MATEMÁTICAFC

Triângulos

Habilidades da BNCC

EF06MA19 — Identificar características dos triângulos e classificá-los em relação às medidas dos lados e dos ângulos.

EF07MA24 — Construir triângulos, usando régua e compasso, reconhecer a condição de existência do triângulo quanto à medida dos lados e verificar que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°.

1. O que é um triângulo?

Um triângulo é um polígono formado por três lados, três vértices e três ângulos internos.

Uma característica importante é que o triângulo é o único polígono que não possui diagonais, pois todos os seus vértices já estão ligados pelos próprios lados.

Elementos de um triângulo

Considere um triângulo \(ABC\):

• \(A\), \(B\) e \(C\) são os vértices;
• \(\overline{AB}\), \(\overline{BC}\) e \(\overline{CA}\) são os lados;
• \(\widehat{A}\), \(\widehat{B}\) e \(\widehat{C}\) são os ângulos internos.

2. Condição de existência de um triângulo

Nem sempre três segmentos podem formar um triângulo. Para que três segmentos formem um triângulo, a medida de cada lado deve ser menor que a soma das medidas dos outros dois lados.

Exemplo 1

Os segmentos de medidas 4 cm, 5 cm e 7 cm formam um triângulo, pois:

\(4+5>7\)

\(4+7>5\)

\(5+7>4\)

Exemplo 2

Os segmentos de medidas 2 cm, 3 cm e 6 cm não formam um triângulo, porque:

\(2+3<6\)

3. Soma dos ângulos internos

A soma das medidas dos três ângulos internos de qualquer triângulo é sempre:

\(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^\circ\)

As imagens abaixo mostram uma forma visual de compreender essa propriedade.

Exemplo

Em um triângulo, dois ângulos medem \(45^\circ\) e \(65^\circ\). Qual é a medida do terceiro ângulo?

\(45^\circ+65^\circ+x=180^\circ\)

\(110^\circ+x=180^\circ\)

\(x=70^\circ\)

Portanto, o terceiro ângulo mede 70°.

4. Classificação dos triângulos quanto aos lados

De acordo com as medidas dos lados, os triângulos podem ser classificados em equiláteros, isósceles ou escalenos.

Triângulo equilátero

O triângulo equilátero possui os três lados com a mesma medida. Seus três ângulos internos também possuem a mesma medida. Como a soma dos ângulos internos é \(180^\circ\), temos:

\(180^\circ\div3=60^\circ\)

Portanto, todo triângulo equilátero possui três ângulos internos de \(60^\circ\).

Triângulo isósceles

O triângulo isósceles possui dois lados com a mesma medida. Os ângulos opostos a esses dois lados também possuem medidas iguais e são chamados de ângulos da base. O outro ângulo é denominado ângulo do vértice.

Exemplo

Em um triângulo isósceles, o ângulo do vértice mede \(40^\circ\). Quanto mede cada ângulo da base?

\(40^\circ+x+x=180^\circ\)

\(2x=140^\circ\)

\(x=70^\circ\)

Portanto, cada ângulo da base mede 70°.

Triângulo escaleno

O triângulo escaleno possui os três lados com medidas diferentes. Consequentemente, seus três ângulos internos também possuem medidas diferentes.

5. Classificação dos triângulos quanto aos ângulos

Quanto às medidas dos ângulos internos, os triângulos podem ser classificados em acutângulos, retângulos ou obtusângulos.

Triângulo acutângulo

Possui os três ângulos internos menores que \(90^\circ\).

Triângulo retângulo

Possui um ângulo reto, isto é, um ângulo de \(90^\circ\).

No triângulo retângulo:

• hipotenusa é o lado oposto ao ângulo de \(90^\circ\);
• catetos são os dois lados que formam o ângulo reto.

Triângulo obtusângulo

Possui um ângulo interno maior que \(90^\circ\). Como a soma dos três ângulos internos é \(180^\circ\), um triângulo não pode possuir mais de um ângulo obtuso.

6. Ângulos externos de um triângulo

Um ângulo externo é formado pelo prolongamento de um dos lados do triângulo.

A medida de um ângulo externo de um triângulo é igual à soma das medidas dos dois ângulos internos não adjacentes a ele.

Considere os ângulos internos \(X\), \(Y\) e \(Z\), e o ângulo externo \(W\), adjacente a \(X\).

\(X+Y+Z=180^\circ\)

Como \(X\) e \(W\) formam um ângulo raso:

\(X+W=180^\circ\)

Das duas relações, concluímos que:

\(W=Y+Z\)

Portanto, o ângulo externo \(W\) é igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes a ele.

Exemplo

Se os dois ângulos internos não adjacentes a um ângulo externo medem \(55^\circ\) e \(70^\circ\), então:

\(W=55^\circ+70^\circ\)

\(W=125^\circ\)

Logo, o ângulo externo mede 125°.

7. Resumindo

• Um triângulo possui três lados, três vértices e três ângulos internos.
• O triângulo não possui diagonais.
• Para existir um triângulo, cada lado deve ser menor que a soma dos outros dois.
• A soma dos ângulos internos é \(180^\circ\).
• Quanto aos lados, pode ser equilátero, isósceles ou escaleno.
• Quanto aos ângulos, pode ser acutângulo, retângulo ou obtusângulo.
• Um ângulo externo é igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes.

Pratique

1. Verifique se três segmentos de medidas 5 cm, 7 cm e 10 cm podem formar um triângulo. Justifique sua resposta.

2. Em um triângulo, dois ângulos internos medem \(48^\circ\) e \(67^\circ\). Qual é a medida do terceiro ângulo?

3. Um triângulo possui lados medindo 8 cm, 8 cm e 5 cm. Como ele é classificado quanto às medidas dos lados?

4. Um triângulo possui ângulos internos de \(35^\circ\), \(55^\circ\) e \(90^\circ\). Como ele é classificado quanto aos ângulos?

5. Um ângulo externo de um triângulo possui como ângulos internos não adjacentes dois ângulos que medem \(42^\circ\) e \(73^\circ\). Determine a medida desse ângulo externo.

Gabarito

1. Sim. As três condições são satisfeitas: \(5+7>10\), \(5+10>7\) e \(7+10>5\).

2. \(65^\circ\), pois \(180^\circ-(48^\circ+67^\circ)=65^\circ\).

3. Isósceles, pois possui dois lados com a mesma medida.

4. Retângulo, pois possui um ângulo de \(90^\circ\).

5. \(115^\circ\), pois \(42^\circ+73^\circ=115^\circ\).

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