Troncos, sólidos inscritos, seções e vistas ortogonais
Embalagens, reservatórios, copos, cúpulas e peças industriais nem sempre correspondem a um sólido completo. Muitas formas são obtidas por cortes, encaixes ou combinações. Para interpretá-las, precisamos reconhecer semelhança, inscrição, seções planas e diferentes vistas do objeto.
Nesta postagem, ampliaremos o estudo da geometria espacial com situações que exigem decompor, comparar e representar sólidos.
Conhecimentos de base
BNCC: EM13MAT309 — resolver e elaborar problemas que envolvam áreas e volumes de sólidos geométricos em situações reais.
BNCC: EM13MAT504 — investigar processos de obtenção de medidas de volume e estabelecer relações entre sólidos.
Retomaremos semelhança, Teorema de Pitágoras, áreas de polígonos e círculos e volumes de pirâmides, cones, prismas, cilindros e esferas.
1. Semelhança e formação dos troncos
Quando uma pirâmide ou um cone é cortado por um plano paralelo à base, a parte entre o plano de corte e a base é um tronco. A parte retirada é semelhante ao sólido original.
Razão linear
k
Razão entre áreas
k²
Razão entre volumes
k³
Importante: a altura do tronco é a distância perpendicular entre as duas bases. A geratriz ou o apótema lateral é medido sobre a superfície inclinada.
2. Tronco de pirâmide
O tronco de pirâmide possui duas bases poligonais paralelas e semelhantes. Em um tronco regular, as faces laterais são trapézios congruentes.
h liga perpendicularmente os planos das bases; g é o apótema da face lateral.
V=h·(B+b+√(B·b))÷3
Nessa fórmula, B é a área da base maior e b é a área da base menor. A área lateral é obtida somando as áreas dos trapézios laterais.
Exemplo 1 — Base quadrada
Um tronco regular tem bases quadradas de lados 14 cm e 6 cm e altura 3 cm. A diferença entre as metades dos lados é 4 cm; portanto, g=√(3²+4²)=5 cm.
O tronco de cone circular reto possui bases circulares de raios R e r, com R>r. A geratriz g, a altura h e a diferença R−r formam um triângulo retângulo.
Geratriz
g²=h²+(R−r)²
Área lateral
Al=π(R+r)g
Volume
V=πh(R²+Rr+r²)÷3
At=πR²+πr²+π(R+r)g
Exemplo 2 — Recipiente em forma de tronco de cone
Um recipiente fechado possui raios 5 cm e 2 cm e altura 4 cm. Como R−r=3 cm, a geratriz mede 5 cm.
Questão 1. Um tronco de pirâmide possui B=100 cm², b=36 cm² e h=9 cm. Determine o volume.
Questão 2. Um tronco de cone tem R=6 cm, r=3 cm e h=4 cm. Determine g, Al e V.
Questão 3. As bases quadradas de um tronco têm lados 12 cm e 4 cm. Se h=3 cm, determine g e Al.
Questão 4. Um cone é cortado na metade de sua altura por um plano paralelo à base. Que fração do volume original corresponde ao cone menor retirado?
Ver respostas
1. V=9·(100+36+60)÷3=588 cm³.
2. g=5 cm; Al=45π cm²; V=84π cm³.
3. g=5 cm; Al=4·[(12+4)·5÷2]=160 cm².
4. A razão linear é 1/2; portanto, a razão entre os volumes é (1/2)³=1/8.
4. Sólidos inscritos e circunscritos
Um sólido está inscrito em outro quando fica contido nele e sua superfície toca a superfície externa em pontos determinados. O sólido externo é circunscrito ao interno. O desenho deve ser traduzido em relações entre raios, arestas, diagonais e alturas.
Os círculos tracejados sugerem a superfície esférica, não apenas um círculo plano.
Na esfera inscrita em um cubo de aresta a, o diâmetro da esfera coincide com a aresta: a=2r. Se um cubo está inscrito em uma esfera de raio R, a diagonal espacial do cubo é o diâmetro da esfera.
a√3=2R
Na esfera inscrita no cilindro, os raios são iguais e a altura do cilindro é o diâmetro da esfera.
Exemplo 3 — Esfera dentro de um cilindro
Uma esfera de raio 4 cm está inscrita em um cilindro. Logo, o cilindro tem raio 4 cm e altura 8 cm.
Questão 1. Uma esfera está inscrita em um cubo de aresta 10 cm. Determine o raio e o volume da esfera.
Questão 2. Um cubo de aresta 6 cm está inscrito em uma esfera. Determine o raio da esfera.
Questão 3. Uma esfera de raio 3 cm está inscrita em um cilindro. Determine o volume não ocupado pela esfera.
Questão 4. Uma esfera está circunscrita a um cubo cuja diagonal espacial mede 12 cm. Determine o raio da esfera.
