Teorema Fundamental da Álgebra, relações entre coeficientes e raízes e raízes múltiplas

As raízes de uma equação polinomial não são valores isolados sem relação com a expressão original. Elas determinam a fatoração do polinômio, relacionam-se diretamente com seus coeficientes e ajudam a compreender quantas soluções uma equação pode apresentar, inclusive quando algumas delas não são números reais.

Nesta postagem, estudaremos o Teorema Fundamental da Álgebra, as relações entre coeficientes e raízes e o significado das raízes múltiplas. Esses conhecimentos permitem analisar equações polinomiais de maneira mais ampla, reconstruir polinômios a partir de suas raízes e interpretar repetições de fatores.

Habilidades da BNCC

EM13MAT302 — construir modelos empregando funções polinomiais de 1º ou 2º graus para resolver problemas em contextos diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.

EM13MAT401 — converter representações algébricas de funções polinomiais de 1º grau em representações geométricas no plano cartesiano, distinguindo situações de proporcionalidade.

EM13MAT402 — converter representações algébricas de funções polinomiais de 2º grau em representações geométricas no plano cartesiano, analisando as relações entre as grandezas envolvidas.

Articulação curricular: o Teorema Fundamental da Álgebra, as relações entre coeficientes e raízes e o estudo de raízes múltiplas integram a complementação curricular e ampliam os conhecimentos sobre equações e funções polinomiais.

1. Teorema Fundamental da Álgebra

O Teorema Fundamental da Álgebra afirma que todo polinômio não constante, com coeficientes complexos, possui pelo menos uma raiz complexa. Como consequência, um polinômio de grau \(n\) possui exatamente \(n\) raízes complexas quando cada raiz é contada de acordo com sua multiplicidade.

\(\text{Polinômio de grau }n\quad\Longrightarrow\quad n\text{ raízes complexas, contando as multiplicidades}\)

Os números reais fazem parte do conjunto dos números complexos. Portanto, uma raiz real também é uma raiz complexa. Contudo, nem todas as raízes complexas são reais.

Importante: dizer que um polinômio de grau \(n\) possui \(n\) raízes não significa que todas sejam diferentes ou reais. Algumas raízes podem repetir-se, e outras podem envolver a unidade imaginária \(i\), definida por \(i^2=-1\).

1.1 Número de raízes e grau do polinômio

Grau do polinômio Total de raízes complexas Exemplo possível
1 1 raiz \(x-3=0\Rightarrow x=3\)
2 2 raízes \(x^2-1=0\Rightarrow x=\pm1\)
3 3 raízes \(x^3-x=0\Rightarrow x=-1,0,1\)
4 4 raízes \(x^4-1=0\Rightarrow x=1,-1,i,-i\)
Exemplo resolvido 1 — Raízes não reais

Determine as raízes de \(P(x)=x^2+4\).

Igualamos o polinômio a zero:

\(x^2+4=0\Rightarrow x^2=-4\)

No conjunto dos números reais, essa equação não possui solução. No conjunto dos números complexos:

\(x=\pm\sqrt{-4}=\pm2i\)

As duas raízes são \(2i\) e \(-2i\), confirmando que o polinômio de grau 2 possui duas raízes complexas.

1.2 Forma fatorada de um polinômio

Se um polinômio \(P(x)\) de grau \(n\), com coeficiente principal \(a_n\), possui raízes \(r_1,r_2,\ldots,r_n\), então ele pode ser escrito na forma:

\(P(x)=a_n(x-r_1)(x-r_2)\cdots(x-r_n)\)
Exemplo resolvido 2 — Fatoração completa

Fatore completamente \(P(x)=x^3-4x\).

Colocamos \(x\) em evidência:

\(P(x)=x(x^2-4)\)

Aplicamos a diferença de dois quadrados:

\(P(x)=x(x-2)(x+2)\)

As raízes são \(0\), \(2\) e \(-2\). Há três raízes, como prevê o grau 3 do polinômio.

