Matrizes: representação de dados, tipos e operações
Hospitais organizam atendimentos por setor e período; empresas registram vendas por produto e filial; aplicativos armazenam imagens como conjuntos de valores; sistemas de transporte relacionam trajetos, horários e custos. Em todas essas situações, há informações dispostas em linhas e colunas.
As matrizes oferecem uma forma compacta de representar e processar esses dados. Nesta postagem, aprenderemos a identificar a ordem e os elementos de uma matriz, reconhecer seus principais tipos e realizar adição, subtração e multiplicação. Mais importante que memorizar procedimentos será compreender o que cada operação representa na situação analisada.
Habilidades e conhecimentos de base
EM13MAT405 — utilizar conceitos iniciais de uma linguagem de programação na implementação de algoritmos escritos em linguagem corrente e/ou matemática, incluindo a organização e o processamento de dados.
Base e complementação curricular — tipos de matrizes e operações de adição, subtração e multiplicação.
Esses conhecimentos serão utilizados no estudo de matriz inversa, determinantes e sistemas lineares.
1. O que é uma matriz?
Uma matriz é uma organização retangular de números, símbolos ou expressões distribuídos em linhas e colunas. Geralmente, as matrizes são indicadas por letras maiúsculas, como \(A\), \(B\) e \(C\).
Se uma matriz possui \(m\) linhas e \(n\) colunas, dizemos que sua ordem é \(m\times n\). O primeiro número sempre indica a quantidade de linhas; o segundo indica a quantidade de colunas.
\(A=(a_{ij})_{m\times n}\)
O símbolo \(a_{ij}\) representa o elemento localizado na linha \(i\) e na coluna \(j\). Assim, em \(a_{23}\), o primeiro índice indica a segunda linha e o segundo índice indica a terceira coluna.
Dados organizados
linhas e colunas
→
Matriz
representação compacta
→
Operações
comparação e processamento
Exemplo 1 — Atendimentos em uma unidade de saúde
Uma unidade registrou a quantidade de atendimentos realizados em três setores durante quatro dias.
| Setor |
Segunda |
Terça |
Quarta |
Quinta |
| Pediatria | 18 | 22 | 20 | 25 |
| Clínica geral | 15 | 17 | 19 | 16 |
| Ortopedia | 9 | 12 | 11 | 14 |
Desconsiderando os títulos, os dados podem ser representados pela matriz:
\(A=\begin{bmatrix}18&22&20&25\\15&17&19&16\\9&12&11&14\end{bmatrix}_{3\times4}\)
A matriz possui três linhas, correspondentes aos setores, e quatro colunas, correspondentes aos dias. O elemento \(a_{23}=19\) informa que a Clínica Geral realizou 19 atendimentos na quarta-feira.
Atenção: a matriz armazena os valores, mas os significados das linhas e colunas dependem do contexto. Trocar linhas por colunas altera a forma de interpretar os dados.
2. Lei de formação de uma matriz
Uma matriz também pode ser definida por uma regra que permite calcular cada elemento. Nessa situação, utilizamos os índices \(i\) e \(j\) para indicar a linha e a coluna.
Exemplo 2 — Construção por uma regra
Considere a matriz \(A=(a_{ij})_{2\times3}\), definida por \(a_{ij}=2i+j\). Calculamos cada elemento substituindo os valores de \(i\) e \(j\):
\(a_{11}=2\cdot1+1=3\), \(a_{12}=2\cdot1+2=4\), \(a_{13}=2\cdot1+3=5\)
\(a_{21}=2\cdot2+1=5\), \(a_{22}=2\cdot2+2=6\), \(a_{23}=2\cdot2+3=7\)
\(A=\begin{bmatrix}3&4&5\\5&6&7\end{bmatrix}\)
3. Principais tipos de matrizes
As matrizes recebem nomes específicos de acordo com sua ordem ou com a posição de seus elementos. Essas classificações ajudam a reconhecer propriedades e escolher procedimentos.
Matriz linha
Possui apenas uma linha.
\(\begin{bmatrix}2&5&8\end{bmatrix}\)
Matriz coluna
Possui apenas uma coluna.
\(\begin{bmatrix}3\\1\\6\end{bmatrix}\)
Matriz retangular
O número de linhas é diferente do número de colunas.
\(\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}\)
Matriz quadrada
Possui o mesmo número de linhas e colunas.
