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Princípio multiplicativo e probabilidade

Em muitas situações, precisamos descobrir quantas possibilidades existem sem escrever todas elas uma por uma. Também podemos querer saber qual é a chance de determinado resultado acontecer.

Nesta postagem, vamos estudar o princípio multiplicativo, a construção do espaço amostral e o cálculo de probabilidades.

Habilidade da BNCC

EF08MA22: calcular a probabilidade de eventos, com base na construção do espaço amostral, utilizando o princípio multiplicativo, e reconhecer que a soma das probabilidades de todos os elementos do espaço amostral é igual a 1.

1. Contando possibilidades

Imagine que uma pessoa possui 3 camisetas e 2 calças. Quantos conjuntos diferentes ela pode formar escolhendo uma camiseta e uma calça?

Camiseta	Calça
Azul	Preta ou branca
Verde	Preta ou branca
Amarela	Preta ou branca

Cada uma das 3 camisetas pode ser combinada com cada uma das 2 calças:

\[3\cdot2=6\]

Portanto, existem 6 possibilidades.

2. Princípio multiplicativo

Quando uma escolha ocorre em etapas sucessivas, podemos multiplicar o número de possibilidades de cada etapa.

Princípio multiplicativo: se uma primeira etapa pode ocorrer de \(m\) maneiras e, para cada uma delas, uma segunda etapa pode ocorrer de \(n\) maneiras, então as duas etapas podem ocorrer de:

\[m\cdot n\]

maneiras diferentes.

Exemplo resolvido 1. Uma lanchonete oferece 4 tipos de sanduíche e 3 tipos de suco. Quantas escolhas diferentes podem ser feitas escolhendo um sanduíche e um suco?

Para cada sanduíche existem 3 possibilidades de suco:

\[4\cdot3=12\]

Resposta: 12 escolhas diferentes.

Mais de duas etapas

O mesmo raciocínio vale quando existem três ou mais escolhas sucessivas.

Exemplo resolvido 2. Uma senha é formada por uma letra entre A, B e C, seguida de um algarismo entre 1, 2, 3 e 4 e, depois, por um símbolo entre # e @. Quantas senhas podem ser formadas?

Temos:

• 3 possibilidades para a letra;
• 4 possibilidades para o algarismo;
• 2 possibilidades para o símbolo.

\[3\cdot4\cdot2=24\]

Resposta: 24 senhas.

3. Árvore de possibilidades

A árvore de possibilidades ajuda a visualizar as escolhas realizadas em etapas.

Exemplo resolvido 3. Uma moeda é lançada duas vezes. Quais são os resultados possíveis?

1º lançamento

Cara → Cara ou Coroa

Coroa → Cara ou Coroa

Os resultados possíveis são:

\[\{(Ca,Ca),(Ca,Co),(Co,Ca),(Co,Co)\}\]

São 4 resultados, o que também pode ser obtido pelo princípio multiplicativo:

\[2\cdot2=4\]

4. Quando o princípio multiplicativo não pode ser usado de forma automática

Antes de multiplicar, precisamos verificar quantas opções realmente existem em cada etapa. Algumas condições podem reduzir as possibilidades.

Exemplo resolvido 4. Quantos números de dois algarismos diferentes podem ser formados usando apenas 1, 2, 3 e 4?

Para o primeiro algarismo existem 4 escolhas. Depois de escolher um deles, restam apenas 3 para o segundo:

\[4\cdot3=12\]

Resposta: 12 números.

▶Pratique 1 — Princípio multiplicativo

1. Uma pessoa possui 5 camisetas e 3 calças. Quantas combinações pode formar?

2. Uma sorveteria oferece 6 sabores e 4 tipos de cobertura. Quantas escolhas de um sabor e uma cobertura são possíveis?

3. Uma senha possui uma letra entre A, B, C e D seguida de um algarismo de 0 a 9. Quantas senhas podem ser formadas?

4. Uma moeda é lançada três vezes. Quantos resultados possíveis existem?

5. Um dado é lançado duas vezes. Quantos pares de resultados são possíveis?

6. Um restaurante oferece 3 entradas, 5 pratos principais e 2 sobremesas. Quantas refeições diferentes podem ser montadas escolhendo uma opção de cada tipo?