Ver respostas
1. r=5 cm; V=500π÷3 cm³.
2. 2R=6√3, logo R=3√3 cm.
3. O cilindro tem r=3 cm e h=6 cm. A diferença é 54π−36π=18π cm³.
4. O diâmetro da esfera é 12 cm; portanto, r=6 cm.
5. Seções planas
Uma seção plana é a figura obtida pela interseção entre um sólido e um plano. Quando o plano passa pelo eixo de um sólido de revolução, temos uma seção axial.
cilindro reto: seção axial retangular de dimensões 2r e h;
cone reto: seção axial triangular de base 2r e altura h;
esfera: uma seção a distância d do centro tem raio ρ tal que ρ²=R²−d².
Exemplo 4 — Corte em uma esfera
Uma esfera de raio 10 cm é cortada por um plano situado a 6 cm do centro.
ρ²=10²−6²=64 ρ=8 cm área da seção=π·8²=64π cm²
6. Vistas ortogonais
As vistas superior, frontal e lateral mostram o objeto observado perpendicularmente a diferentes planos. Elas são usadas em desenhos técnicos, projetos arquitetônicos e fabricação de peças.
Para um cilindro vertical, a vista superior é um círculo; as vistas frontal e lateral são retângulos.
Exemplo 5 — Interpretação das vistas
Um cilindro vertical tem raio 3 cm e altura 8 cm. Sua vista superior é um círculo de diâmetro 6 cm. As vistas frontal e lateral são retângulos de 6 cm por 8 cm.
Pratique 3
Questão 1. Determine a área da seção axial de um cilindro com r=4 cm e h=10 cm.
Questão 2. Determine a área da seção axial de um cone com r=6 cm e h=8 cm.
Questão 3. Uma esfera de raio 13 cm é cortada por um plano a 5 cm do centro. Determine o raio e a área da seção.
Questão 4. Descreva as vistas superior, frontal e lateral de um cone circular reto apoiado sobre a base.
Ver respostas
1. A=2r·h=8·10=80 cm².
2. A=(2r)·h÷2=12·8÷2=48 cm².
3. ρ=12 cm e A=144π cm².
4. A vista superior é um círculo; as vistas frontal e lateral são triângulos isósceles congruentes.
7. Estratégia de resolução
identifique o sólido completo e o corte realizado;
diferencie altura, apótema lateral, geratriz, raio e diagonal;
use semelhança quando o corte for paralelo à base;
em sólidos inscritos, procure diâmetros e diagonais coincidentes;
em seções, represente o triângulo retângulo formado;
nas vistas, observe o sólido perpendicularmente a cada plano.
Erros frequentes: usar g como altura; esquecer as duas bases do tronco; aplicar razão linear diretamente a volumes; confundir a diagonal da face com a diagonal espacial; e desenhar vistas em perspectiva.
8. Revisão e aprofundamento
Questão 1. Um vaso tem forma de tronco de pirâmide quadrangular regular, com lados das bases 14 cm e 6 cm e altura 3 cm. Determine g, At e V.
Questão 2. Um recipiente fechado tem forma de tronco de cone com R=5 cm, r=2 cm e h=4 cm. Determine g, At e V.
Questão 3. Um reservatório em forma de tronco de cone possui R=4 m, r=2 m e h=6 m. Determine o volume.
Questão 4. Um tronco de pirâmide possui B=100 cm², b=36 cm² e h=9 cm. Determine o volume.
Questão 5. Uma esfera está inscrita em um cubo de aresta 10 cm. Determine o volume não ocupado pela esfera.
Questão 6. Uma esfera de raio 4 cm está inscrita em um cilindro. Determine o espaço restante.
Questão 7. Um cubo de aresta 6 cm está inscrito em uma esfera. Determine o raio da esfera.
Questão 8. Uma esfera de raio 13 cm é cortada por um plano a 5 cm do centro. Determine a área da seção.
Questão 9. Determine a área da seção axial de um cilindro com r=4 cm e h=10 cm.
Questão 10. Determine a área da seção axial de um cone com r=6 cm e h=8 cm.
Questão 11. Descreva as três vistas principais de um cilindro vertical com r=3 cm e h=7 cm.
Questão 12. Dois sólidos semelhantes têm razão linear 2. Determine as razões entre suas áreas e entre seus volumes.
Questão 13. Um tronco de cone possui R=6 cm, r=3 cm e h=4 cm. Determine g, At e V.
Questão 14. Um tronco de pirâmide quadrangular tem lados das bases 12 cm e 4 cm e h=3 cm. Determine g, At e V.
Questão 15. De um cilindro de raio 3 cm e altura 10 cm foi retirado um cone de mesma base e mesma altura. Determine o volume restante.
Gabarito detalhado
1.
g=√(3²+4²)=5 cm Al=200 cm²; At=200+196+36=432 cm² V=3·(196+36+84)÷3=316 cm³