\(\begin{bmatrix}2&1\\5&4\end{bmatrix}\)
Matriz nula
Todos os seus elementos são iguais a zero.
\(\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}\)
Matriz diagonal
Os elementos fora da diagonal principal são nulos.
\(\begin{bmatrix}4&0\\0&7\end{bmatrix}\)
Matriz identidade
É diagonal e possui 1 na diagonal principal.
\(I_2=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\)
Matriz triangular
Os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são nulos.
\(\begin{bmatrix}2&3\\0&5\end{bmatrix}\)
Matriz simétrica
Os elementos espelhados em relação à diagonal são iguais.
\(\begin{bmatrix}2&4\\4&7\end{bmatrix}\)
Diagonal principal e diagonal secundária
Em uma matriz quadrada, a diagonal principal é formada pelos elementos \(a_{ij}\) em que \(i=j\). Na matriz de ordem 3, ela contém \(a_{11}\), \(a_{22}\) e \(a_{33}\). A diagonal secundária percorre a matriz no sentido oposto.
\(A=\begin{bmatrix}\color{orange}{2}&5&\color{green}{1}\\4&\color{orange}{7}&6\\\color{green}{3}&8&\color{orange}{9}\end{bmatrix}\)
Na representação, os valores destacados em laranja formam a diagonal principal, e os destacados em verde formam a diagonal secundária.
Igualdade entre matrizes
Duas matrizes são iguais quando possuem a mesma ordem e quando os elementos que ocupam posições correspondentes são iguais.
Exemplo 3 — Determinação de valores desconhecidos
\(\begin{bmatrix}x+1&4\\3&2y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6&4\\3&10\end{bmatrix}\)
Comparando as posições correspondentes, temos \(x+1=6\), então \(x=5\); e \(2y=10\), então \(y=5\).
Pratique 1
Questão 1. Determine a ordem da matriz \(A=\begin{bmatrix}3&1&7\\2&4&6\end{bmatrix}\) e identifique os elementos \(a_{12}\) e \(a_{23}\).
Questão 2. Construa a matriz \(B=(b_{ij})_{3\times2}\), definida por \(b_{ij}=i+2j\).
Questão 3. Classifique a matriz \(C=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\).
Questão 4. Determine \(x\) e \(y\) sabendo que \(\begin{bmatrix}2x&5\\-1&y+3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}8&5\\-1&9\end{bmatrix}\).
Questão 5. Uma tabela possui dados de quatro produtos vendidos em cinco dias. Qual será a ordem da matriz se cada linha representar um produto e cada coluna representar um dia?
Ver respostas detalhadas
1. A matriz possui 2 linhas e 3 colunas, portanto sua ordem é \(2\times3\). O elemento \(a_{12}\) está na primeira linha e segunda coluna, logo \(a_{12}=1\). O elemento \(a_{23}\) está na segunda linha e terceira coluna, logo \(a_{23}=6\).
2. Calculando a regra para \(i=1,2,3\) e \(j=1,2\), obtemos \(B=\begin{bmatrix}3&5\\4&6\\5&7\end{bmatrix}\).
3. A matriz é quadrada de ordem 3, diagonal e identidade, pois possui 1 na diagonal principal e zero nas demais posições.
4. Pela igualdade das posições correspondentes, \(2x=8\Rightarrow x=4\) e \(y+3=9\Rightarrow y=6\).
5. São quatro linhas e cinco colunas. Logo, a matriz terá ordem \(4\times5\).
4. Adição de matrizes
A adição de duas matrizes é possível somente quando elas possuem a mesma ordem. O resultado é obtido somando os elementos que ocupam posições correspondentes.
Se \(A=(a_{ij})\) e \(B=(b_{ij})\), então \(A+B=(a_{ij}+b_{ij})\).
Exemplo 4 — Estoque de duas unidades
As matrizes \(A\) e \(B\) registram as quantidades de três produtos disponíveis em duas unidades de uma rede. As linhas representam as unidades e as colunas representam os produtos.
\(A=\begin{bmatrix}12&8&15\\10&14&9\end{bmatrix}\), \(B=\begin{bmatrix}5&7&4\\8&3&6\end{bmatrix}\)
\(A+B=\begin{bmatrix}17&15&19\\18&17&15\end{bmatrix}\)
A matriz resultante apresenta o total de cada produto após reunir os dois registros.
5. Subtração de matrizes
A subtração também exige matrizes de mesma ordem. Em cada posição, subtraímos o elemento da segunda matriz do elemento correspondente da primeira.