7. Uma escola oferece 4 oficinas pela manhã e 3 à tarde. Um estudante escolherá uma de cada turno. Quantas escolhas diferentes existem?

8. Uma bandeira será formada por três faixas. Há 4 cores disponíveis e a repetição é permitida. Quantas bandeiras podem ser formadas?

9. Quantos números de dois algarismos diferentes podem ser formados com 2, 4, 6 e 8?

10. Uma placa é formada por uma letra entre A, B e C seguida de dois algarismos de 1 a 5, com repetição permitida. Quantas placas são possíveis?

5. Experimento aleatório

Um experimento aleatório é uma situação cujo resultado não pode ser previsto com certeza antes de sua realização.

Exemplos:

• lançar uma moeda;
• lançar um dado;
• retirar uma ficha de uma caixa sem olhar.

6. Espaço amostral

O conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório é chamado de espaço amostral. Costumamos representá-lo por \(\Omega\).

Exemplo resolvido 5. No lançamento de um dado comum de seis faces:

\[\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\]

O espaço amostral possui 6 elementos.

7. Evento

Um evento é um conjunto formado por um ou mais resultados do espaço amostral.

Exemplo resolvido 6. No lançamento de um dado, considere o evento \(A\): “obter um número par”.

\[A=\{2,4,6\}\]

O evento possui 3 resultados favoráveis.

8. Probabilidade de um evento

Quando todos os resultados do espaço amostral têm a mesma chance de ocorrer, podemos calcular:

\[P(A)=\frac{\text{número de resultados favoráveis}}{\text{número total de resultados possíveis}}\]

Exemplo resolvido 7. Qual é a probabilidade de obter um número par ao lançar um dado comum?

Há 3 resultados favoráveis: 2, 4 e 6. O espaço amostral possui 6 resultados.

\[P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\]

Em forma decimal e percentual:

\[P(A)=0{,}5=50\%\]

Probabilidade entre 0 e 1

\[0\leq P(A)\leq1\]

• \(P(A)=0\): evento impossível;
• \(P(A)=1\): evento certo;
• entre 0 e 1: evento possível, mas não certo.

Exemplo resolvido 8. Uma caixa contém 5 fichas azuis e 3 vermelhas. Uma ficha será retirada ao acaso. Qual é a probabilidade de ela ser vermelha?

Existem 8 fichas no total e 3 são vermelhas:

\[P(\text{vermelha})=\frac{3}{8}=0{,}375=37{,}5\%\]

▶Pratique 2 — Espaço amostral, eventos e probabilidade

1. Escreva o espaço amostral do lançamento de uma moeda.

2. Escreva o espaço amostral do lançamento de um dado comum.

3. No lançamento de um dado, escreva o evento “resultado maior que 4”.

4. Qual é a probabilidade de obter 5 em um dado comum?

5. Qual é a probabilidade de obter um número ímpar em um dado comum?

6. Uma urna contém 7 bolas verdes e 3 amarelas. Qual é a probabilidade de retirar uma bola amarela?

7. Em uma caixa há 4 fichas numeradas de 1 a 4. Qual é a probabilidade de retirar um número menor que 3?

8. Uma roleta possui 8 setores iguais, sendo 3 azuis. Qual é a probabilidade de parar em azul?

9. Uma sacola contém 2 bolas brancas, 5 pretas e 3 vermelhas. Qual é a probabilidade de retirar uma bola branca?

10. Ao escolher aleatoriamente um número de 1 a 10, qual é a probabilidade de escolher um múltiplo de 3?

9. Construindo o espaço amostral com o princípio multiplicativo

Em experimentos realizados em etapas, o princípio multiplicativo pode determinar rapidamente o número de elementos do espaço amostral.