1.3 Raízes complexas conjugadas

Quando um polinômio possui coeficientes reais e apresenta uma raiz complexa não real \(a+bi\), seu conjugado \(a-bi\) também é raiz. Assim, as raízes complexas não reais aparecem aos pares.

Exemplo resolvido 3 — Uma raiz real e duas complexas

Resolva \(x^3-2x^2+5x-10=0\).

Fatorando por agrupamento:

\(x^2(x-2)+5(x-2)=0\)
\((x-2)(x^2+5)=0\)

Do primeiro fator, \(x=2\). Do segundo:

\(x^2+5=0\Rightarrow x^2=-5\Rightarrow x=\pm i\sqrt5\)

As três raízes são \(2\), \(i\sqrt5\) e \(-i\sqrt5\).

Pratique 1 — Teorema Fundamental da Álgebra

1. Quantas raízes complexas possui um polinômio de grau 5, considerando suas multiplicidades?
2. Resolva, no conjunto dos números complexos, a equação \(x^2+9=0\).
3. Fatore \(P(x)=x^3-9x\) e determine todas as suas raízes.
4. Resolva \(x^4-16=0\) no conjunto dos números complexos.
5. Um polinômio cúbico é dado por \(P(x)=x^3-2x^2+5x-10\). Determine todas as raízes e explique por que o resultado está de acordo com o Teorema Fundamental da Álgebra.
Ver respostas do Pratique 1
1. Um polinômio de grau 5 possui exatamente cinco raízes complexas, contando cada raiz conforme sua multiplicidade.
2. \(x^2=-9\Rightarrow x=\pm\sqrt{-9}=\pm3i\). As raízes são \(3i\) e \(-3i\).
3. \(x^3-9x=x(x^2-9)=x(x-3)(x+3)\). As raízes são \(0\), \(3\) e \(-3\).
4. \(x^4-16=(x^2-4)(x^2+4)=(x-2)(x+2)(x-2i)(x+2i)\). As raízes são \(2\), \(-2\), \(2i\) e \(-2i\).
5. \(P(x)=x^2(x-2)+5(x-2)=(x-2)(x^2+5)\). As raízes são \(2\), \(i\sqrt5\) e \(-i\sqrt5\). O polinômio possui três raízes complexas, exatamente o número indicado por seu grau.

2. Relações entre coeficientes e raízes

As relações entre coeficientes e raízes, também conhecidas como relações de Viète, permitem obter informações sobre as raízes sem necessariamente resolver toda a equação. Elas resultam da comparação entre a forma desenvolvida e a forma fatorada do polinômio.

2.1 Relações em uma equação do 2º grau

Considere a equação:

\(ax^2+bx+c=0,\quad a\neq0\)

Se suas raízes são \(r_1\) e \(r_2\), então:

\(r_1+r_2=-\dfrac{b}{a}\qquad\text{e}\qquad r_1r_2=\dfrac{c}{a}\)
Exemplo resolvido 4 — Soma e produto das raízes

Determine a soma e o produto das raízes da equação \(2x^2-7x+3=0\).

Temos \(a=2\), \(b=-7\) e \(c=3\). Assim:

\(r_1+r_2=-\dfrac{-7}{2}=\dfrac72\)
\(r_1r_2=\dfrac32\)

Não foi necessário calcular individualmente as raízes para conhecer sua soma e seu produto.

2.2 Construção de uma equação a partir das raízes

Se conhecemos duas raízes \(r_1\) e \(r_2\), uma equação mônica do 2º grau que possui essas raízes pode ser construída por:

\((x-r_1)(x-r_2)=0\)
Exemplo resolvido 5 — Reconstrução do polinômio

Construa uma equação do 2º grau cujas raízes sejam 4 e \(-3\).

\((x-4)(x-(-3))=0\)
\((x-4)(x+3)=0\)
\(x^2-x-12=0\)

Portanto, uma equação procurada é \(x^2-x-12=0\).

