Matriz inversa e determinantes: cálculo, propriedades e aplicações
Em diferentes situações, uma transformação pode alterar um conjunto de dados e, depois, precisar ser desfeita. Um sistema pode converter valores, combinar quantidades ou relacionar diferentes variáveis. Para recuperar os dados iniciais, é necessário compreender se essa transformação admite uma operação inversa.
As matrizes inversas e os determinantes permitem analisar esse tipo de situação. O determinante indica, entre outras informações, se uma matriz quadrada pode ser invertida. Suas propriedades também ajudam a simplificar cálculos e antecipar resultados sem desenvolver todas as operações.
Habilidades e conhecimentos de base
Base e complementação curricular — matriz inversa, determinantes e propriedades dos determinantes.
O estudo mobiliza conhecimentos de matrizes quadradas, matriz identidade, multiplicação matricial e operações algébricas.
Esses conceitos serão retomados no estudo dos sistemas lineares, permitindo analisar a existência e a unicidade de soluções.
1. Quando uma transformação pode ser desfeita?
Considere uma matriz quadrada \(A\) que representa uma transformação aplicada a determinados dados. Se existir outra matriz capaz de desfazer essa transformação, essa segunda matriz será chamada de matriz inversa de \(A\).
Dados iniciais
\(X\)
→
Transformação
\(AX=B\)
→
Recuperação
\(X=A^{-1}B\)
Nem toda matriz possui inversa. Antes de tentar calculá-la, precisamos verificar se a matriz é quadrada e se seu determinante é diferente de zero.
2. Matriz inversa
Se \(A\) é uma matriz quadrada de ordem \(n\), sua inversa, quando existe, é indicada por \(A^{-1}\). A multiplicação de uma matriz por sua inversa produz a matriz identidade de mesma ordem.
\(AA^{-1}=A^{-1}A=I_n\)
Atenção: o expoente \(-1\) não significa elevar cada elemento da matriz a \(-1\). A matriz inversa é definida pela multiplicação que resulta na matriz identidade.
Inversa de uma matriz de ordem 2
Para \(A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\), calculamos inicialmente \(ad-bc\). Esse número é o determinante de \(A\).
\(A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}\), desde que \(ad-bc\neq0\).
Exemplo 1 — Cálculo e verificação da inversa
Considere \(A=\begin{bmatrix}2&1\\5&3\end{bmatrix}\). Primeiro, calculamos:
\(\det(A)=2\cdot3-1\cdot5=6-5=1\)
Como o determinante é diferente de zero, a inversa existe.
\(A^{-1}=\dfrac{1}{1}\begin{bmatrix}3&-1\\-5&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3&-1\\-5&2\end{bmatrix}\)
Verificando pela multiplicação:
\(AA^{-1}=\begin{bmatrix}2&1\\5&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3&-1\\-5&2\end{bmatrix}\)
\(AA^{-1}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}=I_2\)
Matriz singular
Uma matriz quadrada com determinante igual a zero é chamada de matriz singular. Nesse caso, não existe matriz inversa.
Exemplo 2 — Uma matriz que não possui inversa
\(B=\begin{bmatrix}2&4\\1&2\end{bmatrix}\)
\(\det(B)=2\cdot2-4\cdot1=0\)
A segunda linha é proporcional à primeira. Isso indica dependência entre as informações representadas e faz o determinante ser zero. Portanto, \(B^{-1}\) não existe.
Aplicação na recuperação de dados
Exemplo 3 — Descobrindo as quantidades iniciais
Em um processo de organização de estoque, duas quantidades desconhecidas foram representadas pela matriz coluna \(X\). Depois de uma combinação dos dados, obteve-se:
\(\begin{bmatrix}2&1\\1&1\end{bmatrix}X=\begin{bmatrix}11\\7\end{bmatrix}\)
Chamando a matriz dos coeficientes de \(A\), temos \(\det(A)=1\) e:
\(A^{-1}=\begin{bmatrix}1&-1\\-1&2\end{bmatrix}\)
\(X=A^{-1}\begin{bmatrix}11\\7\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4\\3\end{bmatrix}\)
Logo, as quantidades iniciais eram 4 e 3. A multiplicação pela inversa desfez a combinação realizada pela matriz \(A\).