Exemplo resolvido 9. Uma moeda é lançada e, em seguida, um dado comum é lançado. Quantos resultados existem no espaço amostral?

A moeda tem 2 resultados e o dado tem 6:

\[n(\Omega)=2\cdot6=12\]

Resposta: 12 resultados.

Exemplo resolvido 10. No experimento anterior, qual é a probabilidade de sair cara na moeda e um número par no dado?

Os resultados favoráveis são:

\[(Ca,2),(Ca,4),(Ca,6)\]

Há 3 resultados favoráveis entre 12 possíveis:

\[P(A)=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}=25\%\]

10. Soma das probabilidades do espaço amostral

A soma das probabilidades de todos os resultados possíveis de um experimento é sempre igual a 1.

Exemplo resolvido 11. Em uma moeda equilibrada:

\[P(Ca)=\frac12\qquad\text{e}\qquad P(Co)=\frac12\]

Somando:

\[\frac12+\frac12=1\]

No dado equilibrado, cada face tem probabilidade \(\frac16\):

\[\frac16+\frac16+\frac16+\frac16+\frac16+\frac16=1\]

11. Evento complementar

Se \(A\) é um evento, o evento complementar reúne todos os resultados do espaço amostral que não pertencem a \(A\).

\[P(A)+P(A^c)=1\]

Portanto:

\[P(A^c)=1-P(A)\]

Exemplo resolvido 12. A probabilidade de chover em determinado período é 0,3. Considerando apenas os eventos “chover” e “não chover”, qual é a probabilidade de não chover?

\[P(\text{não chover})=1-0{,}3=0{,}7\]

Resposta: 0,7 ou 70%.

12. Probabilidade em experimentos com duas etapas

Exemplo resolvido 13. Duas moedas equilibradas são lançadas. Qual é a probabilidade de obter exatamente uma cara?

O espaço amostral é:

\[\Omega=\{(Ca,Ca),(Ca,Co),(Co,Ca),(Co,Co)\}\]

Há 2 resultados favoráveis:

\[\{(Ca,Co),(Co,Ca)\}\]

\[P(A)=\frac24=\frac12=50\%\]

Exemplo resolvido 14. Dois dados comuns são lançados. Qual é a probabilidade de a soma ser 7?

Pelo princípio multiplicativo:

\[6\cdot6=36\]

Há 36 pares ordenados possíveis. Os favoráveis são:

\[(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)\]

São 6 resultados favoráveis:

\[P(A)=\frac6{36}=\frac16\]

▶Pratique 3 — Princípio multiplicativo e probabilidade

1. Duas moedas são lançadas. Quantos resultados existem no espaço amostral?

2. Dois dados são lançados. Quantos pares de resultados existem?

3. Uma moeda e um dado são lançados. Quantos resultados existem?

4. Duas moedas são lançadas. Qual é a probabilidade de obter duas caras?

5. Dois dados são lançados. Qual é a probabilidade de obter o par \((3,5)\)?

6. Uma moeda e um dado são lançados. Qual é a probabilidade de obter coroa e o número 6?

7. Dois dados são lançados. Qual é a probabilidade de a soma ser 12?

8. Duas moedas são lançadas. Qual é a probabilidade de obter pelo menos uma cara?

9. Em uma caixa, a probabilidade de retirar uma ficha azul é 0,65. Qual é a probabilidade de retirar uma ficha que não seja azul?