2.3 Relações em uma equação do 3º grau

Considere \(ax^3+bx^2+cx+d=0\), com raízes \(r_1\), \(r_2\) e \(r_3\). As relações são:

\(r_1+r_2+r_3=-\dfrac{b}{a}\)
\(r_1r_2+r_1r_3+r_2r_3=\dfrac{c}{a}\)
\(r_1r_2r_3=-\dfrac{d}{a}\)
Relações para um polinômio cúbico
Soma \(r_1+r_2+r_3=-b/a\)
•
Soma dos produtos \(r_1r_2+r_1r_3+r_2r_3=c/a\)
•
Produto \(r_1r_2r_3=-d/a\)
Exemplo resolvido 6 — Relações em um polinômio cúbico

Considere \(x^3-6x^2+11x-6=0\). Sem resolver inicialmente a equação, determine as relações entre suas raízes.

Nesse caso, \(a=1\), \(b=-6\), \(c=11\) e \(d=-6\). Portanto:

\(r_1+r_2+r_3=6\)
\(r_1r_2+r_1r_3+r_2r_3=11\)
\(r_1r_2r_3=6\)

De fato, as raízes são 1, 2 e 3: sua soma é 6, a soma dos produtos dois a dois é 11 e o produto é 6.

Pratique 2 — Relações entre coeficientes e raízes

1. Determine a soma e o produto das raízes de \(x^2-7x+10=0\).
2. Sem calcular inicialmente as raízes, determine sua soma e seu produto em \(2x^2-5x-3=0\). Depois, resolva a equação para verificar.
3. Construa uma equação mônica do 2º grau cujas raízes sejam 4 e \(-3\).
4. Uma das raízes de \(x^2-9x+14=0\) é 2. Utilize a soma das raízes para determinar a outra.
5. Para a equação \(x^3-6x^2+11x-6=0\), determine a soma das raízes, a soma dos produtos dois a dois e o produto das três raízes.
Ver respostas do Pratique 2
1. \(r_1+r_2=-(-7)/1=7\) e \(r_1r_2=10/1=10\).
2. A soma é \(-(-5)/2=5/2\) e o produto é \(-3/2\). Fatorando, \(2x^2-5x-3=(2x+1)(x-3)\). As raízes são \(-1/2\) e 3, cuja soma é \(5/2\) e cujo produto é \(-3/2\).
3. \((x-4)(x+3)=0\Rightarrow x^2-x-12=0\).
4. A soma das raízes é 9. Se uma raiz é 2, então a outra é \(9-2=7\).
5. \(r_1+r_2+r_3=6\), \(r_1r_2+r_1r_3+r_2r_3=11\) e \(r_1r_2r_3=6\).

3. Raízes múltiplas

Uma raiz é chamada múltipla quando o fator correspondente aparece repetido na fatoração do polinômio. Se \(x=a\) é raiz e o fator \((x-a)\) aparece \(m\) vezes, dizemos que \(a\) possui multiplicidade \(m\).

\(P(x)=(x-a)^mQ(x),\quad Q(a)\neq0\)

Nessa expressão, \(a\) é uma raiz de multiplicidade \(m\).

Exemplo resolvido 7 — Identificação das multiplicidades

Considere \(P(x)=(x-2)^2(x+1)^3\).

  • O número 2 é raiz de multiplicidade 2, pois o fator \(x-2\) aparece elevado ao quadrado.
  • O número \(-1\) é raiz de multiplicidade 3, pois \(x+1=x-(-1)\) aparece elevado ao cubo.

A soma das multiplicidades é \(2+3=5\), que coincide com o grau do polinômio.

3.1 Multiplicidade e comportamento do gráfico

Em uma função polinomial, a multiplicidade de uma raiz influencia o comportamento do gráfico próximo ao ponto em que ele encontra o eixo \(x\).

Multiplicidade Comportamento próximo à raiz
Ímpar O gráfico atravessa o eixo \(x\).
Par O gráfico toca o eixo \(x\) e retorna, sem atravessá-lo naquele ponto.
Atenção: o comportamento gráfico ajuda a reconhecer a paridade da multiplicidade, mas a multiplicidade exata deve ser confirmada pela forma fatorada ou por outros procedimentos algébricos.