\(A-B=(a_{ij}-b_{ij})\)
Exemplo 5 — Variação mensal de atendimentos
As matrizes registram os atendimentos de dois setores em três turnos. A matriz \(M\) corresponde ao mês atual e \(P\), ao mês anterior.
\(M=\begin{bmatrix}48&52&41\\35&39&44\end{bmatrix}\), \(P=\begin{bmatrix}45&50&43\\32&41&40\end{bmatrix}\)
\(M-P=\begin{bmatrix}3&2&-2\\3&-2&4\end{bmatrix}\)
Valores positivos indicam aumento; valores negativos indicam redução. Portanto, houve redução de 2 atendimentos no terceiro turno do primeiro setor e no segundo turno do segundo setor.
Importante: não é possível somar ou subtrair, elemento a elemento, matrizes de ordens diferentes, pois não existem posições correspondentes para todos os valores.
6. Multiplicação de uma matriz por um número
Ao multiplicar uma matriz por um número real \(k\), multiplicamos todos os elementos da matriz por esse número. Essa operação é chamada de multiplicação por escalar.
\(kA=(ka_{ij})\)
Exemplo 6 — Projeção de produção
Uma fábrica registrou a produção semanal de dois setores na matriz \(A=\begin{bmatrix}120&150\\90&110\end{bmatrix}\). Um planejamento considera triplicar todas as quantidades.
\(3A=\begin{bmatrix}360&450\\270&330\end{bmatrix}\)
7. Multiplicação entre matrizes
A multiplicação entre matrizes não é realizada posição por posição. Cada elemento do produto é obtido combinando uma linha da primeira matriz com uma coluna da segunda.
O produto \(AB\) existe quando o número de colunas de \(A\) é igual ao número de linhas de \(B\).
\(A_{m\times n}\cdot B_{n\times p}=C_{m\times p}\)
As dimensões internas \(n\) precisam ser iguais. A ordem do resultado é determinada pelas dimensões externas: \(m\times p\).
Exemplo 7 — Compatibilidade das ordens
Se \(A\) possui ordem \(2\times3\) e \(B\) possui ordem \(3\times4\), o produto \(AB\) existe e terá ordem \(2\times4\). Já o produto \(BA\) não existe nesse caso, pois as 4 colunas de \(B\) não correspondem às 2 linhas de \(A\).
O procedimento linha por coluna
Para encontrar o elemento \(c_{ij}\), multiplicamos os elementos da linha \(i\) de \(A\) pelos elementos correspondentes da coluna \(j\) de \(B\) e somamos os produtos.
\(c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{in}b_{nj}\)
Exemplo 8 — Custos de duas unidades
A matriz \(Q\) registra as quantidades de três materiais utilizadas por duas unidades. A matriz \(P\) apresenta os preços desses materiais em dois fornecedores.
\(Q=\begin{bmatrix}10&8&6\\7&12&5\end{bmatrix}\), \(P=\begin{bmatrix}4&5\\3&4\\5&6\end{bmatrix}\)
O produto \(QP\) terá ordem \(2\times2\). Calculando linha por coluna:
\(c_{11}=10\cdot4+8\cdot3+6\cdot5=94\)
\(c_{12}=10\cdot5+8\cdot4+6\cdot6=118\)
\(c_{21}=7\cdot4+12\cdot3+5\cdot5=89\)
\(c_{22}=7\cdot5+12\cdot4+5\cdot6=113\)
\(QP=\begin{bmatrix}94&118\\89&113\end{bmatrix}\)
O elemento \(c_{12}=118\), por exemplo, representa o custo total dos materiais utilizados pela primeira unidade caso a compra seja realizada no segundo fornecedor.
A ordem dos fatores pode alterar o resultado
Na multiplicação de números reais, trocar a ordem dos fatores não altera o produto. Com matrizes, isso geralmente não acontece. Mesmo quando \(AB\) e \(BA\) existem, os resultados podem ser diferentes.
Exemplo 9 — A multiplicação não é comutativa
\(A=\begin{bmatrix}1&2\\0&1\end{bmatrix}\), \(B=\begin{bmatrix}2&0\\3&1\end{bmatrix}\)
\(AB=\begin{bmatrix}8&2\\3&1\end{bmatrix}\), enquanto \(BA=\begin{bmatrix}2&4\\3&7\end{bmatrix}\)
Portanto, \(AB\neq BA\).