10. Dois dados são lançados. Qual é a probabilidade de a soma ser 5?

▶Revisão e aprofundamento — 20 questões

1. Uma pessoa possui 4 camisas e 5 calças. Quantas combinações pode formar?

2. Uma senha é formada por uma das 3 letras A, B ou C e um dos 6 algarismos de 1 a 6. Quantas senhas são possíveis?

3. Uma moeda é lançada quatro vezes. Quantos resultados possíveis existem?

4. Dois dados são lançados. Quantos elementos possui o espaço amostral?

5. Qual é a probabilidade de obter um número maior que 4 em um dado comum?

6. Qual é a probabilidade de obter um múltiplo de 2 ao escolher ao acaso um número de 1 a 8?

7. Se \(P(A)=0{,}42\), determine \(P(A^c)\).

8. Em uma moeda equilibrada, qual é a soma das probabilidades de cara e coroa?

9. Duas moedas são lançadas. Qual é a probabilidade de obter duas coroas?

10. Uma moeda e um dado são lançados. Qual é a probabilidade de obter cara e número ímpar?

11. Uma lanchonete oferece 5 sanduíches, 4 bebidas e 3 sobremesas. Quantos pedidos diferentes podem ser montados escolhendo um item de cada grupo?

12. Uma urna possui 6 bolas azuis, 2 vermelhas e 2 amarelas. Qual é a probabilidade de retirar uma bola vermelha?

13. Uma roleta possui 10 setores iguais, numerados de 1 a 10. Qual é a probabilidade de sair um número primo?

14. Dois dados são lançados. Qual é a probabilidade de a soma ser 2?

15. Dois dados são lançados. Qual é a probabilidade de a soma ser 8?

16. Uma senha tem duas posições, preenchidas com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5, sem repetição. Quantas senhas podem ser formadas?

17. Uma moeda é lançada três vezes. Qual é a probabilidade de obter três caras?

18. Em uma caixa, a probabilidade de retirar uma ficha verde é 35%. Qual é a probabilidade de não retirar uma ficha verde?

19. Duas moedas são lançadas. Qual é a probabilidade de obter pelo menos uma coroa?

20. Explique por que a soma das probabilidades de todos os resultados de um espaço amostral deve ser igual a 1.

▶Gabarito do Pratique 1

1. 15. 2. 24. 3. 40. 4. 8. 5. 36.

6. 30. 7. 12. 8. 64. 9. 12. 10. 75.

▶Gabarito do Pratique 2

1. \(\{cara,coroa\}\). 2. \(\{1,2,3,4,5,6\}\). 3. \(\{5,6\}\).

4. \(\frac16\). 5. \(\frac12\). 6. \(\frac3{10}\). 7. \(\frac12\). 8. \(\frac38\). 9. \(\frac15\). 10. \(\frac3{10}\).

▶Gabarito do Pratique 3

1. 4. 2. 36. 3. 12. 4. \(\frac14\). 5. \(\frac1{36}\).

6. \(\frac1{12}\). 7. \(\frac1{36}\). 8. \(\frac34\). 9. 0,35 ou 35%. 10. \(\frac19\).

▶Gabarito da revisão e do aprofundamento

1. 20. 2. 18. 3. 16. 4. 36. 5. \(\frac13\).

6. \(\frac12\). 7. 0,58. 8. 1. 9. \(\frac14\). 10. \(\frac14\).

11. 60. 12. \(\frac15\). 13. \(\frac25\). 14. \(\frac1{36}\). 15. \(\frac5{36}\).

16. 20. 17. \(\frac18\). 18. 65%. 19. \(\frac34\). 20. Porque os resultados do espaço amostral representam todas as possibilidades do experimento; portanto, a ocorrência de algum deles é um evento certo, cuja probabilidade é 1.

Para lembrar

No princípio multiplicativo, multiplicamos o número de possibilidades das etapas sucessivas.

O espaço amostral reúne todos os resultados possíveis de um experimento.

Quando os resultados são equiprováveis, \(P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega)}\).

A soma das probabilidades de todos os resultados do espaço amostral é igual a 1.

Para eventos complementares, \(P(A)+P(A^c)=1\).

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