3.2 Fatoração e reconhecimento de raízes repetidas

Exemplo resolvido 8 — Raiz tripla

Fatore \(P(x)=x^3-3x^2+3x-1\) e determine suas raízes.

Reconhecemos o desenvolvimento do cubo da diferença:

\(x^3-3x^2+3x-1=(x-1)^3\)

Assim, \(x=1\) é a única raiz distinta, mas possui multiplicidade 3. Contando a multiplicidade, o polinômio de grau 3 possui três raízes: \(1\), \(1\) e \(1\).

Exemplo resolvido 9 — Duas raízes duplas

Fatore \(P(x)=x^4-2x^2+1\).

A expressão é um trinômio quadrado perfeito:

\(x^4-2x^2+1=(x^2-1)^2\)

Fatorando a diferença de dois quadrados:

\(P(x)=(x-1)^2(x+1)^2\)

As raízes são 1 e \(-1\), ambas com multiplicidade 2.

3.3 Construção de um polinômio com raízes e multiplicidades dadas

Exemplo resolvido 10 — Construção pela forma fatorada

Construa um polinômio mônico de menor grau que tenha 2 como raiz dupla e \(-3\) como raiz simples.

A raiz 2 produz o fator \((x-2)^2\), e a raiz \(-3\) produz o fator \(x+3\). Logo:

\(P(x)=(x-2)^2(x+3)\)

Desenvolvendo:

\(P(x)=(x^2-4x+4)(x+3)=x^3-x^2-8x+12\)

Pratique 3 — Raízes múltiplas e fatoração

1. Em \(P(x)=(x-3)^2(x+1)^3\), identifique as raízes e suas multiplicidades.
2. Fatore \(x^3-3x^2+3x-1\) e determine a multiplicidade de sua raiz.
3. Fatore \(x^4-2x^2+1\) e identifique todas as raízes com suas multiplicidades.
4. Um gráfico de função polinomial toca o eixo \(x\) em \(x=2\) e retorna sem atravessá-lo. O que se pode concluir sobre a multiplicidade dessa raiz?
5. Um modelo de produção é representado por \(P(t)=(t-2)^2(t-5)\). Determine os valores de \(t\) que anulam o modelo e identifique a raiz repetida.
Ver respostas do Pratique 3
1. A raiz 3 possui multiplicidade 2, e a raiz \(-1\) possui multiplicidade 3. A soma das multiplicidades é 5.
2. \(x^3-3x^2+3x-1=(x-1)^3\). A única raiz distinta é 1, com multiplicidade 3.
3. \(x^4-2x^2+1=(x^2-1)^2=(x-1)^2(x+1)^2\). As raízes 1 e \(-1\) possuem multiplicidade 2.
4. Pode-se concluir que a raiz possui multiplicidade par. Apenas o comportamento descrito não permite determinar se a multiplicidade é 2, 4 ou outro número par.
5. \(P(t)=0\) quando \(t=2\) ou \(t=5\). A raiz 2 possui multiplicidade 2, e a raiz 5 possui multiplicidade 1.

4. Síntese da aprendizagem

Contar O grau indica o total de raízes complexas.
Relacionar Coeficientes determinam somas e produtos.
Fatorar Cada raiz produz um fator \(x-r\).
Interpretar Expoentes dos fatores indicam multiplicidades.

