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Teorema do Resto, Teorema de D’Alembert e equações polinomiais

Em muitos problemas algébricos, não é necessário realizar toda a divisão de um polinômio para descobrir o resto ou verificar se determinado binômio é um de seus fatores. A substituição de um valor adequado na expressão permite obter essas informações de maneira mais rápida e organizada.

Nesta postagem, estudaremos o Teorema do Resto e o Teorema de D’Alembert, relacionando-os à divisibilidade, à fatoração e à resolução de equações polinomiais. Também veremos como raízes conhecidas podem reduzir o grau de uma equação e tornar possível a determinação das demais soluções.

Habilidades da BNCC

EM13MAT302 — construir modelos empregando funções polinomiais de 1º ou 2º graus para resolver problemas em contextos diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.

EM13MAT401 — converter representações algébricas de funções polinomiais de 1º grau em representações geométricas no plano cartesiano, distinguindo situações de proporcionalidade.

EM13MAT402 — converter representações algébricas de funções polinomiais de 2º grau em representações geométricas no plano cartesiano, analisando as relações entre as grandezas envolvidas.

Articulação curricular: o Teorema do Resto, o Teorema de D’Alembert e a resolução de equações polinomiais de grau superior a 2 integram a complementação curricular e ampliam os conhecimentos algébricos necessários ao estudo das funções polinomiais.

1. Retomando a divisão de polinômios

Na divisão de um polinômio \(P(x)\) por um polinômio não nulo \(D(x)\), existem polinômios \(Q(x)\) e \(R(x)\) que satisfazem a relação:

\(P(x)=D(x)\cdot Q(x)+R(x)\)

Nessa igualdade, \(P(x)\) é o dividendo, \(D(x)\) é o divisor, \(Q(x)\) é o quociente e \(R(x)\) é o resto. O grau do resto deve ser menor que o grau do divisor.

Quando o divisor é um binômio do tipo \(x-a\), seu grau é 1. Consequentemente, o resto possui grau menor que 1 e será um número real constante.

Exemplo resolvido 1 — Relação fundamental da divisão

Na divisão de \(P(x)=x^3-2x^2+4x-3\) por \(x-2\), o quociente é \(x^2+4\) e o resto é 5. Para verificar essas informações, calculamos:

\((x-2)(x^2+4)+5=x^3-2x^2+4x-8+5\)

\((x-2)(x^2+4)+5=x^3-2x^2+4x-3=P(x)\)

Como recuperamos o dividendo, o quociente e o resto estão corretos.

2. Teorema do Resto

O Teorema do Resto permite determinar o resto da divisão de um polinômio \(P(x)\) por um binômio \(x-a\) sem realizar o algoritmo completo da divisão.

\(\text{Se }P(x)\text{ é dividido por }x-a,\text{ então o resto é }P(a).\)

2.1 Por que o teorema funciona?

Se \(P(x)\) é dividido por \(x-a\), podemos escrever:

\(P(x)=(x-a)Q(x)+r\)

Como o divisor tem grau 1, o resto \(r\) é constante. Substituindo \(x=a\), obtemos:

\(P(a)=(a-a)Q(a)+r\)

\(P(a)=0\cdot Q(a)+r=r\)

Portanto, o valor numérico \(P(a)\) é exatamente o resto procurado.

Como aplicar o Teorema do Resto

Identifique o divisor
\(x-a\)

→

Determine o valor
de \(a\)

→

Calcule
\(P(a)\)

→

O resultado é
o resto

Exemplo resolvido 2 — Determinação direta do resto

Determine o resto da divisão de \(P(x)=2x^3-3x^2+5x-4\) por \(x-2\).

No divisor \(x-2\), temos \(a=2\). Pelo Teorema do Resto:

\(P(2)=2\cdot2^3-3\cdot2^2+5\cdot2-4\)

\(P(2)=16-12+10-4=10\)

Logo, o resto da divisão é 10.

Atenção ao sinal: se o divisor for \(x+3\), devemos escrevê-lo como \(x-(-3)\). Nesse caso, calculamos \(P(-3)\), e não \(P(3)\).

Exemplo resolvido 3 — Divisor com sinal positivo

Determine o resto da divisão de \(P(x)=x^3+2x^2-5x+1\) por \(x+2\).