O papel da matriz identidade
A matriz identidade exerce, na multiplicação matricial, papel semelhante ao número 1 na multiplicação de números reais. Para uma matriz quadrada \(A\) de ordem \(n\):
\(AI_n=I_nA=A\)
Pratique 2
Questão 1. Calcule \(A+B\), sendo \(A=\begin{bmatrix}4&2\\-1&5\end{bmatrix}\) e \(B=\begin{bmatrix}3&-2\\6&1\end{bmatrix}\).
Questão 2. Calcule \(C-D\), sendo \(C=\begin{bmatrix}10&8&5\\7&9&6\end{bmatrix}\) e \(D=\begin{bmatrix}4&3&2\\5&1&6\end{bmatrix}\).
Questão 3. Determine \(2A-3B\), usando as matrizes da Questão 1.
Questão 4. Determine a ordem do produto \(MN\), sabendo que \(M\) possui ordem \(4\times2\) e \(N\), ordem \(2\times5\).
Questão 5. Calcule \(EF\), sendo \(E=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\) e \(F=\begin{bmatrix}2&0\\1&5\end{bmatrix}\).
Ver respostas detalhadas
1. Somando posições correspondentes: \(A+B=\begin{bmatrix}7&0\\5&6\end{bmatrix}\).
2. Subtraindo os elementos correspondentes: \(C-D=\begin{bmatrix}6&5&3\\2&8&0\end{bmatrix}\).
3. \(2A=\begin{bmatrix}8&4\\-2&10\end{bmatrix}\) e \(3B=\begin{bmatrix}9&-6\\18&3\end{bmatrix}\). Logo, \(2A-3B=\begin{bmatrix}-1&10\\-20&7\end{bmatrix}\).
4. As dimensões internas são iguais a 2, então o produto existe. As dimensões externas determinam a ordem \(4\times5\).
5. \(EF=\begin{bmatrix}1\cdot2+2\cdot1&1\cdot0+2\cdot5\\3\cdot2+4\cdot1&3\cdot0+4\cdot5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4&10\\10&20\end{bmatrix}\).
8. Síntese para escolha do procedimento
| Situação |
Condição |
Procedimento |
| Identificar um elemento | Conhecer linha e coluna | Localizar a posição \(a_{ij}\). |
| Somar ou subtrair matrizes | Mesma ordem | Operar elementos correspondentes. |
| Multiplicar por um escalar | Nenhuma restrição de ordem | Multiplicar todos os elementos. |
| Calcular \(AB\) | Colunas de \(A\) = linhas de \(B\) | Multiplicar linha por coluna. |
| Interpretar o produto | Conhecer os significados das linhas e colunas | Relacionar cada entrada do resultado ao contexto. |
9. Revisão e aprofundamento
Questão 1. Determine a ordem da matriz \(A=\begin{bmatrix}2&0\\5&1\\7&4\end{bmatrix}\) e identifique \(a_{31}\).
Questão 2. Construa a matriz \(B=(b_{ij})_{2\times2}\), definida por \(b_{ij}=3i-j\).
Questão 3. Classifique \(C=\begin{bmatrix}5&0&0\\0&2&0\\0&0&-1\end{bmatrix}\) quanto à ordem e ao tipo.
Questão 4. Determine \(x\), \(y\) e \(z\) na igualdade \(\begin{bmatrix}x&y+1\\2z&4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3&6\\8&4\end{bmatrix}\).
Questão 5. Calcule \(A+B\), com \(A=\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}\) e \(B=\begin{bmatrix}5&-1\\0&6\end{bmatrix}\).
Questão 6. Usando as matrizes da questão anterior, determine \(A-B\).
Questão 7. Calcule \(-2A\), sendo \(A=\begin{bmatrix}3&-4\\1&5\end{bmatrix}\).
Questão 8. Explique por que não é possível somar uma matriz de ordem \(2\times3\) com uma matriz de ordem \(3\times2\).
Questão 9. Para \(M_{3\times4}\) e \(N_{4\times2}\), verifique se \(MN\) existe e determine a ordem do resultado.
Questão 10. Para as mesmas ordens da questão anterior, verifique se \(NM\) existe.
Questão 11. Calcule \(AB\), sendo \(A=\begin{bmatrix}2&1\\3&0\end{bmatrix}\) e \(B=\begin{bmatrix}4&2\\-1&5\end{bmatrix}\).
