(y=18\). São 12 coelhos e 18 galinhas.
3. Seja \(x\) o valor aplicado a 8% e \(y\), o valor aplicado a 5%. Temos \(\begin{cases}x+y=10000\\0{,}08x+0{,}05y=650\end{cases}\). Substituindo \(y=10000-x\), obtemos \(0{,}03x=150\Rightarrow x=5000\). Portanto, \(y=5000\). Foram aplicados R$ 5.000,00 em cada investimento.
4. Se \(x\) é a quantidade de ingressos adultos e \(y\), a de estudantis, então \(\begin{cases}x+y=90\\15x+9y=1110\end{cases}\). Substituindo \(y=90-x\): \(15x+810-9x=1110\Rightarrow6x=300\Rightarrow x=50\). Logo, \(y=40\).
5. Da terceira equação, \(z=30\). Na segunda, \(y+30=70\Rightarrow y=40\). Na primeira, \(x+40+30=120\Rightarrow x=50\). Portanto, as produções são 50, 40 e 30 unidades.
6. A segunda equação é exatamente o dobro da primeira. As duas condições são equivalentes e representam a mesma reta. O sistema possui infinitas soluções e é SPI.
7. Multiplicando \(x+y=20\) por 2, obtemos \(2x+2y=40\), que contradiz \(2x+2y=50\). Logo, as condições não podem ser atendidas simultaneamente; o sistema é SI.
8. Multiplicando \(x+y=15\) por 3, obtemos \(3x+3y=45\). Para \(p=45\), as equações são equivalentes e o sistema é SPI. Para \(p\neq45\), surge uma contradição e o sistema é SI.
9. Se \(x\) é o volume da solução a 40% e \(y\), o da solução a 10%, temos \(\begin{cases}x+y=20\\0{,}40x+0{,}10y=5\end{cases}\). Substituindo \(y=20-x\): \(0{,}40x+2-0{,}10x=5\Rightarrow0{,}30x=3\Rightarrow x=10\). Logo, \(y=10\). Devem ser utilizados 10 litros de cada solução.
10. Se \(x\) e \(y\) são as quantidades de peças, temos \(\begin{cases}x+y=18\\2x+3y=48\end{cases}\). Substituindo \(x=18-y\): \(36-2y+3y=48\Rightarrow y=12\). Portanto, \(x=6\). Foram usadas 6 peças do primeiro tipo e 12 do segundo.
11. Somando as equações, \(2x=14\Rightarrow x=7\). Então \(y=11-7=4\). Logo, \(S=\{(7,4)\}\).
12. Da segunda equação, \(x=5-y\). Substituindo: \(2(5-y)+3y=13\Rightarrow y=3\). Assim, \(x=2\) e \(S=\{(2,3)\}\).
13. Da terceira equação, \(z=4\). Na segunda, \(y+4=7\Rightarrow y=3\). Na primeira, \(x+3+4=9\Rightarrow x=2\). Logo, \(S=\{(2,3,4)\}\).
14. A segunda equação é o dobro da primeira. Há infinitas soluções e o sistema é SPI.
15. O dobro da primeira equação teria termo independente 8, mas a segunda apresenta 11. O escalonamento gera uma contradição. O sistema é SI.
16. Multiplicando \(x-y=2\) por 2, obtemos \(2x-2y=4\). Se \(m=4\), as equações são equivalentes e o sistema é SPI. Se \(m\neq4\), as condições são incompatíveis e o sistema é SI.
17. A forma matricial é \(\begin{bmatrix}3&-2\\1&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7\\5\end{bmatrix}\).
18. Calculando a nova segunda linha: \((3,1,4)-3(1,2,5)=(0,-5,-11)\). A matriz resultante é \(\left[\begin{array}{cc|c}1&2&5\\0&-5&-11\end{array}\right]\).
19. A última linha representa \(0=0\), e a variável \(z\) não possui pivô, portanto é livre. O sistema possui infinitas soluções e é SPI.
20. A matriz dos coeficientes é \(\begin{bmatrix}a&1\\2&2\end{bmatrix}\), cujo determinante é \(2a-2=2(a-1)\). Se \(a\neq1\), o determinante é diferente de zero e o sistema é SPD. Se \(a=1\), a segunda equação é o dobro da primeira e o sistema é SPI.
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