Como \(x+2=x-(-2)\), calculamos \(P(-2)\):

\(P(-2)=(-2)^3+2(-2)^2-5(-2)+1\)

\(P(-2)=-8+8+10+1=11\)

Portanto, o resto é 11.

2.2 Determinação de um coeficiente desconhecido

O Teorema do Resto também pode ser utilizado para descobrir um coeficiente quando o resto da divisão é conhecido.

Exemplo resolvido 4 — Coeficiente desconhecido

O polinômio \(P(x)=x^3+kx^2-2x+5\), quando dividido por \(x-1\), deixa resto 8. Determine \(k\).

Como o divisor é \(x-1\), temos \(P(1)=8\):

\(1^3+k\cdot1^2-2\cdot1+5=8\)

\(1+k-2+5=8\)

\(k+4=8\Rightarrow k=4\)

Assim, o coeficiente procurado é \(k=4\).

Pratique 1 — Teorema do Resto

1. Determine o resto da divisão de \(P(x)=3x^3-2x^2+4x-5\) por \(x-2\).

2. Calcule o resto da divisão de \(Q(x)=2x^4-x^2+3x-7\) por \(x+1\).

3. O polinômio \(P(x)=x^3+kx+4\), dividido por \(x-2\), deixa resto 18. Determine \(k\).

4. Sem efetuar a divisão, verifique se o resto da divisão de \(R(x)=x^3-5x^2+2x+8\) por \(x-4\) é zero.

5. Um programa utiliza o polinômio \(C(t)=2t^3-7t+10\) para calcular um índice de controle. Em determinada etapa, o sistema divide esse polinômio por \(t-3\). Determine o resto dessa divisão sem aplicar o método da chave.

Ver respostas do Pratique 1

1. Pelo Teorema do Resto, calculamos \(P(2)=3\cdot8-2\cdot4+4\cdot2-5=24-8+8-5=19\). O resto é 19.

2. Como \(x+1=x-(-1)\), calculamos \(Q(-1)=2(-1)^4-(-1)^2+3(-1)-7=2-1-3-7=-9\). O resto é \(-9\).

3. \(P(2)=18\Rightarrow8+2k+4=18\Rightarrow2k=6\Rightarrow k=3\).

4. \(R(4)=64-5\cdot16+8+8=64-80+16=0\). Portanto, o resto é zero.

5. \(C(3)=2\cdot27-7\cdot3+10=54-21+10=43\). O resto é 43.

3. Teorema de D’Alembert

O Teorema de D’Alembert estabelece uma relação entre as raízes de um polinômio e seus fatores. Ele pode ser entendido como uma consequência direta do Teorema do Resto.

\(P(a)=0\quad\Longleftrightarrow\quad x-a\text{ é fator de }P(x)\)

Isso significa que \(a\) é raiz de \(P(x)\) se, e somente se, a divisão de \(P(x)\) por \(x-a\) for exata.

Condição	Conclusão
\(P(a)=0\)	\(a\) é raiz de \(P(x)\).
\(P(a)=0\)	O resto da divisão por \(x-a\) é zero.
\(P(a)=0\)	\(x-a\) é fator de \(P(x)\).
\(P(a)\neq0\)	\(a\) não é raiz e \(x-a\) não é fator.

Exemplo resolvido 5 — Verificação de um fator

Verifique se \(x-2\) é fator de \(P(x)=x^3-3x^2-4x+12\).

Calculamos o valor de \(P(2)\):

\(P(2)=2^3-3\cdot2^2-4\cdot2+12=8-12-8+12=0\)

Como \(P(2)=0\), o número 2 é raiz e \(x-2\) é fator de \(P(x)\).

3.1 Fatoração a partir de uma raiz conhecida

Quando conhecemos uma raiz \(a\), sabemos que \(x-a\) é fator do polinômio. Dividindo o polinômio por esse fator, obtemos um polinômio de grau menor, que pode ser novamente fatorado.

Exemplo resolvido 6 — Fatoração com D’Alembert

Sabendo que 2 é raiz de \(P(x)=x^3-3x^2-4x+12\), fatore o polinômio.