5. Revisão e aprofundamento

Questão 1. Quantas raízes complexas possui um polinômio de grau 7 quando são consideradas as multiplicidades?
Questão 2. Resolva \(x^2+16=0\) no conjunto dos números complexos.
Questão 3. Fatore \(x^3-4x\) e determine suas raízes.
Questão 4. Resolva \(x^4-81=0\) no conjunto dos números complexos.
Questão 5. Sabendo que \(2+i\) é raiz de um polinômio com coeficientes reais, indique outra raiz que necessariamente deve aparecer.
Questão 6. Determine a soma e o produto das raízes de \(3x^2-8x+2=0\).
Questão 7. Uma das raízes de \(x^2-11x+24=0\) é 3. Utilize as relações entre coeficientes e raízes para determinar a outra.
Questão 8. Construa uma equação mônica do 2º grau cujas raízes sejam \(-2\) e 5.
Questão 9. Para \(2x^3-5x^2-4x+3=0\), determine a soma das raízes, a soma dos produtos dois a dois e o produto das raízes.
Questão 10. Um polinômio mônico cúbico possui raízes 1, 2 e 4. Escreva-o nas formas fatorada e desenvolvida.
Questão 11. Em \(P(x)=(x+4)^3(x-1)^2\), determine as raízes, suas multiplicidades e o grau de \(P(x)\).
Questão 12. Fatore \(x^4-6x^2+9\) e determine as raízes e suas multiplicidades.
Questão 13. Construa um polinômio mônico de menor grau que tenha \(-1\) como raiz dupla e 3 como raiz simples.
Questão 14. O gráfico de uma função polinomial atravessa o eixo \(x\) em \(x=-2\) e toca o eixo, retornando, em \(x=1\). O que se pode afirmar sobre a paridade das multiplicidades dessas raízes?
Questão 15. Verifique se \(P(x)=x^4-2x^3-3x^2+4x+4\) pode ser escrito como \((x-2)^2(x+1)^2\). Em seguida, identifique suas raízes e multiplicidades.
Gabarito comentado — Revisão e aprofundamento
1. Pelo Teorema Fundamental da Álgebra, um polinômio de grau 7 possui sete raízes complexas, considerando cada raiz de acordo com sua multiplicidade.
2. \(x^2=-16\Rightarrow x=\pm\sqrt{-16}=\pm4i\). As raízes são \(4i\) e \(-4i\).
3. \(x^3-4x=x(x^2-4)=x(x-2)(x+2)\). As raízes são \(0\), \(2\) e \(-2\).
4. \(x^4-81=(x^2-9)(x^2+9)=(x-3)(x+3)(x-3i)(x+3i)\). As raízes são \(3\), \(-3\), \(3i\) e \(-3i\).
5. Como os coeficientes são reais, as raízes complexas não reais aparecem em pares conjugados. Portanto, \(2-i\) também é raiz.
6. Para \(3x^2-8x+2=0\), a soma é \(-(-8)/3=8/3\), e o produto é \(2/3\).
7. A soma das raízes é 11. Se uma raiz é 3, a outra é \(11-3=8\). O produto \(3\cdot8=24\) confirma o resultado.
8. \((x+2)(x-5)=0\Rightarrow x^2-3x-10=0\).
9. Com \(a=2\), \(b=-5\), \(c=-4\) e \(d=3\): \(r_1+r_2+r_3=5/2\), \(r_1r_2+r_1r_3+r_2r_3=-2\) e \(r_1r_2r_3=-3/2\).
10. A forma fatorada é \(P(x)=(x-1)(x-2)(x-4)\). Desenvolvendo, \((x-1)(x^2-6x+8)=x^3-7x^2+14x-8\).
11. A raiz \(-4\) possui multiplicidade 3, e a raiz 1 possui multiplicidade 2. O grau é \(3+2=5\).
12. \(x^4-6x^2+9=(x^2-3)^2=(x-\sqrt3)^2(x+\sqrt3)^2\). As raízes \(\sqrt3\) e \(-\sqrt3\) possuem multiplicidade 2.
13. A raiz \(-1\) produz \((x+1)^2\), e a raiz 3 produz \(x-3\). Assim, \(P(x)=(x+1)^2(x-3)=x^3-x^2-5x-3\).
14. Em \(x=-2\), o gráfico atravessa o eixo; portanto, a multiplicidade é ímpar. Em \(x=1\), o gráfico toca e retorna; portanto, a multiplicidade é par.
15. Desenvolvendo, \((x-2)^2(x+1)^2=(x^2-4x+4)(x^2+2x+1)=x^4-2x^3-3x^2+4x+4\). A igualdade é verdadeira. A raiz 2 possui multiplicidade 2, e a raiz \(-1\) também possui multiplicidade 2.
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