Problemas simples de contagem
Habilidade da BNCC — EF05MA09
Resolver e elaborar problemas simples de contagem envolvendo o princípio multiplicativo, como a determinação do número de agrupamentos possíveis ao se combinar cada elemento de uma coleção com todos os elementos de outra coleção, por meio de diagramas de árvore ou por tabelas.
Objeto de conhecimento
Problemas de contagem do tipo: “Se cada objeto de uma coleção A for combinado com todos os elementos de uma coleção B, quantos agrupamentos desse tipo podem ser formados?”
Sarah e Guga estão organizando os uniformes das equipes da gincana. Há camisetas de diferentes cores e vários modelos de bonés. Para descobrir quantos visuais podem ser formados sem precisar testar cada possibilidade, eles podem usar o princípio multiplicativo, tabelas e diagramas de árvore.
Vídeo complementar
Assista ao vídeo para revisar o princípio multiplicativo.
1. Princípio multiplicativo
Quando cada elemento de uma coleção pode ser combinado com todos os elementos de outra coleção, multiplicamos a quantidade de opções da primeira coleção pela quantidade de opções da segunda.
3 × 2 = 6 combinações.
Portanto, podem ser formados 6 uniformes diferentes.
2. Tabela de dupla entrada
A tabela permite visualizar todas as combinações e conferir se nenhuma possibilidade foi esquecida.
| Camiseta / Boné | Aba reta | Aba curva |
|---|---|---|
| Verde | Verde + reta | Verde + curva |
| Azul | Azul + reta | Azul + curva |
| Amarela | Amarela + reta | Amarela + curva |
As 3 linhas de camisetas combinadas com as 2 opções de bonés produzem 6 possibilidades.
3. Diagrama de árvore
O diagrama de árvore organiza as escolhas em caminhos. Cada opção inicial se ramifica para todas as opções da segunda escolha.
Contando as pontas dos caminhos, encontramos novamente as 6 combinações.
4. Multiplicar, e não somar
Um erro comum é somar as quantidades das duas coleções. Se temos 3 calças e 4 casacos e cada calça pode ser combinada com todos os casacos, fazemos:
Existem 12 combinações, e não 7. A soma 3 + 4 apenas informa quantos itens existem nas duas coleções, não quantos agrupamentos podem ser formados.
▶ Pratique
1. No refeitório, há 2 tipos de pão e 3 tipos de recheio. Quantos lanches diferentes podem ser formados escolhendo um pão e um recheio?
( ) 5
( ) 6
( ) 9
2. Guga tem 4 opções de cores para o fundo de um escudo e 3 símbolos. Quantos escudos diferentes pode criar?
( ) 7
( ) 12
( ) 16
3. Uma tabela combina 5 modelos de mochilas com 4 cores de estojos. Quantas combinações existem?
( ) 20
( ) 9
( ) 25
4. Lucas somou 3 calças e 4 casacos e afirmou que existem 7 combinações. Explique o erro e determine o resultado correto.
Resposta: _________________________________________________
5. Complete:
a) 5 sabores de sorvete × 3 coberturas = __________ combinações.
b) 2 tipos de suco × 4 frutas = __________ combinações.
6. Trocar a ordem dos fatores altera o total de combinações?
( ) Sim
( ) Não
7. Sarah tem 3 modelos de cordão e 5 tipos de cartões de identificação. Quantos crachás diferentes podem ser formados?
Resposta: ____________________.
8. Há 2 tamanhos de copo e 6 sabores de suco. Quantas opções diferentes podem ser escolhidas?
( ) 8
( ) 12
( ) 14
9. Como se chama o esquema que representa as possibilidades por meio de caminhos ramificados?
Resposta: Diagrama de ____________________.
10. Determine o número de agrupamentos:
a) 6 tipos de chaveiros e 4 cores de fitas: __________.
b) 2 modelos de canetas e 5 cores de tinta: __________.
c) 7 formatos de adesivos e 3 tipos de brilho: __________.
▶ Gabarito
1. 6.
2. 12.
3. 20.
4. As quantidades devem ser multiplicadas: 3 × 4 = 12 combinações.
5. a) 15. b) 8.
6. Não.
7. 15.
8. 12.
9. Árvore.
10. a) 24. b) 10. c) 21.