Como 2 é raiz, \(x-2\) é fator. Dividindo \(P(x)\) por \(x-2\), encontramos:

\(P(x)=(x-2)(x^2-x-6)\)

Agora fatoramos o trinômio \(x^2-x-6\):

\(x^2-x-6=(x-3)(x+2)\)

Logo, a fatoração completa é:

\(P(x)=(x-2)(x-3)(x+2)\)

Interpretação importante: na fatoração \(P(x)=(x-2)(x-3)(x+2)\), as raízes são os valores que anulam cada fator: \(2\), \(3\) e \(-2\).

Pratique 2 — Teorema de D’Alembert e fatoração

1. Verifique se \(x-3\) é fator de \(P(x)=x^3-4x^2-3x+18\).

2. Determine se \(x+2\) é fator de \(Q(x)=2x^3+3x^2-8x-12\).

3. Determine \(m\) para que \(x-1\) seja fator de \(P(x)=2x^3+mx^2-5x+1\).

4. Sabendo que 2 é raiz de \(R(x)=x^3-2x^2-5x+10\), fatore completamente \(R(x)\).

5. Um modelo algébrico é representado por \(M(x)=x^3-6x^2+11x-6\). Verifique se os números 1, 2 e 3 são raízes e escreva o polinômio na forma fatorada.

Ver respostas do Pratique 2

1. \(P(3)=27-36-9+18=0\). Portanto, \(x-3\) é fator de \(P(x)\).

2. \(Q(-2)=2(-8)+3(4)-8(-2)-12=-16+12+16-12=0\). Portanto, \(x+2\) é fator.

3. Para que \(x-1\) seja fator, \(P(1)=0\). Assim, \(2+m-5+1=0\Rightarrow m-2=0\Rightarrow m=2\).

4. Dividindo por \(x-2\), obtemos \(x^2-5\). Logo, \(R(x)=(x-2)(x^2-5)=(x-2)(x-\sqrt5)(x+\sqrt5)\).

5. \(M(1)=0\), \(M(2)=0\) e \(M(3)=0\). Portanto, \(M(x)=(x-1)(x-2)(x-3)\).

4. Equações polinomiais

Uma equação polinomial é uma igualdade que pode ser escrita na forma \(P(x)=0\), em que \(P(x)\) é um polinômio. Resolver a equação significa determinar todos os valores de \(x\) que tornam essa igualdade verdadeira.

\(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=0\quad(a_n\neq0)\)

As soluções da equação são chamadas de raízes ou zeros do polinômio. Quando o polinômio está fatorado, aplicamos o princípio do produto nulo: se um produto é igual a zero, pelo menos um de seus fatores deve ser igual a zero.

Exemplo resolvido 7 — Equação apresentada na forma fatorada

Resolva \((x-4)(x+1)(x-2)=0\).

Igualamos cada fator a zero:

\(x-4=0\Rightarrow x=4\)

\(x+1=0\Rightarrow x=-1\)

\(x-2=0\Rightarrow x=2\)

O conjunto solução é \(S=\{-1,2,4\}\).

4.1 Resolução a partir de uma raiz conhecida

1. Verifique a raiz conhecida substituindo-a no polinômio.
2. Associe à raiz \(a\) o fator \(x-a\).
3. Divida o polinômio pelo fator conhecido.
4. Resolva a equação de grau menor obtida no quociente.
5. Reúna todas as raízes no conjunto solução.

Exemplo resolvido 8 — Redução do grau da equação

Resolva \(2x^3-3x^2-8x+12=0\), sabendo que 2 é uma de suas raízes.

Como 2 é raiz, \(x-2\) é fator. Dividindo o polinômio por \(x-2\), obtemos:

\(2x^3-3x^2-8x+12=(x-2)(2x^2+x-6)\)

Fatoramos o quociente:

\(2x^2+x-6=(2x-3)(x+2)\)

Assim:

\((x-2)(2x-3)(x+2)=0\)

As raízes são \(x=2\), \(x=\dfrac32\) e \(x=-2\).

4.2 Equações biquadradas

Uma equação biquadrada possui a forma \(ax^4+bx^2+c=0\). Ela pode ser transformada em uma equação do 2º grau por meio da substituição \(y=x^2\).