3. Determinante de uma matriz de ordem 2
O determinante é um número associado a uma matriz quadrada. Para uma matriz de ordem 2, multiplicamos os elementos da diagonal principal e subtraímos o produto dos elementos da diagonal secundária.
Se \(A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\), então \(\det(A)=ad-bc\).
Exemplo 4 — Determinante e área
Os vetores \(u=(3,1)\) e \(v=(1,4)\) determinam um paralelogramo. Organizando suas coordenadas como colunas, obtemos:
\(A=\begin{bmatrix}3&1\\1&4\end{bmatrix}\)
\(\det(A)=3\cdot4-1\cdot1=11\)
O valor absoluto do determinante fornece a área do paralelogramo: \(11\) unidades quadradas. O sinal do determinante está relacionado à orientação dos vetores.
Observação: somente matrizes quadradas possuem determinante. Uma matriz retangular, como uma matriz de ordem \(2\times3\), não possui determinante.
4. Determinante de uma matriz de ordem 3
Para matrizes de ordem 3, um procedimento possível é a regra de Sarrus. Repetimos as duas primeiras colunas e calculamos os produtos das diagonais indicadas.
\(\det\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh\)
Exemplo 5 — Aplicação da regra de Sarrus
\(A=\begin{bmatrix}1&2&3\\0&1&4\\2&0&1\end{bmatrix}\)
Produtos associados às diagonais descendentes:
\(1\cdot1\cdot1+2\cdot4\cdot2+3\cdot0\cdot0=17\)
Produtos associados às diagonais ascendentes:
\(3\cdot1\cdot2+1\cdot4\cdot0+2\cdot0\cdot1=6\)
\(\det(A)=17-6=11\)
Cuidado: a regra de Sarrus é um procedimento específico para matrizes de ordem 3. Ela não deve ser aplicada diretamente a matrizes de ordem 4 ou superior.
5. Propriedades dos determinantes
As propriedades permitem prever ou calcular determinantes com maior rapidez. Em muitos problemas, reconhecer a estrutura da matriz é mais eficiente que desenvolver o determinante diretamente.
Linhas iguais
Se duas linhas ou colunas forem iguais, o determinante será zero.
Linhas proporcionais
Se duas linhas ou colunas forem proporcionais, o determinante será zero.
Linha nula
Se uma linha ou coluna for inteiramente nula, o determinante será zero.
Troca de linhas
Ao trocar duas linhas ou colunas, o determinante muda de sinal.
Multiplicação de uma linha
Ao multiplicar uma linha por \(k\), o determinante também é multiplicado por \(k\).
Matriz triangular
O determinante é o produto dos elementos da diagonal principal.
Troca de duas linhas
Exemplo 6 — Mudança de sinal
\(A=\begin{bmatrix}2&1\\3&4\end{bmatrix}\Rightarrow\det(A)=5\)
\(B=\begin{bmatrix}3&4\\2&1\end{bmatrix}\Rightarrow\det(B)=-5\)
A matriz \(B\) foi obtida trocando as linhas de \(A\). Por isso, \(\det(B)=-\det(A)\).
Multiplicação de uma linha por um número
Exemplo 7 — Alteração de uma linha
Se \(\det(A)=7\) e uma única linha de \(A\) for multiplicada por 3, então \(\det(B)=3\det(A)=21\).
Se todas as linhas de uma matriz de ordem \(n\) forem multiplicadas por \(k\), então:
\(\det(kA)=k^n\det(A)\)
Por exemplo, para uma matriz de ordem 3, \(\det(2A)=2^3\det(A)=8\det(A)\).
Adição de um múltiplo de uma linha a outra
Somar a uma linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante. Essa propriedade é especialmente útil em processos de escalonamento.