Questão 12. Calcule \(BA\) usando as matrizes da questão anterior e compare os resultados.
Questão 13. Uma loja vende dois produtos. As quantidades vendidas em duas filiais são \(Q=\begin{bmatrix}12&8\\10&15\end{bmatrix}\), e os preços são representados por \(P=\begin{bmatrix}5\\3\end{bmatrix}\). Calcule \(QP\) e interprete o resultado.
Questão 14. Verifique o resultado de \(AI_2\), em que \(A=\begin{bmatrix}7&2\\-3&4\end{bmatrix}\) e \(I_2\) é a identidade de ordem 2.
Questão 15. Uma escola registrou as quantidades de refeições servidas em dois turnos durante três dias na matriz \(R=\begin{bmatrix}120&135&128\\98&105&110\end{bmatrix}\). Na semana seguinte, os valores foram \(S=\begin{bmatrix}125&130&140\\102&100&116\end{bmatrix}\). Determine \(S-R\) e explique o significado dos valores positivos e negativos.
Gabarito detalhado
1. A matriz possui 3 linhas e 2 colunas, portanto sua ordem é \(3\times2\). O elemento \(a_{31}\), localizado na terceira linha e primeira coluna, é 7.
2. \(b_{11}=3\cdot1-1=2\), \(b_{12}=3\cdot1-2=1\), \(b_{21}=3\cdot2-1=5\) e \(b_{22}=3\cdot2-2=4\). Logo, \(B=\begin{bmatrix}2&1\\5&4\end{bmatrix}\).
3. A matriz é quadrada de ordem 3 e diagonal, pois todos os elementos situados fora da diagonal principal são nulos. Ela não é identidade, pois os elementos da diagonal não são todos iguais a 1.
4. Comparando posições correspondentes: \(x=3\), \(y+1=6\Rightarrow y=5\) e \(2z=8\Rightarrow z=4\).
5. \(A+B=\begin{bmatrix}1+5&3+(-1)\\2+0&4+6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6&2\\2&10\end{bmatrix}\).
6. \(A-B=\begin{bmatrix}1-5&3-(-1)\\2-0&4-6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-4&4\\2&-2\end{bmatrix}\).
7. Multiplicamos cada elemento por \(-2\): \(-2A=\begin{bmatrix}-6&8\\-2&-10\end{bmatrix}\).
8. A adição exige matrizes de mesma ordem. Uma matriz \(2\times3\) possui duas linhas e três colunas, enquanto uma \(3\times2\) possui três linhas e duas colunas. Portanto, não há correspondência entre todas as posições.
9. O produto existe porque as 4 colunas de \(M\) correspondem às 4 linhas de \(N\). As dimensões externas mostram que \(MN\) terá ordem \(3\times2\).
10. \(N\) possui ordem \(4\times2\) e \(M\), ordem \(3\times4\). Para \(NM\), seria necessário que as 2 colunas de \(N\) fossem iguais às 3 linhas de \(M\). Como \(2\neq3\), o produto não existe.
11. \(AB=\begin{bmatrix}2\cdot4+1\cdot(-1)&2\cdot2+1\cdot5\\3\cdot4+0\cdot(-1)&3\cdot2+0\cdot5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7&9\\12&6\end{bmatrix}\).
12. \(BA=\begin{bmatrix}4\cdot2+2\cdot3&4\cdot1+2\cdot0\\-1\cdot2+5\cdot3&-1\cdot1+5\cdot0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}14&4\\13&-1\end{bmatrix}\). Como \(AB\neq BA\), a multiplicação não é comutativa.
13. \(QP=\begin{bmatrix}12\cdot5+8\cdot3\\10\cdot5+15\cdot3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}84\\95\end{bmatrix}\). A primeira filial arrecadou 84 unidades monetárias e a segunda, 95, considerando os preços e as quantidades fornecidas.
14. \(AI_2=\begin{bmatrix}7&2\\-3&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7&2\\-3&4\end{bmatrix}=A\). A identidade preserva a matriz na multiplicação.
15. \(S-R=\begin{bmatrix}5&-5&12\\4&-5&6\end{bmatrix}\). Valores positivos indicam que a quantidade de refeições aumentou na semana seguinte; valores negativos indicam redução. Assim, houve redução de 5 refeições no segundo dia de ambos os turnos.
www.matematicafc.com - material autoral para estudo e prática.