Exemplo resolvido 9 — Equação biquadrada

Resolva \(x^4-5x^2+4=0\).

Fazemos \(y=x^2\):

\(y^2-5y+4=0\)

Fatorando:

\((y-1)(y-4)=0\)

Logo, \(y=1\) ou \(y=4\). Retornando à variável \(x\):

\(x^2=1\Rightarrow x=\pm1\)

\(x^2=4\Rightarrow x=\pm2\)

Portanto, \(S=\{-2,-1,1,2\}\).

4.3 Modelagem com uma equação polinomial

Exemplo resolvido 10 — Dimensões de uma caixa

Uma embalagem em forma de paralelepípedo possui altura \(x\) centímetros, largura \((x+1)\) centímetros e comprimento \((x+2)\) centímetros. Para que seu volume seja \(24\text{ cm}^3\), qual deve ser o valor positivo de \(x\)?

Usamos a fórmula do volume:

\(x(x+1)(x+2)=24\)

Desenvolvendo e levando todos os termos para o primeiro membro:

\(x^3+3x^2+2x-24=0\)

Testando \(x=2\), obtemos \(8+12+4-24=0\). Portanto, 2 é raiz. A fatoração é:

\((x-2)(x^2+5x+12)=0\)

O fator quadrático não possui raízes reais. Assim, o valor positivo adequado ao contexto é \(x=2\). As dimensões da embalagem são 2 cm, 3 cm e 4 cm.

Pratique 3 — Equações polinomiais

1. Resolva \((x-5)(x+2)(x-1)=0\).

2. Resolva \(x^3-6x^2+11x-6=0\), sabendo que 1 é uma de suas raízes.

3. Resolva \(x^4-10x^2+9=0\).

4. Determine as raízes de \(x^3-4x^2-x+4=0\) utilizando fatoração por agrupamento.

5. Um terreno retangular possui lados \((x+2)\) metros e \((x+5)\) metros e área de \(70\text{ m}^2\). Escreva a equação polinomial correspondente e determine a medida positiva de \(x\).

Ver respostas do Pratique 3

1. Pelo princípio do produto nulo: \(x-5=0\), \(x+2=0\) ou \(x-1=0\). Portanto, \(S=\{-2,1,5\}\).

2. Como 1 é raiz, dividimos por \(x-1\) e encontramos \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\). Logo, \(S=\{1,2,3\}\).

3. Fazendo \(y=x^2\), temos \(y^2-10y+9=0\Rightarrow(y-1)(y-9)=0\). Assim, \(x^2=1\) ou \(x^2=9\), e \(S=\{-3,-1,1,3\}\).

4. Agrupando: \(x^2(x-4)-1(x-4)=(x-4)(x^2-1)=(x-4)(x-1)(x+1)\). Portanto, \(S=\{-1,1,4\}\).

5. \((x+2)(x+5)=70\Rightarrow x^2+7x-60=0\Rightarrow(x+12)(x-5)=0\). As soluções algébricas são \(-12\) e 5, mas somente \(x=5\) é adequado ao contexto.

5. Síntese da aprendizagem

Calcular O resto por meio de \(P(a)\).

Reconhecer \(P(a)=0\) indica raiz e fator.

Fatorar Reduzir o grau usando uma raiz conhecida.

Resolver Aplicar o princípio do produto nulo.

6. Revisão e aprofundamento

Questão 1. Determine o resto da divisão de \(P(x)=2x^3-5x+1\) por \(x-2\).

Questão 2. Determine o resto da divisão de \(Q(x)=x^3+4x^2-5x-20\) por \(x+3\).

Questão 3. Determine \(k\) para que \(P(x)=x^3+kx-6\) seja divisível por \(x-2\).

Questão 4. Use o Teorema de D’Alembert para verificar se \(x-1\) é fator de \(P(x)=x^3-4x^2+x+2\).

Questão 5. Sabendo que 3 é raiz de \(P(x)=x^3-3x^2-4x+12\), fatore completamente o polinômio.

Questão 6. Resolva \(x^2-7x+12=0\).

Questão 7. Resolva \(2x^2+x-6=0\) por fatoração.

Questão 8. Resolva \(x^3-4x^2-x+4=0\) por agrupamento.