\(L_i\leftarrow L_i+kL_j\quad\Longrightarrow\quad\det(B)=\det(A)\)
Matriz triangular
Exemplo 8 — Leitura direta da diagonal
\(T=\begin{bmatrix}2&4&-1\\0&3&5\\0&0&-2\end{bmatrix}\)
Como \(T\) é triangular superior:
\(\det(T)=2\cdot3\cdot(-2)=-12\)
Determinante do produto e da inversa
\(\det(AB)=\det(A)\cdot\det(B)\)
Se \(\det(A)=-3\) e \(\det(B)=5\), então \(\det(AB)=(-3)\cdot5=-15\), sem a necessidade de calcular a matriz \(AB\).
\(\det(A^{-1})=\dfrac{1}{\det(A)}\)
Essa propriedade decorre de \(AA^{-1}=I\). Como \(\det(I)=1\), temos \(\det(A)\det(A^{-1})=1\).
6. Relação entre determinante e matriz inversa
| Condição | Classificação | Consequência |
|---|
| \(\det(A)\neq0\) | Matriz não singular ou invertível | \(A^{-1}\) existe. |
| \(\det(A)=0\) | Matriz singular | \(A^{-1}\) não existe. |
| \(AA^{-1}=I\) | Verificação da inversa | A multiplicação recupera a identidade. |
| \(\det(AB)\neq0\) | Produto invertível | \(A\) e \(B\) também são invertíveis. |
Pratique — 10 questões
Situações de aplicação
Questão 1. Um sistema de controle combina duas quantidades por meio da matriz \(A=\begin{bmatrix}3&1\\2&1\end{bmatrix}\). Para verificar se os dados originais podem ser recuperados de forma única, determine \(\det(A)\) e conclua se \(A^{-1}\) existe.
Questão 2. Dois vetores de deslocamento, \(u=(4,1)\) e \(v=(2,3)\), formam os lados de um paralelogramo. Organize-os como colunas de uma matriz e determine a área da região formada.
Questão 3. Uma transformação de imagem é representada por uma matriz \(B\) de ordem 3 com \(\det(B)=4\). Uma segunda transformação é representada por \(C\), com \(\det(C)=-2\). Determine o determinante da transformação composta \(BC\).
Questão 4. Durante a organização de dados, uma matriz apresentou duas linhas proporcionais. Sem desenvolver cálculos, explique o que acontece com seu determinante e com a possibilidade de recuperar os dados usando uma matriz inversa.
Questão 5. Um modelo utiliza a matriz triangular \(T=\begin{bmatrix}2&1&4\\0&-3&5\\0&0&2\end{bmatrix}\). Determine o determinante e informe se a transformação representada por \(T\) é invertível.
Questões diretas
Questão 6. Calcule o determinante de \(A=\begin{bmatrix}5&2\\3&4\end{bmatrix}\).
Questão 7. Determine a inversa de \(B=\begin{bmatrix}2&1\\1&1\end{bmatrix}\).
Questão 8. Calcule o determinante de \(C=\begin{bmatrix}1&0&2\\2&1&3\\0&4&1\end{bmatrix}\).
Questão 9. Sabendo que \(\det(D)=6\), determine o determinante da matriz obtida ao trocar duas linhas de \(D\).
Questão 10. Se \(E\) é uma matriz invertível e \(\det(E)=-4\), determine \(\det(E^{-1})\).
Ver respostas detalhadas
1. \(\det(A)=3\cdot1-1\cdot2=1\). Como o resultado é diferente de zero, \(A\) é invertível e os dados originais podem ser recuperados de forma única por meio de \(A^{-1}\).
2. Organizando os vetores como colunas, \(M=\begin{bmatrix}4&2\\1&3\end{bmatrix}\). Temos \(\det(M)=4\cdot3-2\cdot1=10\). A área do paralelogramo é o valor absoluto do determinante, portanto \(10\) unidades quadradas.
