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Geometria: ponto, reta, ângulos e polígonos

A Geometria está presente nas construções, nas ruas, nos móveis, nas embalagens, nas placas e nos objetos escolares. Neste estudo, conheceremos pontos, retas, segmentos, ângulos e polígonos e aprenderemos a utilizar a régua e o transferidor.

1. Ponto, reta e plano

O ponto indica uma posição e é representado por uma letra maiúscula. A reta é formada por infinitos pontos e prolonga-se indefinidamente nos dois sentidos. O plano prolonga-se em todas as direções.

Os pontos B, C e D pertencem à mesma reta e são colineares.

2. Reta, segmento de reta e semirreta

O segmento de reta é uma parte da reta limitada por dois pontos. A semirreta possui uma origem e prolonga-se indefinidamente em apenas um sentido.

Medindo com a régua

Para medir corretamente, alinhamos uma extremidade do segmento à marca do zero da régua, e não necessariamente à extremidade física do instrumento.

3. Posições entre retas

Retas paralelas não se encontram. Retas concorrentes encontram-se em um ponto. Quando esse encontro forma quatro ângulos retos, elas são perpendiculares. Retas coincidentes ocupam a mesma posição.

Pratique ponto, reta e posições entre retas

1. Na primeira ilustração, identifique o que representam \(A\), \(r\) e \(\alpha\).
2. Como são chamados os pontos B, C e D que pertencem à mesma reta?
3. Explique a diferença entre reta e segmento de reta.
4. Explique a diferença entre segmento de reta e semirreta.
5. Como as setas permitem distinguir reta, segmento e semirreta?
6. Desenhe um segmento \(\overline{AB}\) com 5 cm.
7. Um segmento de 12 cm foi dividido ao meio por M. Determine as duas medidas.
8. Classifique os três pares de retas mostrados na ilustração.
9. Duas retas se cruzam, mas não formam ângulos retos. Como são classificadas?
10. Cite uma situação que lembre retas paralelas e outra que lembre retas perpendiculares.

4. Ângulos

Um ângulo é formado por duas semirretas que possuem a mesma origem. Essa origem é o vértice, e as semirretas são os lados do ângulo. Sua medida depende da abertura, e não do comprimento usado para desenhar os lados.

5. Medida e classificação dos ângulos

Uma volta completa mede \(360^\circ\), meia volta mede \(180^\circ\) e um quarto de volta mede \(90^\circ\).

Classificação	Medida
Nulo	\(0^\circ\)
Agudo	Entre \(0^\circ\) e \(90^\circ\)
Reto	\(90^\circ\)
Obtuso	Entre \(90^\circ\) e \(180^\circ\)
Raso	\(180^\circ\)

6. O transferidor

Para medir um ângulo, colocamos o centro do transferidor sobre o vértice, alinhamos um dos lados à linha de \(0^\circ\) e fazemos a leitura na escala que começa nesse zero.

Antes de ler, estime: um ângulo agudo deve medir menos de 90°.

Pratique ângulos e transferidor

1. No ângulo \(\widehat{AOB}\), identifique o vértice e os lados.
2. Explique por que o comprimento usado para desenhar os lados não altera a medida.
3. Classifique: \(0^\circ\), \(35^\circ\), \(90^\circ\), \(135^\circ\) e \(180^\circ\).
4. Complete: volta completa, meia volta e um quarto de volta.
5. Qual é o menor ângulo formado pelos ponteiros às 3 horas?
6. Uma pessoa olha para o norte e gira um quarto de volta à direita. Para onde passa a olhar?
7. Coloque em ordem crescente: \(120^\circ\), \(35^\circ\), \(180^\circ\), \(90^\circ\).
8. Classifique os quatro ângulos da ilustração.
9. As escalas indicam \(55^\circ\) e \(125^\circ\). Se o ângulo é obtuso, qual é a leitura?
10. Com régua e transferidor, construa ângulos de \(40^\circ\), \(90^\circ\) e \(120^\circ\).

7. Linhas poligonais e polígonos

Uma linha poligonal é formada por segmentos ligados sucessivamente. Um polígono é uma figura plana formada por uma linha poligonal fechada, sem cruzamentos e constituída somente por segmentos de reta.

8. Elementos e classificação dos polígonos

Os principais elementos são lados, vértices, ângulos internos e diagonais. A quantidade de lados, vértices e ângulos internos é a mesma.

Lados	Nome
3	Triângulo
4	Quadrilátero
5	Pentágono
6	Hexágono
7	Heptágono
8	Octógono
9	Eneágono ou nonágono
10	Decágono

Observação: um polígono convexo não possui reentrâncias. Um polígono regular possui todos os lados e todos os ângulos internos com medidas iguais.

Pratique linhas poligonais e polígonos

1. Explique o que é uma linha poligonal.
2. Classifique as quatro linhas da ilustração.
3. Quais condições uma figura deve satisfazer para ser um polígono?
4. Um polígono ABCDE tem quantos lados, vértices e ângulos internos? Qual é seu nome?
5. Nomeie os polígonos de 3, 4, 6, 8 e 10 lados.
6. Um polígono tem 7 vértices. Quantos lados e ângulos internos possui? Qual é seu nome?
7. No quadrilátero ABCD da ilustração, escreva os lados e as diagonais.
8. Explique como reconhecer um polígono não convexo.
9. Por que uma figura fechada com uma parte curva não é um polígono?
10. Quais duas condições tornam um polígono regular?

9. A Geometria no cotidiano

As bordas de uma régua lembram segmentos, as linhas de um caderno lembram retas paralelas, o canto de uma folha lembra retas perpendiculares e uma porta aberta ajuda a visualizar um ângulo. Dizemos que os objetos lembram elementos geométricos porque os objetos reais possuem espessura.