Questão 9. Resolva a equação biquadrada \(x^4-13x^2+36=0\).

Questão 10. Resolva \(x^3-2x^2-5x+6=0\), sabendo que 1 é uma raiz.

Questão 11. Uma placa retangular possui dimensões \((x+3)\) centímetros e \((x+5)\) centímetros. Sabendo que sua área é \(80\text{ cm}^2\), determine o valor positivo de \(x\).

Questão 12. Um modelo de produção utiliza a equação \(t^3-4t^2-12t=0\). Determine as soluções não negativas e explique quais podem representar tempos transcorridos.

Questão 13. Na divisão de um polinômio \(P(x)\) por \(x-4\), o resto é 5. Qual é o valor de \(P(4)\)? Justifique.

Questão 14. Se \(x+2\) é fator de \(P(x)\), qual relação deve ser satisfeita por \(P(-2)\)? Explique.

Questão 15. Um estudante afirmou que as raízes de \(P(x)=x^3-6x^2+11x-6\) são 1, 2 e 3. Verifique a afirmação por substituição e apresente a forma fatorada de \(P(x)\).

Gabarito comentado — Revisão e aprofundamento

1. Como o divisor é \(x-2\), o resto é \(P(2)\): \(P(2)=2\cdot8-5\cdot2+1=16-10+1=7\). Portanto, o resto é 7.

2. Como \(x+3=x-(-3)\), calculamos \(Q(-3)=-27+4\cdot9+15-20=-27+36+15-20=4\). O resto é 4.

3. Para que a divisão por \(x-2\) seja exata, \(P(2)=0\). Assim, \(8+2k-6=0\Rightarrow2+2k=0\Rightarrow k=-1\).

4. \(P(1)=1-4+1+2=0\). Logo, 1 é raiz e, pelo Teorema de D’Alembert, \(x-1\) é fator de \(P(x)\).

5. Como 3 é raiz, \(x-3\) é fator. Dividindo, obtemos \(x^2-4=(x-2)(x+2)\). Portanto, \(P(x)=(x-3)(x-2)(x+2)\).

6. \(x^2-7x+12=(x-3)(x-4)\). Pelo princípio do produto nulo, \(x=3\) ou \(x=4\).

7. \(2x^2+x-6=(2x-3)(x+2)\). Assim, \(2x-3=0\Rightarrow x=\dfrac32\) ou \(x+2=0\Rightarrow x=-2\).

8. \(x^3-4x^2-x+4=x^2(x-4)-1(x-4)=(x-4)(x^2-1)=(x-4)(x-1)(x+1)\). Logo, \(S=\{-1,1,4\}\).

9. Fazendo \(y=x^2\), obtemos \(y^2-13y+36=0=(y-4)(y-9)\). Portanto, \(x^2=4\) ou \(x^2=9\), resultando em \(S=\{-3,-2,2,3\}\).

10. Como 1 é raiz, dividimos por \(x-1\): \(x^3-2x^2-5x+6=(x-1)(x^2-x-6)\). Como \(x^2-x-6=(x-3)(x+2)\), temos \(S=\{-2,1,3\}\).

11. \((x+3)(x+5)=80\Rightarrow x^2+8x+15=80\Rightarrow x^2+8x-65=0\). Fatorando, \((x-5)(x+13)=0\). As soluções são 5 e \(-13\), mas uma medida não pode ser negativa. Portanto, \(x=5\).

12. \(t^3-4t^2-12t=t(t^2-4t-12)=t(t-6)(t+2)\). As soluções são \(-2\), 0 e 6. Como o tempo transcorrido não pode ser negativo, os valores admissíveis são \(t=0\) e \(t=6\).

13. Pelo Teorema do Resto, o resto da divisão por \(x-4\) é \(P(4)\). Como o resto informado é 5, necessariamente \(P(4)=5\).

14. Se \(x+2=x-(-2)\) é fator, a divisão é exata. Pelo Teorema de D’Alembert, \(-2\) é raiz e, portanto, \(P(-2)=0\).

15. \(P(1)=1-6+11-6=0\), \(P(2)=8-24+22-6=0\) e \(P(3)=27-54+33-6=0\). As três afirmações são verdadeiras e \(P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)\).

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