3. Pela propriedade do produto, \(\det(BC)=\det(B)\det(C)=4\cdot(-2)=-8\). Não é necessário calcular a matriz \(BC\).
4. Linhas proporcionais tornam o determinante igual a zero. A matriz é singular e não possui inversa. Isso indica que as informações não são independentes e não podem ser recuperadas de forma única por essa transformação.
5. Como \(T\) é triangular, \(\det(T)=2\cdot(-3)\cdot2=-12\). Como \(-12\neq0\), a matriz \(T\) é invertível.
6. \(\det(A)=5\cdot4-2\cdot3=20-6=14\).
7. Primeiro, \(\det(B)=2\cdot1-1\cdot1=1\). Assim, \(B^{-1}=\begin{bmatrix}1&-1\\-1&2\end{bmatrix}\).
8. Pela regra de Sarrus, os produtos positivos somam \(1+0+16=17\), e os produtos negativos somam \(0+12+0=12\). Logo, \(\det(C)=17-12=5\).
9. A troca de duas linhas muda o sinal do determinante. Portanto, o novo determinante será \(-6\).
10. \(\det(E^{-1})=\dfrac{1}{\det(E)}=-\dfrac14\).
7. Revisão e aprofundamento
Situações de aplicação
Questão 1. Uma pequena empresa utiliza a matriz \(A=\begin{bmatrix}2&3\\1&2\end{bmatrix}\) para combinar os registros de dois setores. A direção deseja saber se, a partir dos registros combinados, será possível recuperar os valores originais. Calcule o determinante e justifique sua conclusão.
Questão 2. Um programa de edição aplica sucessivamente duas transformações a uma figura. A primeira possui determinante 3 e a segunda possui determinante \(-5\). Determine o determinante da transformação composta e explique se ela pode ser desfeita.
Questão 3. Uma equipe de topografia representa dois deslocamentos no plano pelos vetores \(u=(5,2)\) e \(v=(1,4)\). Determine a área do paralelogramo formado por esses vetores.
Questão 4. Uma matriz de ordem 3 representa uma transformação de escala. Ao duplicar todos os seus elementos, como ficará o determinante em relação ao determinante original? Justifique usando a ordem da matriz.
Questão 5. Em um processo de escalonamento, uma linha foi substituída pela soma dela com quatro vezes outra linha. Se o determinante antes da operação era 9, determine o determinante depois da operação.
Questão 6. Uma tabela quadrada apresenta uma linha completamente nula. Explique, sem realizar expansão, o valor do determinante e a consequência para a existência da inversa.
Questão 7. Um modelo econômico utiliza uma matriz \(M\) invertível com \(\det(M)=\frac12\). Determine o determinante da matriz que desfaz a transformação representada por \(M\).
Questão 8. Um sistema gera \(AX=B\), em que \(A=\begin{bmatrix}3&1\\1&1\end{bmatrix}\) e \(B=\begin{bmatrix}10\\4\end{bmatrix}\). Use a matriz inversa para determinar \(X\) e interpretar as duas quantidades recuperadas.
Questão 9. Uma matriz triangular representa etapas sucessivas de uma operação: \(T=\begin{bmatrix}-2&3&1\\0&4&5\\0&0&3\end{bmatrix}\). Determine seu determinante e verifique se a operação é reversível.
Questão 10. Duas matrizes quadradas \(P\) e \(Q\) representam etapas de um processo. Sabe-se que \(\det(PQ)=0\). O que se pode concluir sobre a invertibilidade de pelo menos uma dessas matrizes? Justifique.
Questões diretas
Questão 11. Calcule \(\det\begin{bmatrix}7&3\\2&5\end{bmatrix}\).
Questão 12. Determine a inversa de \(A=\begin{bmatrix}4&1\\3&1\end{bmatrix}\).
Questão 13. Verifique se \(B=\begin{bmatrix}6&2\\3&1\end{bmatrix}\) possui inversa.
Questão 14. Calcule o determinante de \(C=\begin{bmatrix}2&1&0\\3&-1&2\\1&4&1\end{bmatrix}\).