Pratique a Geometria no cotidiano

1. Cite dois objetos que lembrem segmentos de reta.
2. Dê um exemplo de paralelismo e outro de perpendicularidade.
3. Desenhe um segmento de 7 cm.
4. Um segmento de 14 cm tem M como ponto médio. Calcule as duas partes.
5. Qual é o menor ângulo entre os ponteiros às 3 horas?
6. Classifique um ângulo de \(75^\circ\).
7. As escalas mostram \(50^\circ\) e \(130^\circ\). Se o ângulo é agudo, qual leitura é correta?
8. Uma figura fechada tem cinco lados retos sem cruzamentos. Ela é um polígono? Qual é seu nome e quantos vértices possui?
9. Uma figura fechada possui uma parte curva. É um polígono? Justifique.
10. Explique como identificar uma reentrância em um polígono.

Atividades de revisão e aprofundamento

1. Explique a diferença entre reta, segmento e semirreta.
2. Como são chamados pontos da mesma reta?
3. Determine as partes formadas pelo ponto médio de um segmento de 18 cm.
4. Desenhe uma reta com P, Q e R e destaque um segmento e uma semirreta.
5. Qual representação possui uma origem e continua em uma direção?
6. Classifique linhas de caderno, encontro parede/chão e duas ruas que se cruzam obliquamente.
7. Duas retas formam quatro ângulos retos. Como são classificadas?
8. Toda reta perpendicular é concorrente? Explique.
9. Quais são os elementos de um ângulo?
10. Classifique \(0^\circ\), \(35^\circ\), \(90^\circ\), \(125^\circ\) e \(180^\circ\).
11. Indique as medidas de uma volta, meia volta e um quarto de volta.
12. Do norte, um quarto de volta à direita aponta para qual direção?
13. Um ângulo reto foi dividido igualmente. Quanto mede cada parte?
14. Entre \(65^\circ\) e \(115^\circ\), qual leitura representa um ângulo agudo?
15. Liste as condições para uma figura ser polígono.
16. Uma linha fechada com cruzamento é polígono? Justifique.
17. Informe lados, vértices e ângulos internos de triângulo, pentágono, heptágono e decágono.
18. Um polígono tem nove ângulos internos. Determine nome, lados e vértices.
19. No pentágono ABCDE, escreva os lados e três diagonais.
20. Diferencie polígono convexo de não convexo e regular de não regular.
21. AB mede 24 cm, M é seu ponto médio e N é ponto médio de MB. Determine AM, MB, MN e NB.
22. Qual é a soma dos quatro ângulos formados por duas retas perpendiculares?
23. Um robô olha para o norte, gira 1/4 à direita, 1/2 volta e 1/4 à esquerda. Para onde olha?
24. Um ângulo raso foi dividido em três partes iguais. Determine a medida e a classificação.
25. Uma figura tem oito lados retos e oito vértices. O que ainda deve ser verificado para afirmar que é um polígono?

Gabaritos

Pratique 1

1. Ponto, reta e plano.
2. Colineares.
3. A reta é ilimitada; o segmento possui dois extremos.
4. O segmento tem dois extremos; a semirreta tem origem e segue em um sentido.
5. Duas setas: reta; sem setas e dois extremos: segmento; uma seta: semirreta.
6. Construção.
7. 6 cm e 6 cm.
8. Paralelas, concorrentes e perpendiculares.
9. Concorrentes.
10. Respostas pessoais.

Pratique 2

1. O é o vértice; OA e OB são os lados.
2. Depende da abertura.
3. Nulo, agudo, reto, obtuso e raso.
4. 360°, 180° e 90°.
5. 90°.
6. Leste.
7. 35°, 90°, 120°, 180°.
8. Agudo, reto, obtuso e raso.
9. 125°.
10. Construções.

Pratique 3

1. Segmentos ligados sucessivamente.
2. Conforme as legendas.
3. Fechada, somente segmentos e sem cruzamentos.
4. 5 de cada; pentágono.
5. Triângulo, quadrilátero, hexágono, octógono e decágono.
6. 7 de cada; heptágono.
7. AB, BC, CD, DA; AC e BD.
8. Pela reentrância.
9. Polígonos usam apenas segmentos.
10. Lados iguais e ângulos internos iguais.

Pratique 4

1. Respostas pessoais.
2. Respostas pessoais.
3. Construção.
4. 7 cm e 7 cm.
5. 90°.
6. Agudo.
7. 50°.
8. Sim; pentágono; 5 vértices.
9. Não, pois possui curva.
10. Parte do contorno voltada para dentro.

Revisão

1. Reta ilimitada; segmento com dois extremos; semirreta com uma origem.
2. Colineares.
3. 9 cm e 9 cm.
4. Construção.
5. Semirreta.
6. Paralelas, perpendiculares e concorrentes.
7. Perpendiculares.
8. Sim, pois se encontram.
9. Vértice e lados.
10. Nulo, agudo, reto, obtuso e raso.
11. 360°, 180° e 90°.
12. Leste.
13. 45°.
14. 65°.
15. Fechada, só segmentos e sem cruzamentos.
16. Não.
17. 3, 5, 7 e 10 de cada, respectivamente.
18. Nonágono; 9 lados e 9 vértices.
19. AB, BC, CD, DE, EA; exemplos AC, AD e BD.
20. Convexo sem reentrância; não convexo com reentrância; regular com lados e ângulos iguais.
21. 12 cm, 12 cm, 6 cm e 6 cm.
22. 360°.
23. Sul.
24. 60°, agudo.
25. Se é fechada e se os lados não se cruzam.

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