Questão 15. Determine o determinante da matriz diagonal \(D=\begin{bmatrix}5&0&0\\0&-2&0\\0&0&4\end{bmatrix}\).
Questão 16. Se \(\det(A)=-7\), qual será o determinante da matriz obtida ao multiplicar uma única linha de \(A\) por 5?
Questão 17. Se \(A\) é uma matriz de ordem 2 e \(\det(A)=3\), determine \(\det(4A)\).
Questão 18. Sabendo que \(\det(A)=2\) e \(\det(B)=-6\), determine \(\det(AB)\).
Questão 19. Se \(A\) é invertível e \(\det(A)=8\), determine \(\det(A^{-1})\).
Questão 20. Uma matriz \(E\) foi obtida de \(F\) por duas trocas sucessivas de linhas. Se \(\det(F)=-10\), determine \(\det(E)\).
Gabarito detalhado
1. \(\det(A)=2\cdot2-3\cdot1=1\). Como o determinante é diferente de zero, \(A\) possui inversa. Portanto, os registros originais podem ser recuperados de forma única.
2. \(\det(AB)=3\cdot(-5)=-15\). Como o resultado não é zero, a transformação composta é invertível e pode ser desfeita.
3. \(M=\begin{bmatrix}5&1\\2&4\end{bmatrix}\) e \(\det(M)=5\cdot4-1\cdot2=18\). Portanto, a área é \(18\) unidades quadradas.
4. Para uma matriz de ordem 3, \(\det(kA)=k^3\det(A)\). Assim, \(\det(2A)=2^3\det(A)=8\det(A)\). O novo determinante será oito vezes o original.
5. Adicionar a uma linha um múltiplo de outra não altera o determinante. Portanto, ele continua sendo 9.
6. Uma linha nula torna o determinante igual a zero. A matriz é singular e não possui inversa.
7. \(\det(M^{-1})=\dfrac{1}{\det(M)}=\dfrac{1}{1/2}=2\).
8. \(\det(A)=3\cdot1-1\cdot1=2\), logo \(A^{-1}=\dfrac12\begin{bmatrix}1&-1\\-1&3\end{bmatrix}\). Então \(X=A^{-1}B=\dfrac12\begin{bmatrix}6\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix}\). As quantidades recuperadas são 3 e 1.
9. Como \(T\) é triangular, \(\det(T)=(-2)\cdot4\cdot3=-24\). Como o resultado é diferente de zero, a operação é reversível.
10. Como \(\det(PQ)=\det(P)\det(Q)=0\), pelo menos um dos fatores deve ser zero. Assim, pelo menos uma das matrizes não é invertível; também é possível que ambas sejam singulares.
11. \(7\cdot5-3\cdot2=35-6=29\).
12. \(\det(A)=4\cdot1-1\cdot3=1\). Portanto, \(A^{-1}=\begin{bmatrix}1&-1\\-3&4\end{bmatrix}\).
13. \(\det(B)=6\cdot1-2\cdot3=0\). Portanto, \(B\) é singular e não possui inversa.
14. Pela regra de Sarrus, os produtos positivos somam \(-2+2+0=0\), e os produtos negativos somam \(0+16+3=19\). Logo, \(\det(C)=0-19=-19\).
15. Como \(D\) é diagonal, \(\det(D)=5\cdot(-2)\cdot4=-40\).
16. Multiplicar uma linha por 5 multiplica o determinante por 5. Assim, \(5\cdot(-7)=-35\).
17. Como \(A\) é de ordem 2, \(\det(4A)=4^2\det(A)=16\cdot3=48\).
18. \(\det(AB)=\det(A)\det(B)=2\cdot(-6)=-12\).
19. \(\det(A^{-1})=\dfrac{1}{\det(A)}=\dfrac18\).
20. Cada troca de linhas muda o sinal do determinante. Duas trocas produzem duas mudanças de sinal, portanto \(\det(E)=-10\).
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